Душанбе.
Dushanbe.
Проблема разделимости дифференциальных операторов впервые исследовался в работах В. Н. Эверитта и М. Гирца в начале семидесятых годов прошлого столетия. В своих работах они в основном исследовали разделимость оператора Штурма-Лиувилля и его степеней. Позже этой проблемой занимались К. Х. Бойматов, М. Отелбаев, Ф. B. Аткинсон (F. V. Atcinson), В. Д. Эванс (W. D. Evans), А. Цеттл (A. Zettl) и др. Основная часть опубликованных работ по этому направления относятся к случаю линейных операторов (как обыкновенных дифференциальных операторов, так и операторов с частными производными). Разделимость нелинейных дифференциальных операторов, в основном, рассматривалась в случае, когда исследуемый оператор является слабым возмущением линейного оператора. Случай, когда исследуемый оператор не являются слабым возмущением линейного оператора, рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. Результаты настоящей работы, также относятся к этому малоизученному случаю. Она посвящена изучению коэрцитивных свойств нелинейных дифференциальных операторов вида
L[u(x)] = −uV I(x) + V (x,u(x))u(x)
в гильбертовом пространстве L2(R) и доказана теорема о разделимости этого оператора.
Исследуемый оператор L[u(x)] является строго нелинейным, то есть его нельзя представить в виде слабого возмущения линейного оператора.
Problem of separation for differential operators was first investigated by W. N. Everitt and M. Giertz in the beginning of seventieth of the last century. They mainly have investigated, in their works, separation of Sturm–Liouville operator operator and its powers. Later, this problem was investigated by K. Kh. Boimatov, M. Otelbaev, F. V. Atcinson, W. D. Evans, A. Zettl and others. The main part of papers published in this direction concerns with the case of linear operators(both ordinary differential operators and partial differential operators). Separation of nonlinear differential operators was mainly investigated in case when operator under consideration was a weak perturbation of linear one. The case when operator under consideration is not a weak perturbation of linear one was investigated only in some works. Results of this paper also concerns with this poorly studied case. The paper is devoted to studying coercive properties of nonlinear differential operator of the form
L[u(x)] = −uV I(x) + V (x,u(x))u(x)
in Hilbert space L2(R) and separation theorem for this operator is proved. The investigated operator L[u(x)] is strictly nonlinear, in the sense that in the general case it cannot be represented as a weak perturbation of a linear operator.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.