chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-3-201-208cheb-355Research ArticleСтатьиArticleЛИНЕАРИЗАЦИЯ ТЕНЗОРНО НЕЛИНЕЙНЫХ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЙLINEARIZATION OF TENSOR NONLINEAR CONSTITUTIVE RELATIONS IN THE PROBLEMS ON STABILITY OF FLOWSГеоргиевскийД. В.GeorgievskiiD. V.

доктор физико-математических наук, профессор РАН, заведующий кафедрой  теории упругости механико-математического факультета 

doctor of physical and mathematical sciences, professor of  RAS, head of chair of elasticity theory at mechanical and mathematical department

georgiev@mech.math.msu.suМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscwo State UniversityRussian Federation201708012018183201208Copyright © Георгиевский Д.В., 20172017Георгиевский Д.В.Georgievskii D.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/355

Аппарат тензорно нелинейных функций занимает важное место в нелинейной механике  сплошной среды, причём как в гидродинамических приложениях, так и в задачах механики  деформируемого твёрдого тела, прочности и разрушения [1]. Тензорно нелинейные  определяющие соотношения моделируют так называемые ортогональные эффекты  напряжённо-деформированного состояния (см. в [2] обзор по данному вопросу),  характеризуемые неколлинеарностью девиаторов напряжений и соответствующего  кинематического тензора. Такой неколлинеарностью могут быть объяснены эффект  Пойнтинга и рэтчет [3–9]. Как и определению параметров основного течения, большое  внимание в литературе уделяется устойчивости такого течения относительно малых возмущений, принадлежащих тому или иному классу. Постановка краевой задачи в  возмущениях предполагает линеаризацию всех уравнений системы вблизи основного  процесса, в том числе и определяющих соотношений. Наряду с общим видом тензорно  нелинейных определяющих соотношений расссмотрены тензорно линейные изотропные  среды, тензорно линейные потенциальные среды, тело Бингама (двухконстантная вязкопластическая модель), течение Сен-Венана (идеально жёсткопластическая модель) и ньютоновская вязкая жидкость.

The apparatus of tensor nonlinear functions occupies an important place in the nonlinear mechanics of a continuous medium, both in  hydrodynamic applications and in problems of mechanics of a  deformed solid, strength and fracture [1]. Tensor nonlinear defining  correlations simulate the socalled orthogonal effects of the stress- strain state (see in [2] a review on the issue), characterized by  noncollinearity of voltage deviators and the corresponding kinematic  tensor. Such a noncollinearity can explain the Poynting effect and  ratchet [3–9]. The scientific works pays much attention both to the  definition of the main flow parameters and to the stability of such a  flow with respect to small perturbations belonging to a particular class. The statement of the boundary value problem in  perturbations assumes the linearization of all the system equations  near the main process, including the defining correlations. Along with the general form of the tensor-nonlinear determining relations,  the paper considers tensor-linear isotropic media, tensor linear  potential media, the Bingham body (a twoconstant viscoplastic  model), the Saint-Venant flow (ideally rigid-plastic model), and the Newtonian fluid.

