chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-2-256-266cheb-336Research ArticleСтатьиArticleОДНОРОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ СМЕШАННЫХ МОДУЛЕЙON HOMOGENEOUS MAPPINGS OF MIXED MODULESЧистяковД. С.ChistyakovD. S.

доцент кафедры математических методов в радиофизике

associate professor

chistyakovds@yandex.ruНижегородский государственный университет им. Н. И. ЛобачевскогоРоссияLobachevsky Nizhny Novgorod State UniversityRussian Federation201724122017182256266Copyright © Чистяков Д.С., 20172017Чистяков Д.С.Chistyakov D.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/336

В данной работе изучаются смешанные модули, обладающие следующим свойством: каждая однородная функция нескольких переменных данного модуля является аддитивной. Под однородной функцией понимается всякое отображение прямой суммы конечного числа копий некоторого модуля в сам модуль, перестановочное с эндоморфизмами данного модуля. В универсальной алгебре алгебраическая структура называется эндопримальной, если все ее терм-функции коммутируют с эндоморфизмами. Известно, что каждая эндодуализируемая конечная алгебра эндопримальна. Ряд авторов исследовал эндопримальные алгебры в многообразиях векторных пространств, полурешеток, булевых алгебр, алгебр Стоуна, алгебр Гейтинга и абелевых групп. В данной статье продолжается исследование связи эндопримальности и свойств мультипликативной полугруппы кольца эндоморфизмов модуля, начатое автором ранее. Рассмотрены классы смешанных нередуцированных расщепляющихся модулей и редуцированных нерасщепляющихся модулей над коммутативным дедекиндовым кольцом. Показана взаимосвязь указанной проблемы со свойством однозначности сложения в кольце эндоморфизмов модуля.

In this paper we study mixed modules, with the following property: every homogeneous function of several variables of a module is additive. By a homogeneous function we mean any mapping of the direct sum of a finite number of copies of a module into the module itself that commutes with the endomorphisms of the given module. In the universal algebra, the algebraic structure is said to be endoprimal if all its term-functions commute with endomorphisms. It is well-known that each endodualizable finite algebra is endoprimal. Some authors have studied endoprimal algebras in varieties of vector spaces, semilattices, Boolean algebras, Stone algebras, Heyting algebras, and Abelian groups. In this article, the links between endoprimality and the properties of the multiplicative semigroup of the endomorphism ring of a module, which the author started earlier. Classes of mixed non-reduced splitting modules and reduced modules over commutative Dedekind ring have been investigated. Links between this problem and the property of unique additivity has been shown.

