chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2018-19-2-cheb-411Research ArticleСтатьиArticleО повышении точности вычисления потенциала в системе взаимодействующих атомовOn the precision increasing in calculation of potential for the systems of interactive atomsЗаводинскийВиктор ГригорьевичZavodinskyViktor Grigorievich

Ведущий научный сотрудник Института Материаловедения ХНЦ ДВО РАН

leading researcher at the Institute of materials science of the Khabarovsk scientific center of the far eastern branch of the Russian academy of sciences

vzavod@mail.ruГоркушаОльга АлександровнаGorkushaOlga Aleksandrovna

cтарший научный сотрудник Хабаровского отделения  института прикладной математики ДВО РАН

senior researcher of the Khabarovsk branch of the institute of applied mathematics, far eastern branch of the Russian academy of aciences

684bmts@rambler.ruИнститут Материаловедения ХНЦ ДВО РАНРоссияInstitute of materials science of the Khabarovsk scientific center of the far Eastern Branch of the Russian academy of sciencesRussian FederationХабаровское отделение института прикладной математики ДВО РАНРоссияKhabarovsk branch of the institute of applied mathematics of the far eastern branch of the Russian academy of sciencesRussian Federation201818122018192Том 19, № 2, 2018101110Copyright © Заводинский В.Г., Горкуша О.А., 20192019Заводинский В.Г., Горкуша О.А.Zavodinsky V.G., Gorkusha O.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/411

Мы предлагаем высокоточный метод вычисления потенциала для многоатомной системы в прямом пространстве. Отличительная особенность метода состоит в разделении электронной плотности $\rho$ и потенциала $\varphi$ на две части: $\rho=\rho_0+\widehat{\rho},\; \varphi=\varphi_0+\widehat{\varphi},$ где $\rho_0$ --- сумма сферических атомных плотностей, $\widehat{\rho}$ --- результат взаимодействия атомов в многоатомной системе; потенциал $\varphi_0$ порождается плотностью $\rho_0,$ потенциал $\widehat{\varphi},$ порожденный плотностью $\widehat{\rho},$ в нашей работе находится путем решения уравнения Пуассона.

Для нахождения граничных условий применяется мультипольное разложение потенциала. Для обеспечения высокой точности мы разделяем расчетное пространство на многогранники Вороного и применяем асимптотические оценки итераций при замене характеристической функции гладкими приближениями. Для численного решения уравнения Пуассона мы используем двух--~сеточный метод и Фурье--~преобразование на этапе начальной итерации.

Мы получили теоретические оценки точности метода $O(h^{\alpha-1}),$ где $h$ --- шаг сетки, $\alpha$ --- фиксированное число, большее 1.

We propose a high precision method of finding of potential for multi-atomicquantum-mechanical tasks in real space. The method is based on dividing of electrondensity and potential of a multi-atomic system into two parts. Thefirst part of density is found as a sum of spherical atomicdensities; the second part is a variation of density generated byinteratomic interaction. The first part of potential is formed bythe first part of density and may be calculated correctly usingsimple integrals. The second part of potential is found through aPoisson equation from the second part of density. To provide ahigh precision we divided a work space into Voronoy's polyhedronsand found the boundary conditions by means of a multi-poledistribution of potentials formed by local densities concentratedin these polyhedrons. Then we used double-grid approach, and fastFourier transformations as initial functions for iterativesolution of the Poisson's equation. We estimated accuracy of theoffered method and carried out test calculations which showed thatthis method gives the accuracy several times better than accuracyof the fast Fourier transformation.

