В 1975 г. российский математик С. М. Воронин открыл свойство универсальности дзета-функции Римана ζ(s), s = σ + it. Грубо говоря, это означает, что широкого класса аналитические функции могут быть при- ближены равномерно на компактных подмножествах полоса {s ∈ C : 1/2 < σ < 1} сдвигами ζ(s + iτ ), τ ∈ R. Позже окозалось, что и многие другие классические дзета и L-функции также обладают универсальностью в смысле Воронина. Кроме того, некоторые дзета и L-функции имеют совместное свойство универсальности. В этом случае, данный набор аналитических функций одновременно приближается сдвигами дзета или L-функций. В статье мы даем рассширенный текст нашего доклада, прочитанного на конференции, посвященной памяти известного числовика профессора А. А. Карацубы. Статья содержит обзор основных результатов о так называемой смешанной совместной универсальности, начало которой было было дано японским математиком Г. Мишу в 2007, доказавшим сов- местную универсальность дзета-функций Римана и Гурвица. В широком смысле смешанная совмесная универсальность понимается как совмесная универсальность дзета и L-функций, имеющих эйлеровское произведение по простым числам и неимеющих такого произведения. В 1989 г. А. Сельберг ввел замечательный класс S рядов Дирихле, удовлетворяющих некоторым натуральным условиям, включая эйлеровское прозведение. Периодические дзета-функции Гурвица являются обобщени- ем классических дзета-функций Гурвица и не имеют эйлеровного произ- ведения. В статье формулируется новая теорема о смешанной совместной универсальности для L-функций из класса Сельберга и периодических дзета-функций Гурвица. Для доказатеьства может быть применен вероятностный метод.
In 1975, a Russian mathematician S. M. Voronin discovered the universality property of the Riemann zeta-function ζ(s), s = σ+it. Roughly speaking, this means that analytic functions from a wide class can be approximated uniformly on compact subsets of the strip {s ∈ C : 1/2 < σ < 1} by shifts ζ(s + iτ ), τ ∈ R. Later, it turned out that other classical zeta and L-functions are also universal in the Voronin sense. Moreover, some zeta and L-functions have a joint universality property. In this case, a given collection of analytic functions is approximated simultaneously by shifts of zeta and L-functions. In the paper, we present our extended report given at the Conference dedicated to the memory of the famous number theorist Professor A. A. Karacuba. The paper contains the basic universality results on the so-called mixed joint universality initiated by H. Mishou who in 2007 obtained the joint universality for the Riemann zeta and Hurwitz zeta-functions. In a wide sense the mixed joint universality is understood as a joint universality for zeta and L-functions having and having no Euler product. In 1989, A. Selber introduced a famous class S of Dirichlet series satisfying certain natural hypotheses including the Euler product. Periodic Hurwitz zetafunctions are a generalization of classical Hurwitz zeta-functions, and have no Euler product. In the paper, a new result on mixed joint universality for L-functions from the Selberg clas and periodic Hurwitz zeta-functions is presented. For the proof a probabilistic method can be applied.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.