кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Chair of Higher Mathematics
Кольцом квазиэндоморфизмов ℰ(G) абелевой группы G без кручения конечного ранга называется делимая оболочка кольца эндоморфизмов этой группы. Элементы кольца ℰ(G) называются квазиэндоморфизмами группы G. Таким образом, квазиэндоморфизмы группы G — это обычные эндоморфизмы, формально поделенные на ненулевые целые числа.
В статье рассматриваются кольца квазиэндоморфизмов класса сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 4 с одним τ-адическим соотношением, псевдоцоколь которых имеет ранга 1. При этом используется описание групп этого класса с точностью до квазиизоморфизма в терминах четырехмерных над полем рациональных чисел Q подпространств алгебры Q(τ) = Q⊗∏︀p∈P Kp, где P — множество простых чисел, (mp) — занумерованные простыми индексами p неотрицательное целое число и символ ∞, τ = [(mp)] — фиксированный тип, Kp = Zpmp — кольцо классов вычетов по модулю pmp в случае mp < ∞, и Kp — кольцо целых p-адических чисел при mp = ∞. Существующая связь между квазиэндоморфизмами группы G рассматриваемого класса и эндоморфизмами соответствующего ей подпространства U алгебры Q(τ) позволяет представить квазиэндоморфизмы этой группы в виде матриц порядка 4 над полем рациональных чисел.
В работе получена классификация колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 4, с одним τ-адическим соотношением, псевдоцоколь которых имеет ранг 1. Доказано, что с точностью до изоморфизма существует 2 алгебры и 1 бесконечная серия алгебр с рациональным параметром, которые реализуются в качестве колец квазиэндоморфизмов рассматриваемого класса групп.
By the quasi-endomorphism ring ℰ(G) of a torsion-free Abelian group G of finite rank we mean divisible hull of the endomorphism ring of the group. The elements of ℰ(G) is called quasiendomorphisms of G. Thus the quasi-endomorphisms of the group G is normal endomorphisms, which formally divided by non-zero integers.
In the paper it is considered quasi-endomorphism rings of class of strongly indecomposable torsion-free Abelian groups of rank 4 with one τ-adic relation, whose pseudo-socles have rank 1. Let τ = [(mp)] be a fixed type, where mp is a non-negative integer or the symbol ∞, indexed by elemets of P, the set of primes numbers. Denote by Kp = Zpmp the residue class ring modulo pmp in the case mp < ∞ and ring of p-adic integers if mp = ∞. We use the description of the groups from the above class up to quasi-isomorphism in terms of four-dimension over the field of rational numbers Q subspaces of algebra Q(τ) = Q⊗∏︀p∈pKp. The existing relationship between the quasi-endomorphisms of a group G of this class and endomorphisms of the corresponding of this group subspace U of the algebra Q(τ) allows us to represent the quasi-endomorphisms of the group G in the form of a matrices of order 4 over the field of rational numbers.
In this paper, a classification of the quasi-endomorphism rings of strongly indecomposable torsion-free Abelian groups of rank 4 with one τ-adic relation, whose pseudosocles have rank 1, is obtained. It is proved that, up to isomorphism, there exist two algebras and one infinite series of algebras with rational parameter, which are realized as quasi-endomorphism rings of groups of this class.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.