дедекиндово кольцоделимый модульредуцированный модульсмешанный модульоднородное отображениетерм-функцияэндофункцияDedekind ringdivisible modulereduced modulemixed modulehomogeneous mapterm-functionendofunctionReferencesK. Kaarli, L. Marki. Endoprimal Abelian groups // Jour. Austral. Math. Soc. 1999. V. 67. 412 – 428.Kaarli K., Marki L. 1999, ”Endoprimal Abelian groups” , Jour. Austral. Math. Soc., vol. 67, pp. 412-428.K. Kaarli, L. Marki. Endoprimal Abelian groups of torsion-free rank 1 // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 2004. V. 112. 117 – 130.Kaarli K., Marki L. 2004, ”Endoprimal Abelian groups of torsion-free rank 1”, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, vol. 112, pp. 117-130.R. Gobel, K. Kaarli, L. Marki, S. Wallutis. Endoprimal torsion-free separable groups // Jour. of Alg. and Its Appl. 2004. V. 3. 61 – 73.Gobel R., Kaarli K., Marki L., Wallutis S. 2004, ”Endoprimal torsion-free separable groups”, Jour. of Alg. and Its Appl., vol. 3, pp. 61-73.U. Albrecht, S. Breaz, W. Wickless. Generalized endoprimal abelian groups // Jour. of Alg. and Its Appl. 2006. V. 5. 1 – 17.Albrecht U., Breaz S., Wickless W. 2006, ”Generalized endoprimal abelian groups”, Jour. of Alg. and Its Appl., vol. 5, pp. 1-17.B.A. Davey. Dualisability in general and endodualisability in particular // Logic and Algebra, Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 1996. V. 180. 437 – 455.Davey B.A. 1996, ”Dualisability in general and endodualisability in particular”, Logic and Algebra, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., vol. 180, pp. 437-455.B.A. Davey, J.G. Pitkethly. Endoprimal algebras // Algebra Universalis. 1997. V. 38. 266 – 288.Davey B.A., Pitkethly J.G. 1997, ”Endoprimal algebras”, Algebra Universalis, vol. 38, pp. 266- 288.Д.С. Чистяков. Сепарабельные модули без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов // Изв. вузов. Математика. 2015. T. 6. 53 – 59.Чистяков Д.С. 2015, ”Сепарабельные модули без кручения с UA-кольцами эндоморфиз- мов”, Изв. вузов. Математика, т. 6, с. 53-59.Д.С. Чистяков. Абелевы группы как UA-модули над своим кольцом эндоморфизмов // Матем. заметки. 2012. T. 91. 878 – 884.Чистяков Д.С. 2012, ”Абелевы группы как UA-модули над своим кольцом эндоморфиз- мов Матем. заметки т. 91, с. 878-884.О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков. Об абелевых группах без кручения с UA-кольцом эндоморфизмов // Вестник томского гос. универ. 2011. T. 14. 55 – 58.Любимцев О.В., Чистяков Д.С. 2011, ”Об абелевых группах без кручения с UA-кольцом эндоморфизмов” Вестник томского гос. универ., т. 14, с. 55-58.О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков. UA-свойства модулей над коммутативными нетеровыми кольцами // Изв. вузов. Матем. 2016. T. 11. 42 – 52.Любимцев О.В., Чистяков Д.С. 2016, ”UA-свойства модулей над коммутативными нетеро- выми кольцами”, Изв. вузов. Матем., т. 11. 42-52.R.E. Johnson. Rings with unique addition // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9. 55 – 61.Johnson R.E. 1958, "Rings with unique addition Proc. Amer. Math. Soc., vol. 9, pp. 55-61.W.S. Martindale, III. When are multiplicative mappings additive? // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. V. 21. 695 – 698.Martindale W.S. 1969, ”When are multiplicative mappings additive?”, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 21, pp. 695-698.A.V. Mikhalev. The multiplicative classification of associative rings // Math. Sb. 1988. V. 135(177). 210 – 224.Mikhalev A.V. 1988, ”The multiplicative classification of associative rings”, Math. Sb., vol. 135, pp. 210-224.Chr.-F. Nelius. Ringe mit eindentinger Addition. Paderborn. 1974.Nelius Chr.-F. 1974, ”Ringe mit eindentinger Addition”, Paderborn.C.E. Rickart. One-to-one mappings of rings and lattices // Amer. Math. Soc. 1948. V. 54. 758 – 764.Rickart C.E. 1948, ”One-to-one mappings of rings and lattices”, Amer. Math. Soc., vol. 54, pp. 758-764.W. Stephenson. Unique addition rings // Can. J. Math. 1969. V. 21(6). 1455 – 1461.Stephenson W. 1969, ”Unique addition rings”, Can. J. Math., vol. 21, pp. 1455-1461.I.I. Artamonova. On uniqueness of addition in semirings // Fundam. Prikl. Mat. 1997. V. 3. 1093 – 1100 (in Russian).Artamonova I.I. 1997, ”On uniqueness of addition in semirings”, Fundam. Prikl. Mat., vol. 3, pp. 1093-1100.I.V. Arzhantsev. Uniqueness of addition in semisimple Lie algebras // Russian Math. Surveys. 2001. V. 56. 569 – 571.Arzhantsev I.V. 2001, ”Uniqueness of addition in semisimple Lie algebras”, Russian Math. Surveys, vol. 56, pp. 569-571.A.B. van der Merwe. Unique addition modules // Comm. in Alg. 1999. V. 27. 4103 – 4115.van der Merwe A.B. 1999, ”Unique addition modules”, Comm. in Alg., vol. 27, pp. 4103-4115.О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков. Модули без кручения с UA-кольцами эндоморфимов // Матем. заметки. 2015. T. 98. 898 – 906.Любимцев О.В., Чистяков Д.С. 2015, ”Модули без кручения с UA-кольцами эндоморфи- мов”, Матем. заметки, т. 98, с. 898-906.О.В. Любимцев. Сепарабельные абелевы группы без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов// Фунд. и прикл. математика. 1998. T. 4. 1419 – 1422.Любимцев О.В. 1998, ”Сепарабельные абелевы группы без кручения с UA-кольцами эндо- морфизмов”, Фунд. и прикл. математика, т. 4, с. 1419-1422.О.В. Любимцев. Периодические абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов // Матем. заметки. 2001. T. 70. 736 – 741.Любимцев О.В. 2001, ”Периодические абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов”, Матем. заметки, т. 70, с. 736-741.О.В. Любимцев. Вполне разложимые факторно делимые абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов // Матем. заметки. 2015. T. 98. 125 – 133.Любимцев О.В. 2015, ”Вполне разложимые факторно делимые абелевы группы с UAкольцами эндоморфизмов”, Матем. заметки, т. 98, с. 125 – 133.О.В. Любимцев. Алгебраически компактные абелевы группы с UA-кольцами эндоморфимов // Фунд. и прикл. математика. 2015. T. 20. 121 – 129.Любимцев О.В. 2015, ”Алгебраически компактные абелевы группы с UA-кольцами эндо- морфимов”, Фунд. и прикл. математика, т. 20, с. 121-129.О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков. Смешанные абелевы группы с изоморфными полугруппами эндоморфизмов // Матем. заметки. 2015. T. 97. 556–565.Любимцев О.В, Чистяков Д.С. 2015, ”Смешанные абелевы группы с изоморфными полу- группами эндоморфизмов”, Матем. заметки, т. 97, с. 556-565.П.А. Крылов, А.А. Туганбаев. Модули над областями дискретного норирования. М.: Факториал Пресс. 2007.Крылов П.А., Туганбаев А.А. 2007, ”Модули над областями дискретного норирования”, М.: Факториал Пресс.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.