chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-2-154-172cheb-328Research ArticleСтатьиArticleО КОНГРУЭНЦ–КОГЕРЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ РИСА И АЛГЕБРАХ С ОПЕРАТОРОМON CONGRUENCE-COHERENT REES ALGEBRAS AND ALGEBRAS WITH AN OPERATORЛатаА. Н.LataA. N.

аспирант кафедры высшей алгебры, Механико-математического факультета

Postgraduate student, Department of Higher Algebra, Faculty of Mechanics and Mathematics

alex.lata@yandex.ruМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation201723122017182154172Copyright © Лата А.Н., 20172017Лата А.Н.Lata A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/328

В работе описываются конгруэнц-когерентные алгебры Риса и алгебры с оператором. Концепция когерентности была предложена Д.Гейгером.

В разделе 3 найдены условия отсутствия свойства конгруэнц-когерентности для алгебр имеющих собственные подалгебры. Для алгебр Риса получено необходимое условие конгруэнц–когерентности. Для произвольной алгебры с оператором найдены достаточные условия конгруэнц–когерентности. Кроме того, полностью описаны конгруэнц–когерентные унары.

В разделе 4 рассматриваются модификации свойства конгруэнц–когерентности. Понятия слабой и локальной когерентности были предложены И.Хайда. Установлены достаточные условия слабой и локальной когерентности алгебр с оператором.

В разделе 5 рассматриваются алгебры ⟨A,d,f⟩, сигнатура которых состоит из тернарной операции d(x,y,z) и унарной операции f, являющейся эндоморфизмом относительно первой операции. Тернарная операция d(x,y,z) определена в соответствии с подходом, предложенным В.К. Карташовым. Для алгебр ⟨A,d,f⟩ получены необходимые и достаточные условия конгруэнц–когерентности. Для алгебр ⟨A,d,f,0⟩ с нульарной операцией 0 для которой f(0) = 0, найдены необходимые и достаточные условия слабой и локальной когерентности.

The paper contains a classification of congruence-coherent Rees algebras and algebras with an operator. The concept of coherence was introduced by D.Geiger. An algebra A is called coherent if each of its subalgebras containing a class of some congruence on A is a union of such classes.

In Section 3 conditions for the absence of congruence-coherence property for algebras having proper subalgebras are found. Necessary condition of congruence-coherence for Rees algebras are obtained. Sufficient condition of congruence-coherence for algebras with an operator are obtained. In this section we give a complete classification of congruence-coherent unars.

In Section 4 some modification of the congruence-coherent is considered. The concept of weak and locally coherence was introduced by I.Chajda. An algebra A with a nullary operation 0 is called weakly coherent if each of its subalgebras including the kernel of some congruence on A is a union of classes of this congruence. An algebra A with a nullary operation 0 is called locally coherent if each of its subalgebras including a class of some congruence on A also includes a class the kernel of this congruence. Section 4 is devoted to proving sufficient conditions for algebras with an operator being weakly and locally coherent.

In Section 5 deals with algebras ⟨A,d,f⟩ with one ternary operation d(x,y,z) and one unary operation f acting as endomorphism with respect to the operation d(x,y,z). Ternary operation d(x,y,z) was defined according to the approach offered by V.K. Kartashov. Necessary and sufficient conditions of congruence-coherent for algebras ⟨A,d,f⟩ are obtained. Also, necessary and sufficient conditions of weakly and locally coherent for algebras ⟨A,d,f,0⟩ with nullary operation 0 for which f(0) = 0 are obtained.

