chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-4-305-324cheb-393Research ArticleСтатьиArticleНОВЫЕ СВОЙСТВА ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ С ЦЕЛЫМИ ЭКСПОНЕНТАМИNEW PROPERTIES OF ALMOST NILPOTENT VARIETIES WITH INTEGER EXPONENTSПановН. П.PanovN. P.

Ульяновск.

Ulyanovsk.

Ульяновский государственный университет.Russian Federation201709032018184305324Copyright © Панов Н.П., 20182018Панов Н.П.Panov N.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/393

Исследуются почти нильпотентные многообразия неассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики в классе всех алгебр, удовлетворяющих тождественному соотношению x(yz) ≡ 0. Ранее в данном классе алгебр для любого натурального m > 2 была определена алгебра Am, порождающая почти нильпотентное многообразие var(Am) экспоненциального роста с экспонентой, равной m. В настоящей работе исследуются числовые характеристики многообразий var(Am).

Для этого в относительно свободных алгебрах многообразий var(Am) рассматриваются пространства полилинейных элементов, соответствующих левонормированным многочленам с фиксированной образующей на первой позиции. Для каждого такого пространства как вполне приводимого модуля над групповой алгеброй симметрической группы определены все кратности в разложении соответствующего кохарактера в сумму неприводимых характеров.

На основе определений данных кратностей приводится метод вычисления кратностей, соответствующих полилинейным частям относительно свободных алгебр многообразий var(Am). С помощью приведенного метода вычисления кратностей для каждого n > 1 получены кодлины многообразий var(Am), m > 2. Для каждого многообразия var(Am), m > 2, в работе также описано соответствующее множество определяющих тождеств.

Almost nilpotent varieties of nonassociative algebras over a field of zero characteristic in the class of all algebras satisfying identical relation x(yz) ≡ 0 are studied. Earlier in this class of algebras for each natural number m ≥ 2 the algebra Am generating the almost nilpotent variety var(Am) of exponential growth with exponent of m was defined. In the paper numerical characteristics of varieties var(Am) are studied.

To this end in the relatively free algebras of the varieties var(Am) the spaces of multilinear elements corresponding to left normed polynomials with fixed variable on the first position are considered.

Each space is considered as completely reducible module of the symmetric group and multiplicities in the decomposition of the corresponding cocharacter into sum of irreducible characters are calculated. The multiplicities corresponding to the multilinear parts of relatively free algebras of the variety var(Am) are defined by the calculated values. Colengths of the varieties var(Am), m≥ 2 are obtained using this method. For each m ≥ 2 the set of identical relations that defines the variety var(Am) is obtained.

тождестволинейная алгебрапочти нильпотентное многообразиеэкспоненциальный ростpolynomial identitylinear algebraalmost nilpotent varietyexponential growthReferencesGiambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. AMS Mathematical Surveys and Monographs. 2005. Vol. 122. 352 p.Giambruno, A. & Zaicev, M. 2005, Polynomial Identities and Asymptotic Methods, AMS Mathematical Surveys and Monographs, Providence, R.I. doi: 10.1090/surv/122Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М. : Наука, 1985. 448 с.Bahturin, Yu. A. 1987, Identical relations in Lie algebras, VNU Science Press, Utrecht.Drensky V. Free Algebras and PI-Algebras. Graduate Course in Algebra. Springer-Verlag, 2000.Drensky, V. 2000, Free Algebras and PI-Algebras. Graduate Course in Algebra, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-Singapore.Шулежко О.В. О почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, № 1. С. 67–88.Shulezhko, O. V. 2015, “On almost nilpotent varieties in different classes of linear algebras”, Chebyshevskiy Sbornik, vol. 16, no. 1, pp. 67–88.Mishchenko S., Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Israel Journal of Mathematics. 2014. Vol. 199, № 1. P. 241–257.Mishchenko, S., Valenti, A. 2014, “An almost nilpotent variety of exponent 2”, Israel Journal of Mathematics, vol. 199, no. 1, pp. 241–257. doi: 10.1007/s11856-013-0029-4Мищенко С.П. Многообразия линейных алгебр кодлины один // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2010. № 1. С. 25–30.Mishchenko, S. P. 2010, “Varieties of linear algebras with colength one”, Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 65, no. 1, pp. 23-–27. doi: 10.3103/S0027132210010043Фролова Ю.Ю., Шулежко О.В. Почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница // Прикладная дискретная математика. 2015. № 2(28). С. 30–36.Frolova, Yu. Yu., Shulezhko, O.V. 2015, “Almost nilpotent varieties of Leibniz algebras”, Prikladnaya Diskretnaya Matematika, no. 2(28), pp. 30—36. doi: 10.17223/20710410/28/3Mishchenko S., Valenti A. On almost nilpotent varieties of subexponential growth // Journal of Algebra. 2015. Vol. 423, № 1. P. 902–915.Mishchenko, S., Valenti, A. 2015, “On almost nilpotent varieties of subexponential growth”, Journal of Algebra, vol. 423, no. 1, pp. 902–915. doi: 10.1016/j.jalgebra.2014.10.038Мищенко С.П. О многообразиях коммутативных метабелевых алгебр / С.П. Мищенко, Н.П. Панов, Ю.Ю. Фролова, ЧангТ.К. Нгуен // Фундаментальная и прикладная математика. 2016. Т. 21, № 1. С. 165–180.Mishchenko, S. P., Panov, N. P., Frolova, Yu. Yu., Nguyen, Trang 2016, “On the varieties of commutative metabelian algebras”, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 21, no. 1, pp. 165–180.Мищенко С.П., Шулежко О.В. Описание почти нильпотентных антикоммутативных метабелевых многообразий с подэкспоненциальным ростом // Мальцевские чтения : тез. докл. международ. конф. Новосибирск, 2014. С. 110.Mishchenko, S. P., Shulezhko, O. V. 2014, “Description of almost nilpotent anticommutative metabelian varieties of subexponential growth”, Mal’tsevskie Chteniya : tez. dokl. mezhdunarod. konf. (Mal’tsev Meeting : collection of abstracts of international conference), Novosibirsk, pp. 110.Мищенко С.П. Бесконечные периодические слова и почти нильпотентные многообразия // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2017. № 4. С. 62–66.Mishchenko, S. P. 2017, “Infinite periodic words and almost nilpotent varieties”, Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 72, no. 2, pp. 173–176Шулежко О.В. Новые свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 3. С. 316–320.Shulezhko, O. V. 2014, “New properties of almost nilpotent variety of exponent 2”, Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., vol. 14, no. 3, pp. 316–320.Мищенко С.П., Шулежко О.В. Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2015. № 2. С. 53–57.Mishchenko, S. P., Shulezhko, O. V. 2015, “Almost nilpotent varieties of arbitrary integer exponent”, Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 70, no. 2, pp. 92—95. doi: 10.3103/ S0027132215020084Панов Н.П. О почти нильпотентных многообразиях с целой экспонентой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, № 3. С. 331–343.Panov, N. P. 2017, “On Almost Nilpotent Varieties with Integer PI-Exponent”, Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., vol. 17, no. 3, pp. 331–343. doi: 10.18500/1816-97912017-17-3-331-343Зайцев М.В., Мищенко С.П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Математические заметки. 2006. Т. 79, № 4. С. 553–559.Zaitsev, M. V., Mishchenko, S. P. 2006, “Colength of varieties of linear algebras”, Math. Notes, vol. 79, no. 4, pp. 511—517. doi: 10.1007/s11006-006-0056-0Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ. М. : Мир, 1998. 703 c.Graham, R. L., Knuth, D. E. & Patashnik, O. 1994, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.