chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-4-208-220cheb-387Research ArticleСтатьиArticleОБОБЩЕННЫЕ ЯКОБИАНЫ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ В ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПОЛЯХON GENERALIZED JACOBIANS AND RATIONAL CONTINUED FRACTIONS IN THE HYPERELLIPTIC FIELDSЖгунВ. С.ZhgoonV. S.

Москва.

Moscow.

ФНЦ Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук; Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики».Russian Federation201708032018184208220Copyright © Жгун В.С., 20182018Жгун В.С.Zhgoon V.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/387

В работе определяются обобщенные многочлены Мамфорда, описывающие сложение точек на обобщенном якобиане особой гиперэллиптической кривой над полем K характеристики отличной от 2, гладкой в бесконечно удаленной точке и заданной в аффинной карте уравнением y2 = φ(x)2f(x), где многочлен f — свободен от квадратов. Нами найдена связь между разложением в непрерывную дробь квадратичных иррациональностей специального вида для гиперэллиптического поля K(x,√ f(x)) и обобщенными многочленами Мамфорда, определяющими сложение в группе классов дивизоров на особой гиперэллиптической кривой. Это соответствие между разложением в непрерывную дробь и многочленами Мамфорда позволяет доказать теорему об эквивалентности следующих условий: (i) условия квазипериодичности разложения квадратичной иррациональности специального вида в непрерывную дробь, построенного по нормированию, связанному с точкой степени 1 на нормализации кривой и (ii) условия конечности порядка класса, построенного по точке степени 1 на нормализации кривой. С помощью этого соответствия также удается обобщить результаты о симметрии квазипериода и оценки на его длину, обобщающие результаты, полученные нами ранее.

In the paper we introduce generalized Mumford polynomials describing additive law on generalized Jacobian of singular hyperelliptic curve over the field K of characteristics different from 2, and smooth at infinity and defined in the affine chart by the equation y2 = φ(x)2f(x), where f is a square-free polynomial. We describe the relation between the continued fraction expansion of the quadratic irrationalities in the hyperelliptic function field K(x,√ f(x))  and the generalized Mumford polynomials describing the additive law in the divisor class group of the singular hyperelliptic curve. This correspondence between the continued fraction expansion of the quadratic irrationalities and the generalized Mumford polynomials allow us to prove the theorem on equivalence of two conditions: the condition (i) of quasi-periodicity of continued fraction expansion (related with valuation of a point of degree 1 on the normalization of the curve) of a quadratic irrationality of the special type and the condition (ii) of the finiteness of the order of the class, related to the point of degree 1 on the normalization of the curve. By means of this correspondence we also obtain the results on the symmetry of quasi-period and we give estimates for its length, generalizing results obtained before by the author and collaborators. 

Непрерывные дроби в гиперэллиптических поляхобобщенное представление Мамфордаобобщенные якобианыточки кручения в якобианахContinued rational fractions in hyperelliptic fieldsMumford representationgeneralized Jacobianstorsion points of the JacobiansРоссийский научный фонд (проект N16-11-10111)ReferencesМамфорд Д. Лекции о тэта-функциях, Мир, Москва, 1988.Benyash–Krivets, V. V., Platonov, V. P. 2009, “Groups of S-units in hyperelliptic fields and continued fractions” , Sb. Math, vol. 200, no. 11, pp. 1587-1615.Серр Ж. П. Алгебраические группы и поля классов, Мир, Москва, 1968.Mumford, D 1983, Tata Lectures on Theta I. Birkhauser, Boston.Artin E. Quadratische K¨orper im Gebiete der ho¨heren Kongruenzen. I // Math. Z. 1924. Т. 171. №19:1. С. 153-246.Serre, Jean-Pierre 1988, Algebraic groups and class fields, Springer-Verlag, New York.Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Математический сборник. 2009. Т. 200. №11. С. 15-44.Artin, E., 1924, “Quadratische K¨orper im Gebiete der h¨oheren Kongruenzen. I” , Math. Z., vol. 19, no. 1, pp. 153-246.Berry T. G. On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields // Arch Math. 1990. Т. 55. С. 259-266.Berry, T. G., 1990, “On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields” , Arch Math. vol.55, pp. 259-266.Платонов В. П., Жгун В. С., Федоров Г. В. Непрерывные дроби в гиперэллиптических полях и представление Мамфорда // Доклады РАН. 2016. Т.471. №6 С. 640–644.Platonov, V. S., Fedorov, G.V., 2016, “Continued Rational Fractions in Hyperelliptic Fields and the Mumford Representation” , Doklady Mathematics, vol. 94, no. 3, pp. 692–696.В. П. Платонов, Г. В. Федоров, S-единицы и периодичность непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Доклады РАН. 2015. Т.465. №5 С. 537–541.Platonov, V. P., Zhgoon, V. S., Fedorov, G. V., 2015, “S-units and periodicity of continued fractions in hyperelliptic fields” , Doklady Mathematics, vol. 92, no. 3, pp. 752–756.Rosenlicht M. Generalized Jacobian varieties // Ann. of Math. 1954. Т. 59. №3. С. 505–530.Rosenlicht M., 1954, “Generalized Jacobian varieties” , Ann. of Math., 59, 3, pp. 505–530.Rosenlicht M. Equivalence relations on algebraic curves // Ann. of Math. 1952. Т. 56. №2. С. 169–191.Rosenlicht M., 1952, “Equivalence relations on algebraic curves” , Ann. of Math. 56, 2, pp. 169–191.Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия, Мир, Москва, 1981.Hartshorne R., 1977, “Algebraic geometry” , Graduate Texts in Mathematics, No. 52. SpringerVerlag, New York-Heidelberg.Платонов В. П., Жгун В. С., Петрунин М. М. К вопросу о простоте якобианов кривых рода 2 над полем рациональных чисел с точками кручения больших порядков // Доклады РАН. 2013. Т. 450. №4. С. 385–388.Platonov, V. P., Zhgun V. S., Petrunin M. M., 2013 “On the simplicity of Jacobians for hyperelliptic curves of genus 2 over the field of rational numbers with torsion points of high order”, Dokl. Math, 450, 4, pp. 385–388Платонов В. П. Арифметика квадратичных полей и кручение в якобианах // Доклады РАН. 2010. Т. 430. №3. С. 318–320.Platonov, V. P. 2010, “Arithmetic of quadratic fields and torsion in Jacobians” , Dokl. Math, 81, 1, pp. 55–57Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. Т. 69:1. №415. С. 3–38.Platonov, V. P. 2014, “Number-theoretic properties of hyperelliptic fields and the torsion problem in Jacobians of hyperelliptic curves over the rational number field” , Russian Math. Surveys 69, 1, pp. 1–34.Платонов В. П., Петрунин М.М. Новые порядки точек кручения в якобиа- нах кривых рода 2 над полем рациональных чисел // Доклады РАН. 2012. Т. 443. №6. С. 664–667.Platonov, V. P., Petrunin, M. M. 2012, “New orders of torsion points in Jacobians of curves of genus 2 over the rational number field” , Dokl. Math, 85, 2, pp. 286–288.Платонов В. П., Петрунин М. М. О проблеме кручения в якобианах кривых рода 2 над полем рациональных чисел // Доклады РАН. 2012. Т. 446. №3. С. 263-264.Platonov, V. P., Petrunin, M. M. 2012, “On the torsion problem in jacobians of curves of genus 2 over the rational number field” , Dokl. Math, 86, 2, pp. 642–643.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.