Берник Василий Иванович — доктор физико-математических наук наук, профессор, старший научный сотрудник.
Минск
Bernik Vasili Ivanovich — Ph.D, professor, senior researcher.
Minsk
Бударина Наталия Викторовна — доктор физико-математических наук, профессор.
Дублин-роуд, Маршес Аппер
Budarina Natalia Viktorovna — Ph.D, professor.
Луневич Артём Вадимович — кандидат физико-математических наук наук, младший научный сотрудник.
Минск
Lunevich Artyom Vadimovich — PhD, junior researcher.
О’Доннел Хью — доктор физико-математических наук, профессор.
Дублин
O’Donnell Hugh — Ph.D, professor.
В работе получены оценки сверху и снизу количества нулей функций специального вида, а также оценка меры множества точек в которых такие функции принимают малые значения. Пусть f1 (x), ..., fn (x) функции определенные на интервале I, n+1 раз дифференцируемы и вронскиан из производных почти везде (в смысле меры Лебега) на I отличен от 0. Такие функции называются невырожденными. Задача о распределении нулей функции F (x) = anfn (x) + ... + a1f1 (x) + a0, aj ∈ Z, 1 ≤ j ≤ n является обобщением многих задач о распределении нулей полиномов и имеет важное значение в метрической теории диофантовых приближений. Интересным оказался тот факт, что в распределении корней функции F (x) и распределении нулей полиномов есть много общего. Например, количество нулей функции F (x) на фиксированном отрезке не превышает n, как и у полиномов — количество нулей не превышает степень полинома.
Были доказаны три теоремы: об оценке количества нулей сверху, об оценке количества нулей снизу, а также вспомогательная метрическая теорема, которая необходима для получения оценок снизу. При получении нижних оценок был использован метод существенных и несущественных областей, которые ввел В. Г. Спринджук.
Пусть Q > 1 достаточно большое целое число, а интервал I имеет длину Q−γ, 0 ≤ γ < 1. Были получены оценки сверху и снизу для количества нулей функции F (x) на интервале I, при |aj|≤ Q, 0 ≤ γ < 1, а также была указана зависимость этого количества от интервала I. При γ = 0 аналогичные результаты имеются у А. С. Пяртли, В. Г. Спринджука, В. И. Берника, В. В. Бересневича, Н. В. Будариной.
In this paper, we obtain estimates from above and from below the number of zeros of functions of a special kind, as well as an estimate of the measure of the set of points in which such functions take small values. Let f1 (x), ..., fn (x) function defined on an interval I, n + 1 times differentiable and Wronskian of derivatives almost everywhere (in the sense of Lebesgue measure) on I different from 0. Such functions are called nondegenerate. The problem of distributing zeros of F (x) = anfn (x) + ... + a1f1 (x) + a0, aj ∈ Z, 1 ≤ j ≤ n is a generalization of many problems about the distribution of zeros of polynomials is important in the metric theory of Diophantine approximations. An interesting fact is that there is a lot in common in the distribution of roots of the function F (x) and the distribution of zeros of polynomials. For example, the number of zeros of F (x) on a fixed interval does not exceed n, as well as for polynomials — the number of zeros does not exceed the polynomial degree.
Three theorems were proved: on the evaluation of the number of zeros from above, on the evaluation of the number of zeros from below, as well as an auxiliary metric theorem, which is necessary to obtain estimates from below. While obtaining lower bounds method was used for major and minor fields, who introduced V. G. Sprindzuk.
Let Q > 1 be a sufficiently large integer, and the interval I has the length Q−γ, 0 ≤ γ < 1. Produced estimates on the top and bottom for the number of zeros of the function F (x) on the interval I, with |aj| ≤ Q, 0 ≤ γ < 1, and also indicate the dependence of this quantity from the interval I. When γ = 0 similar results are available from A. S. Pyartli, V. G. Sprindzhuk, V. I. Bernik, V. V. Beresnevich, N. V. Budarina.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.