chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical Universitycheb-394Research ArticleСтатьиArticleАЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РЕШЁТКИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ РЕШЁТОК/СмирноваЕ. Н.SmirnovaE. N.

Оренбург.

Orenburg.

ПихтильковаО. А.PikhtilkovaO. S.

Оренбург.

Orenburg.

ДобровольскийН. Н.Dobrovol’skiiN. N.

Тула.

Tula.

ДобровольскийН. М.Dobrovol’skiiN. M.

Тула.

Tula.

Оренбургский государственный университет.Russian FederationТульский государственный университет.Russian FederationТульский государственный педагогический университет.Russian Federation201709032018184325337Copyright © Смирнова Е.Н., Пихтилькова О.А., Добровольский Н.Н., Добровольский Н.М., 20182018Смирнова Е.Н., Пихтилькова О.А., Добровольский Н.Н., Добровольский Н.М.Smirnova E.N., Pikhtilkova O.S., Dobrovol’skii N.N., Dobrovol’skii N.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/394

В работе дано новое общее определение алгебраической решётки. Доказывается, что любое рациональное преобразование алгебраической решётки снова будет алгебраической решёткой. Показано, что взаимная решётка к алгебраической решётки также будет алгебраической решёткой, соответствующей тому же чисто-вещественному алгебраическому полю Fs над полем рациональных чисел Q.

Следуя за Б. Ф. Скубенко, изучаются фундаментальные системы из чисто-вещественного алгебраического поля Fs над полем рациональных чисел Q. Показана связь между фундаментальными системами алгебраических чисел и алгебраическими решётками.

В работе доказаны оценки для норм матрицы перехода от произвольной невырожденной матрицы к рациональной приближающей матрицы. С помощью леммы об оценки нормы матрицы перехода и обратной матрицы перехода, связывающих произвольную невырожденную матрицу и невырожденную рациональную приближающую матрицу, в работе показано, что множество алгебраических решёток всюду плотно в метрическом пространстве решёток.

Доказанная теорема является частным случаем более общей теоремы о том, что для любой решётки Λ ∈ PRs множество всех решёток рационально связанных с решёткой Λ всюду плотно в PRs.

Аналогом данной теоремы является утверждение что для произвольной точки общего положения из Rs соответствующее s-мерное рациональное арифметическое пространство будет всюду плотно в s-мерном вещественном арифметическом пространстве Rs.

.

