До недавнего времени даже для алгебраических чисел второй степени не было известно, насколько часто они попадают в произвольный проме- жуток в зависимости от его положения и длины. Пусть An — множество алгебраических чисел степени n, а H(α) — обычная высота алгебраического числа α, определяемая как высота его минимального многочлена. Вышеназванная проблема сводится к исследо- ванию следующей функции: Φn(Q, x) := # {α ∈ An ∩ R : H(α) 6 Q, α < x} . Недавно автором была найдена точная асимптотика функции Φn(Q, x) при Q → +∞. При этом, фактически, была корректно определена и явно описана функция плотности алгебраических чисел на вещественной прямой. Статья посвящена результатам о распределении вещественных алгебраических чисел. Для n = 2 усилена оценка остатка в асимптотике для Φ2(Q, x), и получена формула: Φ2(Q, +∞) = λ Q3 − κ Q2 ln Q + O(Q 2 ), где λ и κ — эффективные постоянные.
Till recently, even for quadratic algebraic numbers, it was unknown, how frequently do algebraic numbers appear in an arbitrary interval depending on its position and length. Let An be the set of algebraic numbers of n-th degree, and let H(α) be the naive height of α that equals to the naive height of its minimal polynomial by definition. The above problem comes to the study of the following function: Φn(Q, x) := # {α ∈ An ∩ R : H(α) 6 Q, α < x} . The exact asymptotics of Φn(Q, x) as Q → +∞ was recently obtained by the author. There, in fact, the density function of real algebraic numbers was correctly defined and explicitly described. In the paper, we discuss the results on the distribution of real algebraic numbers. For n = 2, we improve an estimate of a remainder term in the asymptotics of Φ2(Q, x), and obtain the following formula: Φ2(Q, +∞) = λ Q3 − κ Q2 ln Q + O(Q 2 ), where λ and κ are effective constants.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.