решетка конгруэнцийконгруэнц-когерентностьслабая когерентностьлокальная когерентностьалгебра Рисаконгруэнция Рисаалгебра с операторамиунар с мальцевской операциейоперация почти единогласияслабая операция почти единогласияcongruence latticecoherenceweakly coherencelocally coherenceRees algebraRees congruencealgebra with operatorsunar with Mal’tsev operationnear-unanimity operationweak near-unanimity operationReferencesGeiger D. Coherent algebras // Notices Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 21. A-436.Geiger, D. 1974, “Coherent algebras“, Notices Amer. Math. Soc., vol. 21, A-436.Taylor W. Uniformity of congruences // Algebra Universalis. 1974. Vol. 4. Pp. 342–360. doi:10.1007/BF02485747Taylor, W. 1974, “Uniformity of congruences“, Algebra Universalis, vol. 4, no. 1, pp. 342-360. doi:10.1007/BF02485747Beazer R. Coherent De Morgan algebras // Algebra Universalis. 1987. Vol. 24, Issue 1. Pp. 128– 136. doi:10.1007/BF01188390Beazer, R. 1987, “Coherent De Morgan algebras“, Algebra Universalis, vol. 24, no. 1, pp. 128-136. doi:10.1007/BF01188390Adams M. E., Atallah M., and Beazer R. Congruence distributive double p–algebras // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1996. Vol. 39. issue 2. Pp. 71–80. doi: 10.1017/S0013091500022793Adams, M. E., Atallah, M. & Beazer, R. 1996, “Congruence distributive double ????–algebras“, Proc. Edinburgh Math. Soc., vol. 39, no. 2, pp. 71–80. doi: 10.1017/S0013091500022793Duda J. A×A congruence coherent implies A congruence regular // Algebra Universalis. 1991. Vol. 28. Pp. 301–302 doi: 10.1007/BF01190858Duda, J. 1991, “????×???? congruence coherent implies A congruence regular“, Algebra Universalis, vol. 28, no. 2, pp. 301–302. doi: 10.1007/BF01190858Blyth T. S., Fang J. Congruence coherent double MS-algebras// Glasgow Math. J. 1999. Vol. 41. Issue 2. Pp. 289–295.Blyth, T. S., Fang, J. 1999, “Congruence coherent double MS-algebras“, Glasgow Math. J., vol. 41, no. 2, pp. 289–295.Blyth T. S., Fang J. Congruence Coherent Symmetric Extended de Morgan Algebras // Studia Logica. 2007. Vol. 87. Pp. 51–63. doi:10.1007/s11225-007-9076-3Blyth, T. S., Fang, J. 2007, “Congruence Coherent Symmetric Extended de Morgan Algebras“, Studia Logica, vol. 87, no. 1, pp. 51–63. doi:10.1007/s11225-007-9076-3Chajda I., Duda J. Rees algebras and their varieties // Publ. Math. (Debrecen). 1985. Vol. 32. Pp. 17–22.Chajda, I., Duda, J. 1985, “Rees algebras and their varieties“, Publ. Math. (Debrecen), vol. 32, pp. 17–22.Chajda I. Rees ideal algebras // Math. Bohem. 1997. Vol. 122. No. 2. Pp. 125–130.Chajda, I. 1997, “Rees ideal algebras“, Math. Bohem., vol. 122, no. 2, pp. 125–130.Seˇselja B., Tepavˇcevi´c A. On a characterization of Rees varieties // Tatra Mountains Math. ˇ Publ. 1995. Vol. 5. Pp. 61–69.Seˇselja, B., Tepavˇcevi´c, A. 1995,“On a characterization of Rees varieties“, ˇ Tatra Mountains Math. Publ., vol. 5, pp. 61–69.Duda J. Rees sublattices of a lattice // Publ. Math. 1988. Vol. 35. Pp. 77–82.Duda, J. 1988, “Rees sublattices of a lattice“, Publ. Math. (Debrecen), vol. 35, pp. 77–82.Varlet J. C. Nodal filters in semilattices // Comm. Math. Univ. Carolinae. 1973. Vol. 14. Pp. 263–277.Varlet, J. C. 1973, “Nodal filters in semilattices“, Comm. Math. Univ. Carolinae, vol. 14, no. 2, pp. 263–277.Johnsson B. A survey of Boolean algebras with operators // Algebras and Orders, NATO ASI Series. 