Определяющие соотношениялинеаризациятензорно нелинейные функциинапряжениескорость деформациипотенциальные средытело Бингаманьютоновская вязкая жидкостьConstitutive relationslinearizationtensor nonlinear functionsstressstrain ratepotential mediaBingham solidNewtonian viscous fluidReferencesЛевин В.А. Нелинейная вычислительная механика прочности. Т. 1. Образование и развитие дефектов. М.: Физматлит, 2015. 456 с.Levin, V.A. 2015, Nonlinear Computational Mechanics of Strength. V. 1. Formation and Development of Defects, Мoscow, Fizmatlit.Георгиевский Д.В. Об “ортогональных эффектах” напряжённо-деформированного состояния в механике сплошной среды // Вестник Киевского нац. ун-та. Сер. физико-математические науки. 2013. №3. С. 114–116.Georgievskii, D.V. 2013, "On the Orthogonal Effects of Stress-Strain State in Mechanics of Continuum Vestnik Kievskogo Nats. Univ. Ser. Fiziko- Matematich. Nauki, no. 3, pp. 114–116.Poynting J.H. On the changes in the dimensions of a steel wire when twisted, and on the pressure of distorsional waves in steel // Proc. Roy. Soc. London. 1912. Ser. A86. P. 534–561.Poynting, J.H. 1912, "On the changes in the dimensions of a steel wire when twisted, and on the pressure of distorsional waves in steel" Proc. Roy. Soc. London, ser. A86, pp. 534–561.Green A.E. A note on second-order effect in the torsion of incompressible cylinders // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1954. V. 50. No. 3. P. 488–490.Green, A.E. 1954, "A note on second-order effect in the torsion of incompressible cylinders" Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 50, no. 3, pp. 488–490.Chen M., Chen Z. Second-order effect of an elastic circular shaft during torsion // Appl. Math. Mech. 1991. V. 12. No. 6. P. 769–776.Chen, M. & Chen, Z. 1991, "Second-order effect of an elastic circular shaft during torsion" Appl. Math. Mech., vol. 12, no. 6, pp. 769–776.Chaboche J.L. Modeling of ratcheting: evaluation of various approaches // Europ. J. Mech. Ser. A. Solids. 1994. V. 13. No. 4. P. 501–518.Chaboche, J.L. 1994, "Modeling of ratcheting: evaluation of various approaches" Europ. J. Mech. Ser. A. Solids., vol. 13, no. 4, pp. 501–518.Delobelle P., Robinet P., Bocher L. Experimental study and phenomenological modelization of ratchet under uniaxial and biaxial loading on an austenitic stainless steel // Internat. J. Plasticity. 1995. V. 11. No. 4. P. 295–330.Delobelle, P., Robinet, P. & Bocher, L. 1995, "Experimental study and phenomenological modelization of ratchet under uniaxial and biaxial loading on an austenitic stainless steel" Internat. J. Plasticity., vol. 11, no. 4, pp. 295– 330.Batra R.C., dell’Isola F., Ruta G.C. Generalized Poynting effects in prismatic bars // J. Elasticity. 1998. V. 50. No. 2. P. 181–196.Batra R.C., dell’Isola F. & Ruta G.C. 1998, "Generalized Poynting effects in prismatic bars" J. Elasticity., vol. 50, no. 2, pp. 181–196.Akinola A. An energy function for transversely-isotropic elastic material and the Poynting effect // Korean J. Comput. Appl. Math. 1999. V. 6. No. 3. P. 639–649.Akinola, A. 1999, "An energy function for transversely-isotropic elastic material and the Poynting effect" Korean J. Comput. Appl. Math., vol. 6, no. 3, pp. 639–649.Rivlin R.S., Ericksen J.L. Stress-deformation relations for isotropic materials // J. Rational Mech. Anal. 1955. V. 4. No. 2. P. 323–425.Rivlin, R.S. & Ericksen J.L. 1955, "Stress-deformation relations for isotropic materials" J. Rational Mech. Anal., vol. 4, no. 2, pp. 323–425.Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 263 с.Pobedria, B.E. 1986, Lectures on Tensor Analysis, Noscow, Moscow State University Ed.Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твёрдых тел. Ч. 2. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. 432 с.Bell, J.F. 1973, Mechanics of Solids. Vol. I: The Experimental Foundations of Solid Mechanics, Berlin, Springer.Георгиевский Д.В., Мюллер В.Х., Абали Б.Э. Установочные эксперименты для нахождения материальных функций тензорно нелинейных определяющих соотношений // Изв. РАН. Сер. физическая. 2012. Т. 76. №12. С. 1534–1537.Georgievskii, D.V., M¨uller, W.H. & Abali, B.E. 2012, "Establishing experiments for obtaining of the material functions in tensor nonlinear constitutive relations" Izvestiya RAN. Ser. fizich., vol. 76, no. 12, pp. 1534– 1537.Георгиевский Д.В. Наборы установочных экспериментов в тензорно-нелинейных теориях МСС // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2016. №2. С. 66–68.Georgievskii, D.V. 2016, "Establishing experiments in tensor nonlinear theories of continuum mechanics" Vestnik Moskovskogo Univ. Ser. 1. Matematika, mekhanika, no. 2, pp. 66–68.Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел. М.: Изд-во УРСС, 1998. 176 с.Georgievskii, D.V. 1998, Stability of Viscoplastic Solids Deformation Processes, Moscow, URSS.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.