chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-4-139-166cheb-384Research ArticleСтатьиArticleНЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙSOME EXTREMAL PROBLEMS OF HARMONIC ANALYSIS AND APPROXIMATION THEORYГорбачевД. В.GorbachevD. V.

Тула.

Tula.

ИвановВ. И.IvanovV. I.

Тула.

Tula.

ОфицеровЕ. П.OfitserovE. P.

Тула.

Tula.

СмирновО. И.SmirnovO. I.

Тула.

Tula.

Тульский государственный университет.Russian Federation201708032018184139166Copyright © Горбачев Д.В., Иванов В.И., Офицеров Е.П., Смирнов О.И., 20182018Горбачев Д.В., Иванов В.И., Офицеров Е.П., Смирнов О.И.Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Ofitserov E.P., Smirnov O.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/384

Работа посвящена обзору основных результатов, полученных при решении экстремальных задач Турана и Дельсарта на торе; экстремальных задач Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана и Логана на евклидовом пространстве, полупрямой и гиперболоиде. Приводятся также результаты, полученные при решении близкой задачи об оптимальном аргументе в модуле непрерывности в точном неравенстве Джексона в пространстве L2 на евклидовом пространстве и полупрямой. Большая часть результатов была получена авторами обзора. В основу обзора лег доклад, сделанный В.И. Ивановым на симпозиуме «6th Workshop on Fourier Analysis and Related Fields, Pecs, Hungary, 24-31 August 2017». Решается также задача об оптимальном аргументе на гиперболоиде. В качестве основного аппарата при решении экстремальных задач на полупрямой используются квадратурные формулы Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля. Для многомерных экстремальных задач осуществляется редукция к одномерным задачам с помощью усреднения допустимых функций по евклидовой сфере. Во всех случаях экстремальная функция единственна.

The paper is devoted to a survey of the main results obtained in the solution of the Tura´n and Fejer extremal problems on the torus; the Tur´an, Delsarte, Bohmann, and Logan extremal problems on the Euclidean space, half-line, and hyperboloid. We also give results obtained when solving a similar problem on the optimal argument in the module of continuity in the sharp Jackson inequality in the space L2 on the Euclidean space and half-line. Most of the results were obtained by the authors of the review. The survey is based on a talk made by V.I. Ivanov at the conference «6th Workshop on Fourier Analysis and Related Fields, Pecs, Hungary, 2431 August 2017». We solve also the problem of the optimal argument on the hyperboloid. As the basic apparatus for solving extremal problems on the half-line, we use the Gauss and Markov quadrature formulae on the half-line with respect to the zeros of the eigenfunctions of the Sturm–Liouville problem. For multidimensional extremal problems we apply a reduction to one-dimensional problems by means of averaging of admissible functions over the Euclidean sphere. Extremal function is unique in all cases.

