При изучении линейных алгебр с точки зрения выполняющихся в них тождеств интерес вызывают тождественные соотношения, следствиями которых является тождество нильпотентности. Хорошо известны теорема Нагаты-Хигмана, в которой утверждается, что над полем нулевой характеристики ассоциативная алгебра с ниль условием ограниченного индекса является нильпотентной, а также результат Е. И. Зельманова о нильпотентности алгебры Ли в которой выполняется тождество энгелевости. Совокупность линейных алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств, следуя А.И. Мальцеву, называют многообразием. Многообразие называется почти нильпотентным, если само оно не является нильпотентным, но каждое его собственное подмногообразие нильпотентно. Существует понятие как рост многообразий. Различают многообразия полиномиального, экспоненциального, сверхэкспоненциального роста, а также промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным ростом. Подэкспоненциальный рост подразумевает, что многообразие имеет полиномиальный или промежуточный рост. Статья носит реферативный обзорный характер и касается описания почти нильпотентных многообразий в различных классах линейных алгебр над полем нулевой характеристики. Один из разделов статьи посвящен случаю классических линейных алгебр. В нем представлено единственное ассоциативное почти нильпотентное многообразие, которым является многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр. В случае алгебр Ли почти нильпотентным является многообразие всех метабелевых алгебр Ли. При рассмотрении алгебр Лейбница приведено два примера почти нильпотентных многообразий и доказано, что других нет. Следует отметить, что все представленные в этом разделе примеры сами имеют незначительный полиномиальный рост. В общем случае оказалось, что существуют достаточно экзотические примеры почти нильпотентных многообразий. В работе описаны свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два, а также доказано существование дискретной серии почти нильпотентных многообразий различных целых экспонент. Последний раздел статьи посвящен многообразиям подэкспоненциального роста. Здесь представлены описания почти нильпотентных многообразий для многообразий в классах левонильпотентных ступени не выше двух алгебр, коммутативных метабелевых и антикоммутативных метабелевых линейных алгебр. Как оказалось, в каждом из этих классов содержится ровно по два почти нильпотентных многообразия.
A well founded way of researching the linear algebra is the study of it using the identities, consequences of which is the identity of nilpotent. We know the Nagata-Higman’s theorem that says that associative algebra with nil condition of limited index over a field of zero characteristic is nilpotent. It is well known the result of E.I.Zel’manov about nilpotent algebra with Engel identity. A set of linear algebras where a fixed set of identities takes place, following A.I. Maltsev, is called a variety. The variety is called almost nilpotent if it is not nilpotent, but each its own subvariety is nilpotent. Recently has been studied the growth of the variety. There is a variety of polynomial, exponential, overexponential growth, a variety with intermediate between polynomial and exponential growth. A variety has subexponential growth if it has polynomial or intermediate growth. This article is a review and description of almost nilpotent varieties in different classes of linear algebras over a field of zero characteristic. One part of the article is devoted to the case of classical linear algebras. Here we present the only associative almost nilpotent variety, it is the variety of all associative and commutative algebras. In the case of Lie algebras the almost nilpotent variety is the variety of all metabelian Lie algebras. In the case of Leibniz algebras we prove that there are only two examples of almost nilpotent varieties. All presented almost nilpotent varieties in this section have polynomial growth. In general case it was found that there are rather exotic examples of almost nilpotent varieties. In this work we describe properties of almost nilpotent variety of exponent 2, and also the existence of a discrete series of almost nilpotent varieties of different integer exponents is proved. The last section of the article is devoted to varieties with subexponential growth. Here we introduce almost nilpotent varieties for left-nilpotent varieties of index two, commutative metabelian and anticommutative metabelian varieties. As result we found that each of these classes of varieties contain exactly two almost nilpotent varieties.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.