Тула.
Tula.
В работе рассматривается новый класс рядов Дирихле — дзета-функции моноидов натуральных чисел. Изучаются обратные ряды Дирихле для дзета-функции моноидов натуральных чисел. Показано, что вопрос о существовании эйлерова произведения для дзетафункции моноида связан с однозначностью разложения на простые множители в этом моноиде.
Вводится понятие взаимно простых множеств натуральных чисел и показано, что для таких множеств имеет место мультипликативность минимальных моноидов и соответствующих дзета-функций моноидов.
Показано, что если все простые элементы моноида являются простыми числами, то характеристическая функция моноида будет мультипликативной функцией и в этом случае дзета-функция моноида будет обобщённой L-функцией.
Рассматриваются различные примеры моноидов и соответствующих дзета-функций моноидов. Изучена связь вопросов обращения дзета-функции моноида и обобщённой функции Мёбиуса на моноиде как частично упорядоченном множестве с помощью отношения делимости натуральных чисел. Получены ряд свойств дзета-функций моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители.
В работе рассмотрен вопрос о логарифмировании эйлерова произведения, как функции комплексного аргумента. Показано, что непрерывная функция, задающая значение логарифма эйлерового произведения вблизи полюса пробегает все ветви бесконечно-значной функции логарифма. Получены следствия о значения комплекснозначной функции специального вида вблизи особой точки. Из этих свойств вытекают утверждения о значенияx дзета-функции Римана вблизи границы области абсолютной сходимости.
С помощью постулата Бертрана введены бесконечные экспоненциальные последовательности простых чисел. Показано, что соответствующие дзета-функции моноидов натуральных чисел абсолютно сходятся во всей полуплоскости с положительной действительной частью. Так как такие дзета-функции моноидов натуральных чисел во всей области абсолютной сходимости раскладываются в эйлерово произведение, то они во всей полуплоскости с положительной действительной частью не имеют нулей.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.
In this paper we consider a new class of Dirichlet series, the zeta functions of monoids of natural numbers. The inverse Dirichlet series for the zeta function of monoids of natural numbers are studied. It is shown that the existence of an Euler product for the zeta function of a monoid is related to the uniqueness of the factorization into prime factors in this monoid.
The notion of coprime sets of natural numbers is introduced and it is shown that for such sets the multiplicativity of minimal monoids and corresponding zeta-functions of monoids takes place.
It is shown that if all prime elements of a monoid are prime numbers, then the characteristic function of the monoid is a multiplicative function and in this case the zeta function of the monoid is a generalized L-function.
Various examples of monoids and corresponding zeta functions of monoids are considered. The relation between the inversion of the zeta function of a monoid and the generalized Mo¨bius function on a monoid as a partially ordered set is studied by means of the divisibility of natural numbers. A number of properties of the zeta functions of monoids of natural numbers with a unique decomposition into prime factors are obtained.
The paper deals with taking the logarithm of an Eulerian product as a function of a complex argument. It is shown that a continuous function that determines the value of the logarithm of an Euler product runs through all branches of the infinite-valued function of the logarithm near its pole. The corollaries on the value of a complex-valued function of a special form near a singular point are obtained. These properties imply statements about the values of the Riemann zeta function near the boundary of the region of absolute convergence.
Using Bertrand’s postulate, infinite exponential sequences of prime numbers are introduced. It is shown that corresponding zeta-functions of monoids of natural numbers converge absolutely in the whole half-plane with a positive real part. Since such zeta-functions of monoids of natural numbers can be decomposed into an Euler product in the whole region of absolute convergence, they do not have zeros in the entire half-plane with a positive real part.
In conclusion, topical problems with zeta-functions of monoids of natural numbers that require further investigation are considered.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.