преобразования ФурьеГанкеля и Якобиэкстремальные задачи ТуранаФейераДельсартаБомана и Логанаквадратурные формулы Гаусса и МарковаFourierHankeland Jacobi transformsTura´nFej´erDelsarteBohmanand Logan extremal problemsGauss and Markov quadrature formulaeРФФИ, грант № 16-01-00308ReferencesStechkin S.B. An extremal problem for trigonometric series with nonnegative coefficients // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1972. Vol. 23, № 3-4. P. 289–291.Stechkin S.B., 1972, “An extremal problem for trigonometric series with nonnegative coefficients”, Acta Math. Acad. Sci. Hung., vol. 23, № 3-4, pp. 289–291.Горбачев Д.В., Маношина А.С. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 5. С. 688–700.Gorbachev D.V., Manoshina A.S., 2004, “Tur´an Extremal Problem for Periodic Functions with Small Support and Its Applications”, Math. Notes, vol. 76, № 5, pp. 640–652.Fej´er L. ¨Uber trigonometrische Polynome // J. Angew. Math. 1915. Vol. 146. P. 53–82.Fej´er L., 1915, “¨Uber trigonometrische Polynome”, J. Angew. Math., vol. 146, pp. 53–82.Иванов В.И., Рудомазина Ю.Д. О задаче Турана для периодических функций с неотрицательными коэффициентами Фурье и малым носителем // Матем. заметки. 2005. Т. 77, № 6. С. 941–945.Ivanov V.I., Rudomazina Yu.D., 2005, “About Tur´an problem for periodic functions with nonnegative Fourier coefficients and small support”, Math. Notes, vol. 77, № 6, pp. 870–875.Иванов В.И., Горбачев Д.В., Рудомазина Ю.Д. Некоторые экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье // Тр. ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. С. 92–111.Ivanov V.I., Gorbachev D.V., Rudomazina Yu.D., 2005, “Some extremal problems for periodic functions with conditions on their values and Fourier coefficients”, Proc. Steklov Inst. Math., № 2 suppl, pp. 139–159.Иванов В.И. О задачах Турана и Дельсарта для периодических положительно определенных функций // Матем. заметки. 2006. Т. 80, № 6. С. 934–939.Ivanov V.I., 2006, “On the Tur´an and Delsarte problems for periodic positive definite functions”, Math. Notes, vol. 80, № 6, pp. 875–880.Ivanov V.I., Ivanov A.V. Tur´an problems for periodic positive definite functions // Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 2010. Vol. 33. P. 219–237.Ivanov V.I., Ivanov A.V., 2010, “Tur´an problems for periodic positive definite functions”, Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp., vol. 33, pp. 219–237.Андреев Н.Н. Экстремальная задача для периодических функций с малым носителем // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем., мех. 1997. № 1. С. 29–32.Andreev N.N., 1997, “An extremal problem for periodic functions with small support”, Moscow Univ. Math. Bull., vol 52, pp. 29–32.Горбачев Д.В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 346–352.Gorbachev D.V., 2001, “An extremal problem for periodic functions with supports in the ball”, Math. Notes, vol. 69, № 3, pp. 313–319.Siegel C.L. ¨Uber Gitterpunkte in konvexen K¨orpern und damit zusammenh¨angendes Extremal problem // Acta Math. 1935. Vol. 65, № 1. P. 307–323.Siegel C.L., 1935, “¨Uber Gitterpunkte in konvexen K¨orpern und damit zusammenh¨angendes Extremal problem”, Acta Math., vol. 65, № 1, pp. 307–323.Boas R.P., Kac M. Inequalities for Fourier Transforms of positive functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12. P. 189–206.Boas R.P., Kac M., 1945, “Inequalities for Fourier Transforms of positive functions”, Duke Math. J., vol. 12, pp. 189–206.Kolountzakis M.N., R´ev´esz Sz.Gy. On a problem of Tura´n about positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131. P. 3423–3430.Kolountzakis M.N., R´ev´esz Sz.Gy., 2003, “On a problem of Tura´n about positive definite functions”, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 131, pp. 3423–3430.Арестов В.В., Бердышева Е.Е. Задача Турана для положительно определенных функций с носителем в шестиугольнике // Тр. ИММ УрО РАН. 2001. Т. 7, № 1. С. 21–29.Arestov V.V., Berdysheva E.E., 2001, “Tur´an’s problem for positive definite functions with supports in a hexagon”, Proc. Steklov Inst. Math., № 1, suppl, pp. 20–29.Arestov V.V., Berdysheva E.E. The Tur´an problem for a class of polytopes // East J. Approx. 