Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor
кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой алгебры и дискретной математики
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Head of the Department of Algebra and Discrete Mathematics
старший преподаватель кафедры геометрии и компьютерных наук
Senior lecturer of the Department of Geometry and Computer Science
кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры алгебры и дискретной математики
Candidate of pedagogical sciences, senior lecturer of the department of algebra and discrete mathematics
Один из способов изучения свойств колец, алгебр, алгебр Ли, а также их идеалов предполагает сведение их описания через свойства модулей над этими кольцами, алгебрами, алгебрами Ли. В статье рассматриваются вопросы исследования радикалов алгебр Ли, обсуждаются возможности гомологического описания радикала Джекобсона алгебры Ли и нильпотентного радикала специальной алгебры Ли.
В первом разделе работы вводятся основные понятия исследуемых в дальнейшем радикалов и алгебр Ли.
Второй раздел посвящен радикалу Джекобсона для алгебр Ли. Доказано, что пересечение аннуляторов всех неприводимых модулей над произвольной алгеброй Ли L совпадает с пересечением алгебры Ли L и радикала Джекобсона универсальной обертывающей алгебры.
Приведены примеры алгебр Ли, подтверждающие данный факт, а также позволяющие доказать равенство нильпотентного радикала PI-неприводимо представленному радикалу конечномерной алгебры Ли над полем характеристики нуль. Рассмотрены соотношения локально нильпотентного радикала и естественных, гомологически заданных радикалов: неприводимо представленного, PI-неприводимо представленного и конечно неприводимо представленного.
В третьем разделе работы показано, что для произвольной специальной алгебры Ли L над полем F характеристики нуль имеет место включение локально нильпотентного радикала в PI-неприводимо представленный, причем в общем случае это включение строгое. Сопоставление первичного радикала с PI--неприводимо представленным позволяет сделать вывод, что ни одно из возможных включений не выполняется и PI-неприводимо представленный радикал не является локально разрешимым в общем случае.
Приведен пример специальной алгебры Ли L над полем F, charF ̸= 2, в которой, при условии ненулевого неприводимо представленного радикала, локально нильпотентный радикал равен нулю.
One way to study the properties of rings, algebras, Lie algebras and their ideals presupposes their description via the properties of modules over these rings, algebras, Lie algebras. This article deals with the study of radicals of Lie algebras. We discuss the possibility of homological descriptions of the Jacobson radical of Lie algebras and nilpotent radical of the special Lie algebra.
The first section introduces the concepts of radicals of Lie algebras.
The second section is devoted to the Jacobson radical of Lie algebras. It is proved that the intersection of all annihilators of irreducible modules over an arbitrary Lie algebra L coincides with the intersection of the Lie algebras L and the Jacobson radical of the universal enveloping algebra. This section contains examples that prove this fact. This examples allows to prove the equality of the nilpotent radical of PI-irreducible represented radical of finite-dimensional Lie algebra over a field of characteristic zero. We find the correlation between the locally nilpotent radical and others radicals of Lie algebras such that the irreducible represented radical, the PI-irreducible represented radical and the finitely irreducible represented radical.
In the third section it is shown that the locally nilpotent radical is included in the PI-irreducible represented radical for an arbitrary special Lie algebra L over a field F of characteristics zero. We have proved that the prime radical is not included in the PI-irreducible represented radical. The reverse inclusion for these radicals does not hold. The PI-irreducible represented radical is not locally solvable in the general case. Shows an example of a special Lie algebra L over a field F with the locally nilpotent radical, which has is equal to zero.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.