chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2015-16-1-205-218cheb-40Research ArticleСтатьиArticleСОВМЕСТНАЯ ДИСКРЕТНАЯ УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ L-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ. IIJOINT DISCTRETE UNIVERSALITY OF DIRICHLET L-FUNCTIONS. IIЛауринчикасА.LaurinˇcikasA.antanas.laurincikas@mif.vu.ltКорсакенеД.Korsakien˙eD.korsakiene@fm.su.ltШяучюнасД.Siauˇci¯unasD.siauciunas@fm.su.ltFaculty of Mathematics and Informatics, Vilnius UniversityLatviaInstitute of Informatics, Mathematics and E-studies, Siauliai University, P. Viˇsinskio ˇLithuania201515062016161205218Copyright © Лауринчикас А., Корсакене Д., Шяучюнас Д., 20162016Лауринчикас А., Корсакене Д., Шяучюнас Д.Laurinˇcikas A., Korsakien˙e D., Siauˇci¯unas D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/40

В 1975 г. С. М. Воронин доказал универсальность L-функций Дирихле L(s, χ), s = σ + it. Это означает, что для всякого компакта K полосы {s ∈ C : 1 2 < σ < 1} любая непрерывная и неимеющая нулей в K, и аналитическая внутри K функция может быть приближена равномерно на K сдвигами L(s+iτ, χ), τ ∈ R. Изучая функциональную независимость L-функций Дирихле, С. М. Воронин также установил их совместную уни- версальность. В этом случае набор аналитических функций одновременно приближается сдвигами L(s+iτ, χ1), . . . , L(s+iτ, χr), где χ1, . . . , χr попар- но не эквивалентные характеры Дирихле. Такая универсальность называется непрерывной универсальностью. Также известна дискретная универсальность L-функций Дирихле. В этом случае набор аналитических функций приближается дискретными сдви- гами L(s + ikh, χ1), . . . , L(s + ikh, χr), где h некоторое фиксированное по- ложительное число, а k ∈ N0 = N ∪ {0}. Такая постановка задачи бы- ла дана Б. Багчи в 1981 г., однако может рассматриваться более общий случай. В [3] было изучено приближение аналитических функций сдви- гами L(s + ikh1, χ1), . . . , L(s + ikhr, χr) с различными h1 > 0, . . . , hr > 0. Настоящая статья посвящена приближению сдвигами L(s + ikh1, χ1), . . . , L(s + ikhr1 , χr1 ), L(s + ikh, χr1+1), . . . , L(s + ikh, χr), с различными h1, . . . , hr1 , h. При этом требуется линейная независимость над полем ра- циональных чисел для множества L(h1, . . . , hr1 , h; π) = { (h1 log p : p ∈ P), . . . ,(hr1 log p : p ∈ P), (h log p : p ∈ P); π } , где P – множество всех простых чисел.

In 1975, S. M. Voronin obtained the universality of Dirichlet L-functions L(s, χ), s = σ +it. This means that, for every compact K of the strip {s ∈ C : 1 2 < σ < 1}, every continuous non-vanishing function on K which is analytic in the interior of K can be approximated uniformly on K by shifts L(s+iτ, χ), τ ∈ R. Also, S. M. Voronin investigating the functional independence of Dirichlet L-functions obtained the joint universality. In this case, a collection of analytic functions is approximated simultaneously by shifts L(s + iτ, χ1), . . . , L(s + iτ, χr), where χ1, . . . , χr are pairwise non-equivalent Dirichlet characters. The above universality is of continuous type. Also, a joint discrete universality for Dirichlet L-functions is known. In this case, a collection of analytic functions is approximated by discrete shifts L(s + ikh, χ1), . . . , L(s + ikh, χr), where h > 0 is a fixed number and k ∈ N0 = N ∪ {0}, and was proposed by B. Bagchi in 1981. For joint discrete universality of Dirichlet L-functions, a more general setting is possible. In [3], the approximation by shifts L(s + ikh1, χ1), . . . , L(s+ikhr, χr) with different h1 > 0, . . . , hr > 0 was considered. This paper is devoted to approximation by shifts L(s + ikh1, χ1), . . . , L(s + ikhr1 , χr1 ), L(s + ikh, χr1+1), . . . , L(s + ikh, χr), with different h1, . . . , hr1 , h. For this, the linear independence over Q of the set L(h1, . . . , hr1 , h; π) = { (h1 log p : p ∈ P), . . . ,(hr1 log p : p ∈ P), (h log p : p ∈ P); π } , where P denotes the set of all prime numbers, is applied.

аналитическая функцияL-функция Дирихлелинейная независимостьуниверсальностьanalytic functionDirichlet L-functionlinear independenceuniversalityReferencesBagchi B. The Statistical Behaviour and Universality Properties of the Riemann Zeta-function and Other Allied Dirichlet Series. Ph. D. Thesis. Calcutta: Indian Statistical Institute, 1981.Bagchi, B. 1981, "The Statistical Behaviour and Universality Properties of the Riemann Zeta-function and Other Allied Dirichlet Series" , Ph. D. Thesis. Calcutta: Indian Statistical Institute.Billingsley P. Convergence of Probability Measures. New York: Wiley, 1968.Billingsley, P. 1968, "Convergence of Probability Measures" , New York: Wiley.Dubickas A., Laurinˇcikas A. Joint discrete universality of Dirichlet L-functions // Archiv Math. 2015. Vol. 104. P. 25–35.Dubickas, A. & Laurinˇcikas, A. 2015, "Joint discrete universality of Dirichlet L-functions" , Archiv Math. Vol. 104. P. 25–35.Heyer H. Probability Measures on Locally Compact Groups. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1974Heyer, H. 1974, "Probability Measures on Locally Compact Groups" , Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag.Laurinˇcikas A. On joint universality of Dirichlet L-functions // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 1. P. 129–139.Laurinˇcikas, A. 2011, "On joint universality of Dirichlet L-functions" , Chebyshevskii Sb. Vol. 12, No. 1. P. 129–139.С. Н. Мергелян Равномерные приближения функций комплексного переменного // УМН 1952. Т. 7, №. 2. С. 31–122 ≡ Amer. Math. Trans. 1954. Vol. 101.Mergelyan, S. N. 1952, "Uniform approximations to functions of a complex variable" , Usp. Matem. Nauk. Vol. 7, No. 2. P. 31–122 (Russian) ≡ Amer. Math. Trans. 1954. Vol. 101.Montgomery H. L. Topics in Multiplicative Number Theory. Lecture Notes in Math. Vol. 227. Berlin: Springer, 1971.Montgomery, H. L. 1971, "Topics in Multiplicative Number Theory." , Lecture Notes in Math. Vol. 227. Berlin: Springer.Steuding J. Value-Distribution of L-functions. Lecture Notes in Math. Vol. 1877. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2007.Steuding, J. 2007, "Value-Distribution of L-functions." , Lecture Notes in Math. Vol. 1877. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag.Воронин С. М. Теорема об “универсальности” дзета-функции Римана // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39. С. 475–486. ≡ Math. USSR Izv. 1975. Vol. 9. P. 443–453.Voronin, S. M. 1975, "Theorem on the "universality" of the Riemann zetafunction." , Izv. Akad. Nauk SSSR. Vol. 39. P. 475–486 (in Russian) ≡ Math. USSR Izv. 1975. Vol. 9. P. 443–453.Воронин С. М. Функциональная независимость L-функций Дирихле // Acta Arith. 1975. Vol. 27. P. 493–503.Voronin, S. M. 1975, "The functional independence of Dirichlet L-functions" , Acta Arith. Vol. 27. P. 493–503 (Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.