2002. Vol. 8, № 3. P. 381–388.Arestov V.V., Berdysheva E.E., 2002, “The Tur´an problem for a class of polytopes”, East J. Approx., vol. 8, № 3, pp. 381–388.Kolountzakis M.N., R´ev´esz Sz.Gy. Tur´an’s extremal problem for positive definite functions on groups // J. London Math. Soc. 2006. Vol. 74. P. 475–496.Kolountzakis M.N., R´ev´esz Sz.Gy., 2006, “Tur´an’s extremal problem for positive definite functions on groups”, J. London Math. Soc., vol. 74, pp. 475–496.R´ev´esz Sz.Gy. Tur´an’s extremal problem on locally compact abelian groups // Anal. Math. 2011. Vol. 37, № 1. P. 15–50.R´ev´esz Sz.Gy., 2011, “Tur´an’s extremal problem on locally compact abelian groups”, Anal. Math., vol. 37, № 1, pp. 15–50.Viazovska M.S. The sphere packing problem in dimension 8 // Annals of Math. 2017. Vol. 185, № 3. P. 991–1015.Viazovska M.S., 2017, “The sphere packing problem in dimension 8”, Annals of Math., vol. 185, № 3, pp. 991–1015.Cohn H., Kumar A., Miller S.D., Radchenko D., Viazovska M. The sphere packing problem in dimension 24 // Annals of Math. 2017. Vol. 185, № 3. P. 1017–1033.Cohn H., Kumar A., Miller S.D., Radchenko D., Viazovska M., 2016, “The sphere packing problem in dimension 24”, Annals of Math., vol. 185, № 3, pp. 1017–1033.Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки Rn шарами // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т. 6, № 1. С. 71–78.Gorbachev D.V., 2000, “An extremal problem for an entire functions of exponential spherical type related to the Levenshtein estimate for the sphere packing density in Rn”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Mat. Mec. Inf., vol. 6, № 1, pp. 71–78. [in Russian]Cohn H. New upper bounds on sphere packings II // Geom. Topol. 2002. Vol. 6. P. 329–353.Cohn H., 2002, “New upper bounds on sphere packings II”, Geom. Topol., vol. 6, pp. 329–353.Левенштейн В.И. Границы для упаковок в n-мерном Евклидовом пространстве // Докл. АН СССР. 1979. Т. 20. С. 417–421.Levenshtein V.I., 1979, “Bounds for packings in n-dimensional Euclidean space”, Soviet Math. Dokl., vol. 20, pp. 417–421.Юдин В.А. Упаковки шаров в евклидовом пространстве и экстремальные задачи для триигонометрических полиномов // Дискрет. матем. 1989. Т. 1, № 2. С. 155–158.Yudin V.A., 1989, “Packings of balls in Euclidean space, and extremal problems for trigonometric polynomials”, Discrete Math. Appl., vol. 1, № 1, pp. 69–72.Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона // Матем. заметки. 1976. Т. 20, № 3. С. 439– 444.Yudin V.A., 1976 “The multidimensional Jackson theorem”, Math. Notes, vol. 20, № 3, pp. 801– 804.Иванов В.И. Приближение функций в пространствах Lp // Матем. заметки. 1994. Т. 56, № 2. С. 15–40.Ivanov V.I., 1994 “Approximation of functions in spaces Lp”, Math. Notes, vol. 56, № 2, pp. 770–789.Bohman H. Approximate Fourier analysis of distribution functions // Ark. Mat. 1960. Vol. 4. P. 99–157.Bohman H., 1960, “Approximate Fourier analysis of distribution functions”, Ark. Mat., vol. 4, pp. 99–157.Ehm W., Gneiting T., Richards D. Convolution roots of radial positive definite functions with compact support // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. Vol. 356. P. 4655–4685.Ehm W., Gneiting T., Richards D., 2004, “Convolution roots of radial positive definite functions with compact support”, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 356, pp. 4655–4685.Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. I. Eventually positive functions with zero integral // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 249– 252.Logan B.F., 1983, “Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. I. Eventually positive functions with zero integral”, SIAM J. Math. Anal., vol. 14, № 2, pp. 249–252.Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 253–257.Logan B.F., 1983, “Extremal problems for positive-definite bandlimited functions II. Eventually negative functions”, SIAM J. Math. Anal., vol. 14, № 2, pp. 253–257.Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 2. С. 179–187.Gorbachev D.V., 2000, “Extremum problems for entire functions of exponential spherical type”, Math. Notes, vol. 68, № 2, pp. 159–166.Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Тр. МИАН. 1967. Т. 88. С. 71–74.Chernykh N.I., 1967, “On Jackson’s inequality in L2”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 88, pp. 75– 78.Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Матем. заметки. 1981. T. 29, № 2. С. 158–162.Yudin V.A., 1981, “Multidimensional Jackson theorem in L2”, Math. Notes, vol. 29, № 2, pp. 158–162.Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т. 66, № 3. С. 336–350.Berdysheva E.E., 1999, “Two related extremal problems for entire functions of several variables”, Math. Notes, vol. 66, № 3, pp. 271–282.Arestov V.V., Chernykh N.I. On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials // Approximation and functions spaces: Proc. intern. conf., Gdansk, 1979. Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25—43.Arestov V.V., Chernykh N.I., 1981, “On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials”, Approximation and functions spaces: Proc. intern. conf., Gdansk, 1979. Amsterdam: North-Holland, pp. 25—43.Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2013. Т. 94, № 3. С. 338—348.Ivanov A.V., Ivanov V.I., 2013, “Optimal arguments in Jackson’s inequality in the powerweighted space L2(Rd)”, Math. Notes, vol. 94, № 3, pp. 320–329.Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 26–44.Ivanov A.V., 2010, “Some extremal problem for entire functions in weighted spaces”, Izv. Tul. Gos. Univ., Estestv. Nauki, № 1, pp. 26–44. [in Russian]Иванов А.В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 29–58.Ivanov A.V., 2011, “Logan problem for entire functions of several variables and Jackson constants in weighted spaces”, Izv. Tul. Gos. Univ., Estestv. Nauki, № 2, pp. 29–58. [in Russian]Горбачев Д.В., Иванов В.И. Экстремальная задача Бомана для преобразования Данкля // Тр. ИММ УрО РАН. 2015. Т. 21, № 4. С. 115–123.Gorbachev D.V., Ivanov V.I., 2017, “Boman extremal problem for Dunkl transform”, Proc. Steklov Inst. Math., vol 297, № 1 suppl., pp. 88–96.Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Математика. 2007. Т. 71, № 5. С. 149–196. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямойPlatonov S.S., 2007, “Bessel harmonic analysis and approximation of functions on the half-line”, Izvestiya: Mathematics, vol 71, № 5, pp. 1001–1048.Горбачев Д.В. Экстремальная задача Бомана для преобразования Фурье–Ганкеля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 5–10.Gorbachev D.V., 2014, “Boman extremal problem for Fourier–Hankel transform”, Izv. Tul. Gos. Univ., Estestv. Nauki, № 4, pp. 5–10. [in Russian]Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.Gorbachev D.V., 2005, “Selected Problems in the Theory of Functions and Approximation Theory: Their Applications”, Tula: Grif and K, 192 p. [in Russian]Frappier C., Olivier P. A quadrature formula involving zeros of Bessel functions // Math. Comp. 1993. Vol. 60. P. 303–316.Frappier C., Olivier P., 1993, “A quadrature formula involving zeros of Bessel functions”, Math. Comp., vol. 60, pp. 303–316.Grozev G.R., Rahman Q.I. A quadrature formula with zeros of Bessel functions as nodes // Math. Comp. 1995. Vol. 64. P. 715–725.Grozev G.R., Rahman Q.I., 1995, “A quadrature formula with zeros of Bessel functions as nodes”, Math. Comp., vol. 64, pp. 715–725.Ghanem R.B., Frappier C. Explicit quadrature formulae for entire functions of exponential type // J. Approx. Theory. 1998. Vol. 92, № 2. С. 267–279.Ghanem R.B., Frappier C., 1998, “Explicit quadrature formulae for entire functions of exponential type”, J. Approx. Theory, vol. 92, № 2, pp. 267–279.Горбачев Д.В., Иванов В.И. Квадратурные формулы Гаусса и Маркова по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля, точные для целых функций экспоненциального типа // Матем. сб. 2015. Т. 206, № 8. С. 63–98.Gorbachev D.V., Ivanov V.I., 2015, “Gauss and Markov quadrature formulae with nodes at zeros of eigenfunctions of a Sturm–Liouville problem, which are exact for entire functions of exponential type”, Sbornik: Math., vol. 206, № 8, pp. 1087–1122.Flensted-Jensen M., Koornwinder T.H. The convolution structure for Jacobi function expansions // Ark. Mat. 1973. Vol. 11. P. 245–262.Flensted-Jensen M., Koornwinder T.H., 1973, “The convolution structure for Jacobi function expansions”, Ark. Mat., vol. 11, pp. 245–262.Flensted-Jensen M., Koornwinder T.H. Jacobi functions: The addition formula and the positivity of dual convolution structure // Ark. Mat. 1979. Vol. 17. P. 139–151.Flensted-Jensen M., Koornwinder T.H., 1979, “Jacobi functions: The addition formula and the positivity of dual convolution structure”, Ark. Mat., vol. 17, pp. 139–151.Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Tur´an’s and Fej´er’s extremal problems for Jacobi transform // Anal. Math. 2017. [In press]Gorbachev D.V., Ivanov V.I., 2017, “Tur´an’s and Fej´er’s extremal problems for Jacobi transform”, Anal. Math. [In press]Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Smirnov O.I. The Delsarte Extremal Problem for the Jacobi Transform // Math. Notes. 