алгебраические решёткиметрическое пространство решётокРФФИ № 15-01-01540a, №16-41-710194р_центр_аReferencesАкрамов У. А. Теорема изоляции для форм, отвечающих чисто вещественным алгебраическим полям, // Аналитическая теория чисел и теория функций: 10. Зап. науч. семинара. ЛОМИ. 1990. N 185. С. 5–12.Аkramov, U. А. 1990, “The isolation theorem for forms corresponding to purely real algebraic fields“, Аnaliticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsij. 10 Zap. nauchn. sem. LOMI, no. 185, pp. 5–12.Г. Вейль Алгебраическая теория чисел. М.: Гос. из-во И. Л. 1947. 226 с.Vejl’, G. 1947, Аlgebraicheskaya teoriya chisel [Algebraic number theory], Gosudarstvennoe izdatel’stvo inostrannoj literatury, Moscow, Russia.Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддеев Теория иррациональностей третьей степени // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1940. Т. 11. С. 3–340.Delone, B. N. & Faddeev, D. K. 1940, “Theory of irrationalities of the third degree“, Trudy matematicheskogo instituta imeni V.А. Steklova (Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics), vol. 11, pp. 3–340.Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012. Т. 13, вып. 4(44). С. 4–107.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skij, M. N., Dobrovol’skij, N. M. & Dobrovol’skij, N. N. 2012, “Hyperbolic zeta functions of grids and grids and calculation of optimal coefficients“, Chebyshevskij sbornik, vol. 13, no. 4(44), pp. 4–107.Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения / Н. М. Добровольский. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005.Dobrovol’skij, M. N. 2005, Mnogomernye teoretiko-chislovye setki i reshyotki i ikh prilozheniya [Multidimensional number-theoretic grids and grids and their applications], Izdatel’stvo tul’skogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. L. N. Tolstogo, Tula, Russia.Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. Непрерывность гиперболической дзета-функции решеток // Мат. заметки. Т. 63, вып. 4. 1998. C. 522–526.Dobrovol’skij, N.M., Rebrova, I.YU. & Roshhenya, А.L. 1998, “Continuity of the hyperbolic zeta function of lattices“, Matematicheskie zametki (Mathematical Notes), vol. 63, no. 4, pp. 522–526.Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. 422 с.Kassels, D. 1965, Vvedenie v geometriyu chisel, [Introduction to the geometry of numbers], Mir, Moscow, Russia.Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) / М.: МЦНМО, 2004.Korobov, N. M. 2004, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Numerical-numerical methods in approximate analysis], 2nd ed., MTSNMO, Moscow, Russia.Реброва И. Ю. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток Тез. докл. III Междунар. конф. // Современные проблемы теории чисел: Тула: Изд-во ТГПУ, 1996. С. 119.Rebrova, I. YU. “The continuity of the hyperbolic zeta function of the lattices“, Tez. dokl. III Mezhdunar. konf. “Sovremennye problemy teorii chisel” (Abstracts of the report of the III International Conference “Contemporary problems of number theory”), Tula, 1996, p. 119.Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета-функции решёток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.3. С. 99–108.Rebrova, I. YU. 1998, “The continuity of the generalized hyperbolic zeta lattice function and its analytic continuation“, Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 4, no. 3, pp. 99–108.Реброва И. Ю. Пространство решёток и функции на нем. / Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1999.Rebrova, I. YU. 1999, “The lattice space and the functions on it“, Ph.D. Thesis, Moscow State Pedagogical University, Moscow, Russia.Скубенко Б. Ф. Теорема изоляции для разложимых форм чисто вещественных алгебраических полей степени n > 3 Аналитическая теория чисел и теория функций. 4. Зап. науч. семинара ЛОМИ. N 112. 1981. С. 167–171.Skubenko, B. F. 1981, “The isolation theorem for decomposable forms of purely real algebraic fields of degree n > 3“, Аnaliticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsij. 4 Zap. nauchn. sem. LOMI, no.112, pp. 167–171.Б. Ф. Скубенко К совместным приближениям алгебраических иррациональностей // Целочисленные решетки и конечные линейные группы, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 116, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1982, С. 142–154; J. Soviet Math., 26:3 (1984), 1922– 1930.Skubenko, B. F. 1982, “To joint approximations of algebraic irrationalities“, Tselochislennye reshetki i konechnye linejnye gruppy, Zap. nauchn. sem. LOMI, pp. 142–154.Скубенко Б. Ф. О произведении n линейных форм от n переменных // Труды МИАН СССР. N 158. 1981. С. 175–179.Skubenko, B. F. 1981, “On the product of n linear forms of n variables“, Trudy MIАN SSSR, no.158, pp. 175–179.Б. Ф. Скубенко Циклические множества точек и решеток // Аналитическая теория чисел и теория функций. 8, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 160, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1987, С. 151–158.Skubenko, B. F. 1987, “Cyclic sets of points and lattices“, Аnaliticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsij. 8 Zap. nauchn. sem. LOMI, pp. 151–158.Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных // Аналитическая теория чисел и теория функций. 9. Зап. науч. семинара ЛОМИ. N 168. 1988. С. 125–139.Skubenko, B. F. 1988, “The minima of a decomposable cubic form in three variables“, Аnaliticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsij. 9 Zap. nauchn. sem. LOMI, no.168, pp. 151–158.Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимых форм степени n от n переменных при n > 3 // Модулярные функции и квадратичные формы. 1. Зап. науч. семинара ЛОМИ. N 183. 1990. С. 142–154.Skubenko, B. F. 1990, “Minima of decomposable forms of degree n of n variables for n > 3“, Modulyarnye funktsii i kvadratichnye formy. 1 Zap. nauchn. sem. LOMI, no.183, pp. 142–154.Е. В. Триколич, Е. И. Юшина Цепные дроби для квадратических иррациональностей из поля Q(√5) // Чебышевский сб. 2009. Т. 10, вып. 1. С. 77–94.Trikolich, E. V., & Yushina, E. I. 2009, “Chain fractions for quadratic irrationalities from the field Q(√5)“, Chebyshevskij sbornik, vol. 10, no. 1, pp. 77–94.Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. № 4. С. 818 — 821.Frolov, K. K. 1976, “Estimates from above of the error of quadrature formulas on function classes“, DАN SSSR, no.4, pp. 818–821.Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций. / Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1979.Frolov, K. K. 1979, “Quadrature formulas on function classes“, Ph.D. Thesis, Computing Center of the Russian Academy of Sciences of the USSR, Moscow, Russia.Шмелева Т. С. Непрерывность гиперболического параметра решетки // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 92–100.Shmeleva, T. S. 2009, “The continuity of the hyperbolic lattice parameter“, Izvestiya Tul’skogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki, no.3, pp. 92–100.Т. С. Шмелева О непрерывности гиперболического параметра решеток // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы: материалы VII Международной конференции. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. 2010. С. 202–206.Shmeleva, T. S. “On the continuity of the hyperbolic parameter of lattices“, Аlgebra i teoriya chisel: sovremennye problemy i prilozheniya, posvyashhennoj pamyati professora Аnatoliya Аlekseevicha Karatsuby: materialy VII Mezhdunarodnoj konferentsii (Algebra and Number Theory: Modern Problems and Applications, dedicated to the memory of Professor Anatoly Alekseevich Karatsuba: materials of the VII International Conference), Tula, 2010, pp. 202–206.Т. С. Шмелева Приближение решеток // Материалы XII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной восьмидесятилетию профессора Виктора Николаевича Латышева. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2014. С. 311–314.Shmeleva, T. S. “Approximation of lattices“, Materialy XII Mezhdunarodnoj konferentsii Аlgebra i teoriya chisel: sovremennye problemy i prilozheniya, posvyashhennoj vos’midesyatiletiyu professora Viktora Nikolaevicha Latysheva (Materials of the XII International Conference Algebra and Number Theory: Contemporary Problems and Applications, dedicated to the eightieth birthday of Professor Viktor Nikolaevich Latyshev), Tula, 2014, pp. 311–314.Т. С. Шмелева Приближение решеток и их применение // Материалы XIII Международной конференции Алгебра,теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2015. С. 384–386.Shmeleva, T. S. “Approximation of gratings and their application“, Materialy XIII Mezhdunarodnoj konferentsii Аlgebra,teoriya chisel i diskretnaya geometriya: sovremennye problemy i prilozheniya, posvyashhennoj vos’midesyatipyatiletiyu so dnya rozhdeniya professora Sergeya Sergeevicha Ryshkova (Materials of the XIII International Conference Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: Modern Problems and Applications, dedicated to the eightieth anniversary of the birth of Professor Sergey Sergeevich Ryshkov), Tula, 2015, pp. 384–386.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.