1993. Vol. 389. Pp. 239–286.Johnsson, B. 1993, “A survey of Boolean algebras with operators“, Algebras and Orders, NATO ASI Series, vol. 389, pp. 239–286. doi: 10.1007/978-94-017-0697-1_6Hyndman J., Nation J. B., Nishida J. Congruence Lattices of Semilattices with Operators // Studia Logica. 2016. Vol. 104. issue 2. Pp. 305–316. doi:10.1007/s11225-015-9641-0Hyndman, J., Nation, J. B. & Nishida, J. 2016,“Congruence Lattices of Semilattices with Operators“, Studia Logica, vol. 104, no. 2, pp. 305–316. doi:10.1007/s11225-015-9641-0Bonsangue M. M., Kurz A., Rewitzky I. M. Coalgebraic representations of distributive lattices with operators //Topology and its Applications. 2007. Vol. 154. No. 4. Pp. 778-791.Bonsangue, M. M., Kurz, A. & Rewitzky, I. M. 2007, “Coalgebraic representations of distributive lattices with operators“, Topology and its Applications, vol. 154, no. 4, pp. 778–791. doi: 10.1016/j.topol.2005.10.010Adaricheva K. V., Nation J. B. Lattices of quasi-equational theories as congruence lattices of semilattices with operators: part I, part II // International Journal of Algebra and Computation. 2012. Vol. 22. Issue 07, part I: 27 p., part II: 16 p.Adaricheva, K. V., Nation, J. B. 2012, “Lattices of quasi-equational theories as congruence lattices of semilattices with operators: part I, part II“, International Journal of Algebra and Computation, vol. 22, issue 07, part I: 27 pp. doi: 10.1142/S0218196712500658; part II: 16 pp. doi: 10.1142/S021819671250066XNurakunov A. M. Equational theories as congruences of enriched monoids // Algebra Universalis. 2008. Vol. 58. No. 3. Pp. 357-372.Nurakunov, A. M. 2008, “Equational theories as congruences of enriched monoids“, Algebra Universalis, vol. 58, no. 3, pp. 357–372. doi: 10.1007/s00012-008-2080-2Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. 456 с.Gr¨atzer, G. 1978, "General Lattice Theory Akademie-Verlag, Berlin.Артамонов В. А. [и др.] Общая алгебра. Т.2. / под общей ред. Л.А. Скорнякова. М.: Наука, 1991. 480 с.Artamonov, V. A., Salii, V. N., Skornyakov, L. A., Shevrin, L. N. & Shul’geifer, E.G. 1991, "Obshchaya algebra. Tom 2"[General algebra. Vol. 2], in Skornyakov, L.A. (ed.), Nauka, Moscow, 480 pp. (Russian)Усольцев В. Л. О подпрямо неразложимых унарах с мальцевской операцией // Известия Волг. гос. пед. ун-та, сер. "Естественные и физико-математические науки". 2005. N 4(13). С. 17–24.Usol’tsev, V.L. 2005, “On subdirect irreducible unars with Mal’tsev operation“, Izvestiya VGPU. Seriya estestvennye i fiziko-matematicheskie nauki, Volgograd, no. 4(13), pp. 17-24. (Russian)Усольцев В. Л. Простые и псевдопростые алгебры с операторами // Фунд. и прикл. матем. 2008. Т. 14. Вып. 7. С. 189–207.Usol’tsev, V.L. 2008, “Simple and pseudosimple algebras with operators“, Fundamental’naya i prikladnaya matematika, vol. 14, no. 7, pp. 189–207 (Russian); translation in Journal of Mathematical Sciences, 2010, vol. 164, no. 2, pp. 281-293. doi: 10.1007/S1095800997306Егорова Д.П. Структура конгруэнций унарной алгебры // Упорядоченные множества и решетки: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1978. Вып. 5. С. 11–44.Egorova, D.P. 1978, “The congruence lattice of unary algebra“, Uporyadochennye Mnozhestva i Reshetki: Mezhvuzovskiy Nauchnyy Sbornik, Izdatel’stvo Saratovskogo universiteta, Saratov, issue 5, pp. 11–44. (Russian)Усольцев В. Л. О гамильтоновых тернарных алгебрах с операторами // Чебышевский сб. 2014. Т. 15. Вып. 3. С. 100–113.Chajda, I. 1991, “Weak coherence of congruences“, Czechoslovak Math. J., vol. 41, no. 1, pp. 149–154.Chajda I. Weak coherence of congruences // Czechoslovak Math. J. 1991. Vol. 41. no. 