уравнение Пуассонаэлектростатический потенциалмногогранникик Вороногомультипольное разложениедвухсеточный методReferencesЛандау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. - М.:Физматгиз, 1963.- 768 с.Landau L. D., Lifshits Е. М. (1963), Quantum mechanics. Nonrelativistic theory.[Kvantovaya mekhanika. Nerelyativistskaya teoriya.], Fizmatgiz, Moscow, 768 p.Kohn W., Sham J. L. Self-consistent equations including exchange and correlation effects // Phys. Rev. 1965. Vol. 140, №4A. pp. A1133--A1138.Kohn W., Sham J. L. 1965, ``Self-consistent equations including exchange and correlation effects``, \textit{Phys. Rev.}, vol. 140, no.4A., pp. A1133-A1138.Заводинский В. Г. Компьютерное моделирование наночастиц и наносистем. - М.:Физматлит, 2013.- 137 с.Zavodinsky V. (2013) Computer modeling of nanoparticles and nanosystems.[Komp'yuternoye modelirovaniye nanochastits i nanosistem.], Fizmatlit, Moscow, 137 p.Skollermo G. A Fourier method for the Numerical Solution of Poisson Equation// Mathematics of Computation. 1975. Vol. 29, №131. pp. 697--711.Skollermo G. 1975, ``A Fourier method for the Numerical Solution of Poisson Equation``, \textit{Mathematics of Computation}, vol. 29, no131. pp. 697--711.Chun-- Min Chang, Yihan Shao, Jing Kong. Ewald mesh method for quantum mechanical calculations// J. Chem. Phys. 2012. Vol. 136, №11 pp. 114112--114112-5.Chun-- Min Chang, Yihan Shao, Jing Kong. 2012, ``Ewald mesh method for quantum mechanical calculations``, \textit{J. Chem. Phys}, vol. 136, no11, pp. 114112--114112-5.Bobrov V. B., Trigger S. A. The problem of the universal density functional and the density matrix functional theory//Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2013. Vol. 116, №4, pp. 635–640.Bobrov V. B., Trigger S. A. 2013, ``The problem of the universal density functional and the density matrix functional theory``, \emph{Journal of Experimental and Theoretical Physics}. vol. 116, no4, pp. 635–640.Chelikowsky J. R., Troullier N, Saad Y. Finite-difference-pseudopotential method: Electronic structure calculations without a basis//Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 72, №8, pp. 1240-1243.Chelikowsky J. R., Troullier N, Saad Y. 1994. ``Finite-difference-pseudopotential method: Electronic structure calculations without a basis``, \emph{Phys. Rev. Lett.} vol. 72, no8, pp. 1240-1243.L. Kleinman L., Bylander D. M. Efficacious Form for Model Pseudopotentials // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48, №20, pp. 1425-1428.L. Kleinman L., Bylander D. M. 1982. ``Efficacious Form for Model Pseudopotentials``, \emph{Phys. Rev. Lett.} vol. 48, no20, pp. 1425-1428.H. Cheng H., Greebgard L., Rokhlin V. A Fast Adaptive Multipole Algorithm in Three Dimensions //Journal of Computational Physics. 1999. Vol.155, №2, pp. 468-498.H. Cheng H., Greebgard L., Rokhlin V. 1999. ``A Fast Adaptive Multipole Algorithm in Three Dimensions``,\emph{Journal of Computational Physics}. vol.155, no2, pp. 468-498.Mortensen J. J, Hansen L. B., Jacobsen K. W. Real-space grid implementation of the projector augmented wave method //Phys. Rev. B Condensed Matter. 2005. Vol.71, №3, pp. 035109-1--035109-11.Mortensen J. J, Hansen L. B., Jacobsen K. W. 2005. ``Real-space grid implementation of the projector augmented wave method ``, \emph{Phys. Rev. B Condensed Matter}. vol.71, no3, pp. 035109-1--035109-11.Chelikowsky J. R., Wu K.,Troullier N., Saad Y. Higher-order finite-difference pseudopotential method: An application to diatomic molecules //Phys. Rev. B. 1994. Vol.50, №16, pp. 11355--11364.Chelikowsky J. R., Wu K.,Troullier N., Saad Y. 1994. ``Higher-order finite-difference pseudopotential method: An application to diatomic molecules``, \emph{Phys. Rev. B.} vol.50, no16, pp. 11355--11364.Becke A. D. A multicenter numerical integration scheme for polyatomic molecules // J. Chem. Phys. 1988. Vol.88, №4,pp. 2547-2553.Becke A. D. 1988. ``A multicenter numerical integration scheme for polyatomic molecules``, \emph{J. Chem. Phys.} vol.88, no4,pp. 2547-2553.Kikuji Hirose, Tomoya Ono, Yoshitaka Fujimoto, Shigeru Tsukamoto. First-Principles Calculations inReal-Space Formalism. - London: Imperial College Press, 2005. - 2253 c.Kikuji Hirose, Tomoya Ono, Yoshitaka Fujimoto, Shigeru Tsukamoto. (2005), First-Principles Calculations inReal-Space Formalism, Imperial College Press, London, 2253 p.Atsuyuki Okabe, Barry Boots, Kokichi Sugihara, Sung Nok Chiu. Spatial Tessellations: Concepts and Applications of Voronoi Diagrams. - New York: Wiley, 2000. - 696 c.Atsuyuki Okabe, Barry Boots, Kokichi Sugihara, Sung Nok Chiu. (2000), Spatial Tessellations: Concepts and Applications of Voronoi Diagrams, Wiley,New York, 696 p.Gonze X., Stumpf R., Scheffler M. Analysis of separable potentials //Phys. Rev. B. 1991. Vol.44, №16, pp. 8503-8513.Gonze X., Stumpf R., Scheffler M. 1991. ``Analysis of separable potentials``, \emph{Phys. Rev. B.} vol.44, no16, pp. 8503-8513.Troullier N.,Martins J. L. Efficient pseudopotentials for plane-wave calculations //Phys. Rev. 1991. Vol.43, №3, pp. 1993-2006.Troullier N.,Martins J. L. 1991. ``Efficient pseudopotentials for plane-wave calculations``, \emph{Phys. Rev.} vol.43, №3, pp. 1993-2006.Brandt A. Multi-level adaptive solutions to boundary-value problems //Mathematics of Computation. 1977. Vol. 31. №138. pp. 333-390.Brandt A. 1977. ``Multi-level adaptive solutions to boundary-value problems``, \emph{Mathematics of Computation.} vol. 31. no138. pp. 333-390.Харрисон У. Электронная структура и свойства твердых тел.: Пер. с англ. - М.: Мир, 1983. - Т.1. - 381 с.Walter A. Harrison. (1980), Electronic Structure and the Properties of Solids, W. H. Freeman and Company, San Francisco, 680 p.Заводинский В. Г. Квантовое моделирование многоатомных систем без волновых функций. - LAP LAMBERT Academic Publishing RU, 2017.- 56 с.Zavodinsky V. (2017) Quantum modeling of polyatomic systems without wave functions.[Kvantovoe modelirovaniye mnogoatomnikh sistem bez volnovikh funktsii], LAP LAMBERT Academic Publishing RU, 56 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.