2016. Vol. 100, № 5. P. 677–686.Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Smirnov O.I., 2016, “The Delsarte Extremal Problem for the Jacobi Transform”, Math. Notes, vol. 100, № 5, pp. 677–686.Горбачев Д.В., Иванов В.И. Экстремальная задача Бомана для преобразования Якоби // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 126–135.Gorbachev D.V., Ivanov V.I., 2016, “Boman extremal problem for Jacobi transform”, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, vol. 22, № 4, pp. 126–135. [in Russian]Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Some extremal problems for Fourier transform on hyperboloid // Math. Notes. 2017. Vol. 102, № 4. P. 480–491.Gorbachev D.V., Ivanov V.I., 2017, “Some extremal problems for Fourier transform on hyperboloid”, Math. Notes, vol. 102, № 4, pp. 480–491.Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Veprintsev R.A. Optimal Argument in Sharp Jackson’s inequality in the Space L2 with the Hyperbolic Weight // Math. Notes. 2014. Vol. 96, № 6. P. 338–348.Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Veprintsev R.A., 2014, “Optimal Argument in Sharp Jackson’s inequality in the Space L2 with the Hyperbolic Weight”, Math. Notes, vol. 96, № 6, pp. 338–348.Вепринцев Р.А. Приближение в L2 частичными интегралами многомерного преобразования Якоби // Матем. заметки. 2015. Т. 97, № 6. С. 815—831.Veprintsev R.A., 2015, “Approximation in L2 by partial integrals of the multidimensional Jacobi transform”, Math. Notes, vol. 97, № 6, pp. 815–831.Горбачев Д.В., Иванов В.И. Приближение в L2 частичными интегралами преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля // Матем. заметки. 2016. Т. 100, № 4. С. 519–530.Gorbachev D.V., Ivanov V.I., 2016, “Approximation in L2 by partial integrals of the Fourier transform over the eigenfunctions of the Sturm–Liouville operator”, Math. Notes, vol. 100, № 4, pp. 540–549.Горбачев Д.В., Иванов В.И., Вепринцев Р.А. Приближение в L2 частичными интегралами многомерного преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма— Лиувилля // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 136–152.Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Veprintsev R.A., 2016, “Approximation in L2 by partial integrals of the multidimensional Fourier transform over the eigenfunctions of the Sturm–Liouville operator”, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, vol. 22, № 4, pp. 136–152. [in Russian]Горбачев Д.В., Иванов В.И. Некоторые экстремальные задачи для преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, № 2. С. 34–53.Gorbachev D.V., Ivanov V.I., 2017, “Some extremal problems for the Fourier transform over the eigenfunctions of the Sturm–Liouville operator”, Chebyshevskii sbornik, vol. 18, № 2, pp. 34–53. [in Russian]Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1991. 576 с.Vilenkin N.J., 1968, “Special Functions and the Theory of Group Representations”, Providence, RI: Amer. Math. Soc., Translations of mathematical monographs, vol. 22, 613 p.Лизоркин П.И. Прямые и обратные теоремы теории приближе- ний для функций на пространстве Лобачевского // Тр. МИАН. 1992. Т. 194. С. 120–147.Lizorkin P.I., 1992, “Direct and inverse theorems of approximation theory for functions on the Lobachevsky space”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 194. pp. 125–151.Горбачев Д.В., Пискорж М.С. Точное неравенство Джексона в L2 на гиперболоиде // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4, № 1. С. 54–58.Gorbachev D.V., Piskorsh M.S., 1998, “Sharp Jackson inequality in L2 on hyperboloid”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Mat. Mec. Inf., vol. 4, № 1. pp. 54–58. [in Russian]Попов В.Ю. Точное неравенство Джексона–Стечкина в L2 на гиперболоиде // Тр. ИММ УрО РАН. 1998. Т. 5, № 4. С. 254–266.Popov V.Yu., 1998, “Sharp Jackson–Stechkin inequality in L2 on the hyperboloid”, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, vol. 5, № 4. pp. 254–266. [in Russian]Петрова И.В. Приближение на гиперболоиде в метрике L2 // Тр. МИАН. 1992. Т. 194. С. 215–228.Petrova I.V., 1992, “Approximation on the hyperboloid in L2-metric”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 194. pp. 229–243.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.