1. Pp. 149– 154.Chajda, I. 1999, “Locally coherent algebras“, Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. rer. nat., Math., vol. 38, no. 1, pp. 43–48.Chajda I. Locally coherent algebras // Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. rer. nat., Math. 1999. Vol. 38. no. 1. Pp. 43–48.Kartashov, V. K. 1999, “On unars with Mal’tsev operation“, Universal’naya algebra i ee prilozheniya: Tezisy soobshcheniy uchastnikov mezhdunarodnogo seminara, posvyashchennogo pamyati prof. Mosk. gos. un-ta L.A. Skornyakova (Universal algebra and application: theses of International workshop dedicated memory of prof. L.A. Skornyakov), Volgograd, pp. 31–32. (Russian)Карташов В.К. Об унарах с мальцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. сообщ. участ. междунар. семинара, посвящ. памяти проф. Моск. гос. ун-та Л.А. Скорнякова. Волгоград: Перемена, 1999. С. 31–32.Pixley, A. F. 1963, “Distributivity and permutability of congruence relations in equational classes of algebras“, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 14, no. 1, pp. 105–109. doi: 10.1090/S0002- 9939-1963-0146104-XPixley A. F. Distributivity and permutability of congruence relations in equational classes of algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 14. No. 1. Pp. 105–109.Usol’tsev, V.L. 2011, “Free algebras of variety of unars with Mal’tsev operation ????, define by identity ????(????, ????, ????) = ????“, Chebyshevskiy sbornik, vol. 12, issue 2, pp. 127–134. (Russian)Усольцев В.Л. Свободные алгебры многообразия унаров с мальцевской операцией p, заданного тождеством p(x,y,x) = y // Чебышевский сб. 2011. Т. 12. Вып. 2. С. 127–134.Usol’tsev, V. L. 2013, “On strictly simple ternary algebras with operators“, Chebyshevskiy sbornik, vol. 14, issue 4, pp. 196–204. (Russian)Усольцев В. Л. О строго простых тернарных алгебрах с операторами // Чебышевский сб. 2013. Т. 14. Вып. 4. С. 196–204.Usol’tsev, V. L. 2012, “On polynomially complete and abelian unars with Mal’tsev operation“, Uchenye zapiski Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta, Izdatel’stvo Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta, Orel, vol. 6(50), part 2, pp. 229–236. (Russian)Усольцев В. Л. О полиномиально полных и абелевых унарах с мальцевской операцией // Уч. зап. Орловского гос. ун-та. 2012. Т. 6(50). Ч. 2. С. 229–236.Usol’tsev, V. L. 2014, “On Hamiltonian ternary algebras with operators“, Chebyshevskiy sbornik, vol. 15, issue 3, pp. 100–113. (Russian)Усольцев В. Л. О гамильтоновом замыкании на классе алгебр с одним оператором // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 4. С. 284–302.Usol’tsev, V. L. 2015, “On hamiltonian closure on class of algebras with one operator“, Chebyshevskiy sbornik, vol. 16, issue 4, pp. 284–302. (Russian)Усольцев В. Л. Алгебры Риса и конгруэнц-алгебры Риса в одном классе алгебр с оператором и основной операцией почти единогласия // Чебышевский сб. 2016. Т. 17. Вып. 4. С. 157–166.Usol’tsev, V. L. 2016, “Rees algebras and rees congruence algebras of one class of algebras with operator and basic near-unanimity operation“, Chebyshevskiy sbornik, vol. 17, issue 4, pp. 157– 166. (Russian)Лата А. Н. О коатомах и дополнениях в решетках конгруэнций унаров с мальцевской операцией // Чебышевский сб. 2015. Т. 16. Вып. 4. С. 212–226.Lata, A. N. 2015, “On coatoms and complements in congruence lattices of unars with Mal’tsev operation“, Chebyshevskiy sbornik, vol. 16, issue 4, pp. 212–226. (Russian)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.