chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-2-235-244cheb-334Research ArticleСтатьиArticleE-КОЛЬЦА МАЛЫХ РАНГОВE-RINGS OF LOW RANKSЦаревА. В.TsarevA. V.

Доктор физико-математических наук, б/з, профессор кафедры алгебры

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Algebra

an-tsarev@yandex.ruМосковский педагогический государственный университетРоссияMoscow Pedagogical State UniversityRussian Federation201724122017182235244Copyright © Царев А.В., 20172017Царев А.В.Tsarev A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/334

Ассоциативное кольцо R называется E-кольцом, если все эндоморфизмы его аддитивной группы R+ являются левыми умножениями, то есть для любого α ∈ EndR+ найдется r ∈ R, такой что α(x) = x·r для всех x ∈ R. E-кольца были введены в 1973 году Ф. Щультцем. Им посвящено большое количество работ, однако, в большинстве из них рассматриваются E-кольца без кручения. В данной работе рассматриваются E-кольца, в том числе и смешанные, ранги которых не превосходят 2. Хорошо известно, что E-кольца ранга 0 — это в точности кольца классов вычетов. Доказано, что E-кольца ранга 1 совпадают с бесконечными T-кольцами (с кольцами Rχ). Основным результатом статьи является описание E-колец ранга 2. А именно, доказано, что E-кольцо R ранга 2 либо раскладывается в прямую сумму E-колец ранга 1, либо имеет вид Zm ⊕ J, где J — m-делимое E-кольцо без кручения, либо кольцо R S-сервантно вкладывается в кольцо ∏︀ tp(R). Кроме того,

p∈S

получены некоторые результаты о нильрадикале смешанного E-кольца.

An associative ring R is called an E-ring if all endomorphisms of its additive group R+ are left multiplications, that is, for any α ∈ EndR+ there is r ∈ R such that α(x) = x · r for all x ∈ R. E-rings were introduced in 1973 by P. Schultz. A lot of articles are devoted to E-rings. But most of them are considered torsion free E-rings. In this work we consider E-rings (including mixed rings) whose ranks do not exceed 2. It is well known that an E-ring of rank 0 is exactly a ring classes of residues. It is proved that E-rings of rank 1 coincide with infinite T-ring (with rings Rχ). The main result of the paper is the description of E-rings of rank 2. Namely, it is proved that an E-ring R of rank 2 or decomposes into a direct sum of E-rings of rank 1, or R = Zm ⊕ J, where J is an m-divisible torsion free E-ring, or ring R is S-pure embedded in the ring ∏︀tp(R). In addition, we obtain some results about nilradical of a mixed

p∈S E-ring.

E-кольцоE-группаабелева группаT-кольцофакторно делимая группаE-ringE-groupabelian groupT-ringquotient divisible groupReferencesSchultz P. Periodic homomorphism sequences of abelian groups // Arch. Math. 1970. Vol. 21. P. 132-135.Schultz, P. 1970, "Periodic homomorphism sequences of abelian groups Arch. Math., vol. 21, pp. 132-135.Schultz P. The endomorphism ring of the additive group of a ring // J. Austral. Math. Soc. 1973. Vol. 15. P. 60-69.Schultz, P. 1973, "The endomorphism ring of the additive group of a ring J. Austral. Math. Soc., vol. 15., pp. 60-69.Fuchs L. Abelian groups. Publ. House of the Hungar. Acad. Sci. Budapest, 1958.Fuchs, L. 1958, "Abelian groups Publ. House of the Hungar. Acad. Sci. Budapest.Bowshell R. A., Schultz P. Unital rings whose additive endomorphisms commute // Math. Ann. 1977. Vol. 228, №3. P. 197-214.Bowshell, R. A. & Schultz, P. 1977, "Unital rings whose additive endomorphisms commute Math. Ann., vol. 228, no. 3, pp. 197-214.G¨obel R., Shelah S., Str¨ungmann L. Generalized E-Rings // arxiv.org. 2003.G¨obel, R., Shelah, S. & Str¨ungmann, L. 2003, "Generalized E-Rings arxiv.org. 2003. 6. Fuchs, L. 1970, 1973, "Infinite abelian groups vol. 1, 2, Academic press.Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. I, II. М.: Мир, 1973, 1977.Vinsonhaler, C. 2002, "E-rings and related structures Math. Apl., vol. 520, pp. 387-402.Vinsonhaler C., E-rings and related structures. In: Non-noethereian commutative ring theory. Math. Apl. Kluwer, Dordrecht. 2002. Vol. 520. P. 387-402.Szele, T., Szendrei, J. 1951, "On abelian groups with commutative endomorphism ring Acta Mathematica Hungarica, vol. 2, no. 3, pp. 309-324.Szele T., Szendrei J. On abelian groups with commutative endomorphism ring // Acta Mathematica Hungarica. 1951. Vol. 2, №3. P. 309-324.Krylov, P. A., Mikhalev, A. V. & Tuganbaev, A. A. 2013, "Endomorphism rings of Abelian groups vol. 2, Springer Science & Business Media.Крылов П. А., Михалев А. В., Туганбаев А. А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал Пресс, 2006.Fomin, А. A. 2014, "To Quotient Divisible Group Theory. I Journal of Mathematical Sciences (New York), vol. 197, no. 5, pp. 688–697Фомин А. А. К теории факторно делимых групп. I // Фундамент. и прикл. матем. 2012. Том 17, №8. С. 153-167.Fomin, А. A. 2015, "To Quotient Divisible Group Theory. II Fundamentalnaya i prikladnaya matematika (russian translation), vol. 20, no. 5, pp. 157-196.Фомин А. А. К теории факторно делимых групп. II // Фундамент. и прикл. матем. 2015. Том 20, №5. С. 157-196.Davydova O. I. 2008, "Rank-1 quotient divisible groups J. Math. Sci., vol. 154, no. 3, pp. 295- 300.Давыдова О. И. Факторно делимые группы ранга 1 // Фундамент. и прикл. матем. 2007. Том 13, №3. С. 25–33.Tsarev, A. V. 2013, "T-rings and rank-1 quotient divisible groups Vestnik TGU (russian translation), no. 4(24), pp. 50–53.Царев А. В. T-кольца и факторно делимые группы ранга 1 // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2013. №4(24). C. 50–53.Tsarev, A. V. 2015, "T-rings Fundamentalnaya i prikladnaya matematika (russian translation), vol. 20, no. 5, pp. 203–207.Царeв А. В. T-кольца // Фундамент. и прикл. матем. 2015. Том 20, №5. С. 203–207.Beaumont, R., Pierce, R. 1961, "Torsion free rings Ill. J. Math., vol. 5, pp. 6-98.Beaumont R., Pierce R. Torsion free rings // Ill. J. Math. 1961. Vol. 5. P. 6-98.Beaumont R., Pierce R. Torsion free rings // Ill. J. Math. 1961. Vol. 5. P. 6-98.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.