chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-4-285-295cheb-392Research ArticleСтатьиArticleК ЗАДАЧЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ РЯДОВ ДИРИХЛЕ С КОНЕЧНОЗНАЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ КАК ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ НА КОМПЛЕКСНУЮ ПЛОСКОСТЬON THE PROBLEM OF ANALYTICAL CONTINUATION OF DIRICHLET SERIES WITH FINITE COEFFICIENTS AS ENTIRE FUNCTIONS ONTO THE COMPLEX PLANEМатвееваО. А.MatveevaO. A.

Саратов.

Saratov.

КузнецовВ. Н.KuznetsovV. N.

Саратов.

Saratov.

201709032018184285295Copyright © Матвеева О.А., Кузнецов В.Н., 20182018Матвеева О.А., Кузнецов В.Н.Matveeva O.A., Kuznetsov V.N.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/392

Одним из известных направлений решения задачи аналитического продолжения рядов Дирихле является изучение свойств последовательности первообразных, возникающих в процессе итераций сумматорной функции коэффициентов ряда. На этом пути было получено, например, аналитическое продолжение дзета-функции Римана, L-функций Дирихле. В 1975 году Н. Г. Чудаков получил необходимое и достаточное условие аналитического продолжения рядов Дирихле как мероморфных функций с конечной функцией Линделёфа, выраженное в терминах поведения первообразных функций.

В данной статье получено необходимое и достаточное условие аналитического продолжения рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами целым образом на комплексную плоскость. Это условие сформулировано в терминах поведения чезаровских средних от коэффициентов ряда Дирихле. В отличие от результата Н. Г. Чудакова, где условие аналитического продолжения представлено в виде теоремы существования, здесь получен явный вид асимптотики чезаровских средних. В основе решения задачи лежит аппроксимационный подход, разработанный ранее авторами, позволивший связать решение задачи с возможностью приближения в критической полосе целых функций, определённых рядами Дирихле, полиномами Дирихле.

One well-known approach to the problem of analytic continuation of Dirichlet series is analysis of properties of a sequence of primitive integrals, which arise in iterations of a summatory function of the coefficients of these series. With this approach it was possible to obtain an analytic continuation of the Riemann zeta function and Dirichlet L-functions. In 1975 N. G. Chudakov presented necessary and sufficient conditions for an analytic continuation of Dirichlet series as meromorphic functions with a finite Lindelo¨f function, expressed through behavior of primitive integrals.

In this paper we formulate necessary and sufficient conditions of analytic continuation of Dirichlet series with finite-valued coefficients to an entire function. These conditions are expressed in terms of behavior of Cesa`ro means of coefficients of a Dirichlet series. Unlike the result of N. G. Chudakov, where conditions of analytic continuation are expressed as an existence theorem, in this paper we obtain an explicit form of the asymptotics of Cesa`ro means. This result is based on the approximation approach developed earlier by V. N. Kuznetsov and the author, which made it possible to establish a connection between the solution of this problem and a possibility to approximate entire functions defined by Dirichlet series by Dirichlet polynomials in the critical strip.

