chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-1-37-51cheb-4Research ArticleСтатьиArticleО РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЯ ВАРИНГА В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДАON THE SOLVABILITY OF WARING’S EQUATION INVOLVING NATURAL NUMBERS OF A SPECIAL TYPEГриценкоС. А.GritsenkoS. A.

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Математика» Финансового Университета при Правительстве РФ, профессор кафедры Фундаментальные науки Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана, профессор механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

doctor of physical and mathematical sciences, professor of the chair Mathematics of the 1 Financial University under the Government of the Russian Federation, professor of the mechanics and mathematics faculty of the M. V. Lomonosov Moscow State University

s.gritsenko@gmail.comМотькинаН. Н.MotkinaN. N.

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики, факультет математики и естественнонаучного образования, педагогический институт, Белгородский государственный национальный исследовательский университет

Candidate of Physico-Mathematical Sciences, Associate Professor, Associate Professor at the Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Science Education, Institute of Pedagogy, Belgorod National Research University

motkina@bsu.edu.ruМГУ имени М. В. Ломоносова, Финансовый университет при Правительстве РФ Московский государственный технический университет имени Н. Э. БауманаRussian FederationБелгородский государственный национальный исследовательский университетRussian Federation2016290420161713751Copyright © Гриценко С.А., Мотькина Н.Н., 20162016Гриценко С.А., Мотькина Н.Н.Gritsenko S.A., Motkina N.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/4

Работа является продолжением исследования авторов, посвященного аддитивным проблемам теории чисел с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству. Ранее были рассмотрены задачи Гольдбаха, Хуа Ло–Кена, Лагранжа, Варинга. Для числа решений этих проблем с числами специального вида были получены асимптотические формулы. Эти формулы отличаются от асимптотических формул классических задач в простых числах без ограничений тем, что в главных членах появляются ряды специального вида:σk(N, a, b) =X |m|<∞ e2πim(ηN−0,5k(a+b)) sink πm(b − a) πkmk .Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая такжебыла затронута авторами. В данной работе рассматривается оценка сверху наименьшего k как функции n, при котором любое N > N0(n) представляется суммой k таких чисел xn, что a 6 {ηxn} < b, где a и b — произвольные действительные числа, 0 6 a < b 6 1, η — алгебраическое иррациональное число.

This paper is a continuation of our research on additive problems of number theory with variables that belong to some special set. We have solved several well–known additive problems such that Ternary Goldbach’s Problem, Hua Loo Keng’s Problem, Lagrange’s Problem,Waring’s Problem. Asymptotic formulas were obtained for these problems with restriction on the set of variables. The main terms of our formulas differ from ones of the corresponding classical problems. In the main terms the series of the formσk(N, a, b) =X |m|<∞ e2πim(ηN−0,5k(a+b)) sink πm(b − a) πkmk. appear. These series were investigated by the authors. Let η be the irrational algebraic number, a and b are arbitrary real numbers of the interval [0, 1]. There are natural numbers x1, x2, . . . , xk such that a 6 {ηxni } < b. In this paper we evaluate the smallest k for which the equation xn1 + xn2 + . . . + xnk = N is solvable.