Ряд Дирихлеаналитическое продолжениесовместное приближение функции и ее производныхDirichlet seriesanalytic continuationjoint approximation of a function and its derivativesРФФИ (проект №16-01-00399)ReferencesТитчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана // М.: И. Л., 1953, с. 407Titchmarsh, E. K. 1953, Teorija dzeta-funkcii Rimana, Moscow, I. L., pp. 407.Чудаков Н. Г. Об одном классе рядов Дирихле // Теория чисел: сб. науч. трудов – Куйбышев, 1975, с. 53–57Chudakov, N. G. 1975, “Ob odnom klasse rjadov Dirihle“, Kujbyshev, Teorija chisel: sb. nauch. trudov, pp. 53–57.Кузнецов. В. Н. Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле // Вычислительные методы и программирование: межвуз. сб. науч. трудов. - Саратов: изд-во СГУ, 1987, с. 17–23Kuznetsov, V. N. 1987, “Ob analiticheskom prodolzhenii odnogo klassa rjadov Dirihle“, Saratov: izd-vo SGU, Vychislitel’nye metody i programmirovanie: mezhvuz. sb. nauch. trudov., pp. 17–23.Кузнецов. В. Н., Кузнецова Т. А., Сецинская Е. В., Кривобок В. В. О рядах Дирихле, определяющих целые функции с определеннным порядком роста модуля // Исследования по алгебре, теории чисел и смежным вопросам — Саратов, изд-во СГУ, 2007, Вып. 4, с. 69 – 75Kuznetsov, V. N. Kuznetsova, T. A. Secinskaja, E. V. & Krivibok, V. V. 2007, “O rjadah Dirihle, opredeljajushhih celye funkcii s opredelennnym porjadkom rosta modulja“, Saratov: izd-vo SGU, ssledovanija po algebre, teorii chisel i smezhnym voprosam., iss. 4, pp. 69 – 75.Матвеева. О. А. Аппроксимационные полиномы и поведение L-функций Дирихле в критической полосе // Известия Сарат. ун-та. Математика, Механика. Информатика — Саратов, изд-во СГУ, 2013, Вып. 4, ч. 2, с. 80 – 84Matveeva, O. A. 2013, “Approksimacionnye polinomy i povedenie L-funkcij Dirihle v kriticheskoj polose“, Saratov: izd-vo SGU, Izvestija Sarat. un-ta. Matematika, Mehanika. Informatika., iss. 4, vol. 2, pp. 80 – 84.Матвеев В. А., Матвеева О. А. О поведении в критической полосе рядов Дирихле с конечнозначными мультипликатиными коэффициентами и с ограниченной сумматорной функцией // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2012, т. 13, Вып. 2, С. 106 – 116Matveev V. A. Matveeva, O. A. 2013, “O povedenii v kriticheskoj polose rjadov Dirihle s konechnoznachnymi mul’tiplikatinymi kojefficientami i s ogranichennoj summatornoj funkciej“, Tula: izd-vo TPGU, Chebyshevskij sbornik., iss. 2, vol. 13, pp. 106 – 116.Матвеева. О. А. Аналитические свойства определенных классов рядов Дирихле и некоторые задачи теории L-функций Дирихле: Диссертация на соискание ученой степени к. ф.м. н. — Ульяновск, 2014, 110 с.Matveeva, O. A. 2014, “Analiticheskie svojstva opredelennyh klassov rjadov Dirihle i nekotorye zadachi teorii L-funkcij Dirihle“, Ulyanovsk: Thesis for the academic degree of the Ph.D., pp. 110.Кузнецов В. Н., Матвеева О. А. О граничном поведении одного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2016, т. 17, Вып. 3, с. 115 – 124Kuznetsov, V. N. Matveeva, O. A. 2016, “O granichnom povedenii odnogo klassa rjadov Dirihle s mul’tiplikativnymi kojefficientami“, Tula: izd-vo TPGU, Chebyshevskij sbornik., iss. 4, vol. 17, pp. 115 – 124.Кузнецов В. Н., Матвеева О. А. Аппроксимационный подход в некоторых задачах теории рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2016, т. 17, Вып. 4, с. 124 – 131Kuznetsov, V. N. Matveeva, O. A. 2016, “Approksimacionnyj podhod v nekotoryh zadachah teorii rjadov Dirihle s mul’tiplikativnymi kojefficientami “, Tula: izd-vo TPGU, Chebyshevskij sbornik., iss. 4, vol. 17, pp. 124 – 131.Кузнецов В. Н., Матвеева О. А. О граничном поведении одного класса рядов Дирихле // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2016, т. 17, Вып. 2, с. 181 – 189Kuznetsov, V. N. Matveeva, O. A. 2016, “O granichnom povedenii odnogo klassa rjadov Dirihle“, Tula: izd-vo TPGU, Chebyshevskij sbornik., iss. 2, vol. 17, pp. 181 – 189.Коротков А. Е., Матвеева О. А Об одном численном алгоритме определения нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами // Научные ведомости БелГУ — Белгород: изд-во БелГУ, 2011, Вып. 24, с. 47 –54Korotkov, A. E. Matveeva, O. A. 2011, “Ob odnom chislennom algoritme opredelenija nulej rjadov Dirihle s periodicheskimi kojefficientami“, Belgorod: Nauchnye vedomosti BelGU., iss. 24, pp. 47 –54.А. А. Карацуба Основы аналитической теории чисел — М.: Наука, 1983, с. 239Karatsuba, A. A. 1983, Osnovy analiticheskoj teorii chisel, Moscow, Nauka, pp. 239.В. Ф. Демьянов, В. Н. Малоземов Введение в минимакс — М.: Наука, 1972, с. 368Dem’janov, A. A. Malozemov V. N. 1972, Vvedenie v minimaks, Moscow, Nauka, pp. 368.Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сёге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки, 1984, т. 38, Вып. 6, с. 805 – 813Kuznetsov, V. N. 1984, “Analog teoremy Sjoge dlja odnogo klassa rjadov Dirihle“, Mat. zametki., vol. 38, iss. 6, pp. 805 – 813.Чернов В. И. Об одном классе рядов Дирихле с конечными функциями Линделёфа // Исследования по теории чисел: Межвуз. науч. сб., 1982, Вып.8, с. 92 – 95.Chernov, V. I. 1982, “Ob odnom klasse rjadov Dirihle s konechnymi funkcijami Lindeljofa“, Issledovanija po teorii chisel: Mezhvuz. nauch. sb., iss. 8, pp. 92 – 95.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.