проблема Варингааддитивные задачичисла специального видачисло решенийасимптотическая формулаалгебраическое иррациональное числоWaring’s Problemadditive problemsnumbers of a special typenumber of solutionsasymptotic formulairrational algebraic numberReferencesBalog A., Friedlander J. A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro // Pacific J. Math. 1992. Vol. 156. No. 1. P. 45–62.Balog, A. & Friedlander, J. 1992, “A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro”, Pacific J. Math., vol. 156, no. 1, pp. 45–62.Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР. 1937. Т. 15. С. 169–172.Vinogradov, I. M. 1937, “Representation of an odd number as a sum of three prime numbers”, DAN SSSR, vol. 15, pp. 291–294.Виноградов И. М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел // Матем. сб. 1940. Т. 7, вып. 2. C. 365–372.Vinogradov, I. M. 1940, “Some common property of distribution of prime numbers”, Mat. sb., vol. 7, no. 2, pp. 365–372.Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976. 120 с.Vinogradov, I. M. 1976, Osobye varianty metoda trigonometricheskikh summ (Russian), [Special variants of the method of trigonometric sums]. Nauka, Moscow, 120 p.Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2–е изд. М.: Наука, 1980. 144 с.Vinogradov, I. M. 1980, Metod trigonometricheskikh summ v teorii chisel (Russian), [The method of trigonometric sums in the theory of numbers]. Second edition. Nauka, Moscow, 144 p.Гриценко С. А. Об одной задаче И. М. Виноградова // Матем. заметки. 1986. Т. 39, вып. 5. C. 625–640.Gritsenko, S. A. 1986, “On a problem of Vinogradov”, Mat. Zametki, vol. 39, issue 5, pp. 625– 640.Гриценко С. А. Тернарная проблема Гольдбаха и проблема Гольдбаха–Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида // Успехи матем. наук. 1988. Т. 43, вып. 4(262). C. 203–204.Gritsenko, S. A. 1988, “Ternary Goldbach’s problem and Goldbach–Waring’s problem with prime numbers lying in intervals of a special type”, Uspekhi Mat. Nauk, vol. 43, no. 4(262), pp. 203–204.Gritsenko S., Motkina N. Ternary Goldbach’s Problem Involving Primes of a Special type. Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812.4606 – 25 Dec 2008Gritsenko, S. & Motkina, N. 2008, “Ternary Goldbach’s Problem Involving Primes of a Special type”, arXiv.org, Cornell university library, Ithaca, NY, Available at: arXiv.org/abs/0812.4606 - 25 Dec 2008Gritsenko S., Motkina N. Hua Loo Keng’s Problem Involving Primes of a Special Type. Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812. 4665 – 26 Dec 2008Gritsenko, S. & Motkina, N. 2008, “Hua Loo Keng’s Problem Involving Primes of a Special Type”, arXiv.org, Cornell university library, Ithaca, NY, Available at: arXiv.org/abs/0812. 4665 – 26 Dec 2008Gritsenko S., Motkina N. Representation of natural numbers by sums of four squares of integers having a special form // Journal of Mathematical Sciences. 2011. Vol. 173. No. 2. P. 194–200.Gritsenko, S. & Motkina, N. 2011, “Representation of natural numbers by sums of four squares of integers having a special form”, Journal of Mathematical Sciences, vol. 173, no. 2, pp. 194–200.Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. О вычислении некоторых особых рядов // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 4. С. 85–92.Gritsenko, S. A. & Motkina, N. N. 2011, “On the calculation of some special series”, Chebyshevskii Sb., vol. 12, no. 4, pp. 85–92.Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Проблема Варинга с натуральными числами специального вида // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15, вып. 3. С. 31–47.Gritsenko, S. A. & Motkina, N. N. 2014, “Waring’s problem involving natural numbers of a special type”, Chebyshevskii Sb., vol. 15, no. 3, pp. 31–47.Deshouillers J. M. Sur la repartition des nombres [nc] dans les progressions arithmetiques // Acad. Sc. Paris. 1993. Т. 277. Serie A. P. 647–650.Deshouillers, J. M. 1993, “Sur la repartition des nombres [nc] dans les progressions arithmetiques”, Acad. Sc. Paris, t. 277, serie A, pp. 647–650.Карацуба А. А. Об одной задаче с простыми числами // ДАН СССР. 1981. Т. 259. № 6. C. 1291–1293.Karatsuba, A. A. 1981, “About one problem with prime numbers”, DAN SSSR, vol. 259, no. 6, pp. 1291–1293.Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. 2–е изд. М.: Наука, 1983. 240 с.Karatsuba, A. A. 1983, Osnovy analiticheskoi teorii chisel (Russian), [Fundamentals of the analytical number theory]. Second edition. Nauka, Moscow, 240 p.Кауфман Р. М. О распределении {√ p} // Матем. заметки. 1979. Т. 26, вып. 4. C. 497–504.Kaufman, R. M. 1979, “About distribution of {√ p}”, Mat. Zametki, vol. 26, issue 4, pp. 497–504.Kloosterman H. D. On the representation of numbers in the form ax2 +by2 +cz2 +dt2 // Acta mathematica. 1926. 49. P. 407–464.Kloosterman, H. D. 1926, “On the representation of numbers in the form ax2+by2+cz2+dt2”, Acta mathematica, 49, pp. 407–464.Kolesnik G. Primes of the form [nc] // Pacific J. Math. 1985. Vol. 118. No. 2. P. 437–447.Kolesnik, G. 1985, “Prime numbers of the form [nc]”, Pacific J. Math., vol. 118, no. 2, pp. 437– 447.Линник Ю. В. Об одной теореме теории простых чисел // ДАН СССР. 1945. Т. 47. C. 7–8.Linnik, Y. V. 1945, “About one theorem of the theory of prime numbers”, DAN SSSR, vol. 47, pp. 7–8.Пятецкий–Шапиро И. И. О распределении простых чисел в последовательности вида [f(n)] // Матем. сб. 1953. Т. 33(75), № 3. C. 559–566.Pyatetskii-Shapiro, I. I. 1953, “On the distribution of prime numbers in sequences of the form [f(n)], Mat. sb., vol. 33(75), no. 3, pp. 559–566.Hua L. K. On the representation of numbers as the sum of powers of primes // Math. Z. 1938. 44. P. 335–346.Hua, L. K. 1938, “On the representation of numbers as the sum of powers of primes”, Math. Z., 44, pp. 335–346.Хуа Ло–ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М.: Мир, 1964. 194 с.Hua, Luo–Geng. 1964, Metod trigonometricheskikh summ i ego primeneniya v teorii chisel (Russian), [The method of trigonometric sums and its application in the number theory]. Mir, Moscow, 194 p.Чанга М. Е. Простые числа в специальных промежутках и аддитивные задачи с такими числами // Матем. заметки. 2003. Т. 73, вып. 3. C. 423–436.Changa, M. E. 2003, “Primes in Special Intervals and Additive Problems with Such Numbers”, Mat. Zametki, vol. 73, issue 3, pp. 423–436.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.