chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-2-98-128cheb-325Research ArticleСтатьиArticleКЛАССИФИКАЦИЯ ЧИСТО-ВЕЩЕСТВЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙCLASSIFICATION PURELY REAL ALGEBRAIC IRRATIONALITIESДобровольскийН. М.Dobrovol’skiiN. M.

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой

doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the Department algebra, calculus and geometry

ДобровольскийН. Н.Dobrovol’skiiN. N.

кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики

candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of applied mathematics and computer science

nikolai.dobrovolsky@gmail.comСоболевД. К.SobolevD. K.

аспирант кафедры дискретной математики и информатики

аспирант кафедры дискретной математики и информатики

co6ojib@gmail.comСоболеваВ. Н.SobolevaV. N.

аспирант кафедры теории чисел

аспирант кафедры теории чисел

printsessa@gmail.comТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State L. N. Tolstoy Pedagogical UniversityRussian FederationТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian FederationМосковский педагогический государственный университетРоссияМосковский педагогический государственный университетRussian Federation20172312201718298128Copyright © Добровольский Н.М., Добровольский Н.Н., Соболев Д.К., Соболева В.Н., 20172017Добровольский Н.М., Добровольский Н.Н., Соболев Д.К., Соболева В.Н.Dobrovol’skii N.M., Dobrovol’skii N.N., Sobolev D.K., Soboleva V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/325

В работе предложена новая классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей на основе их разложения в цепные дроби.

Показано, что для чисто-вещественных алгебраических иррациональностей α степени n > 2, начиная с некоторого номера m0 = m0(α), последовательность остаточных дробей αm является последовательностью приведённых алгебраических иррациональностей.

Найдены рекуррентные формулы для нахождения минимальных многочленов остаточных дробей с помощью дробно-линейных преобразований. Композиция этих дробнолинейных преобразований является дробно-линейным преобразование, переводящем систему сопряжённых к алгебраической иррациональности α в систему сопряжённых к остаточной дроби, обладающую ярко выраженным эффектом концентрации около рациональной дроби .

Установлено, что последовательность минимальных многочленов для остаточных дробей образует последовательность многочленов с равными дискриминантами.

В работе доказываются предельные соотношения с коэффициентами минимального многочлена, связанные с эффектом концентрации сопряжённых чисел остаточной дроби.

В заключении поставлена проблема о структуре рационального сопряжённого спектра вещественного алгебраического иррационального числа α и о его предельных точках

We study the appearance and properties of minimal residual fractions of polynomials in the decomposition of algebraic numbers into continued fractions.

It is shown that for purely real algebraic irrationalities ???? of degree ???? > 2, starting from some number ????0 = ????0(????), the sequence of residual fractions ???????? is a sequence of given algebraic irrationalities.

The definition of the generalized number of Piso, which differs from the definition of numbers he’s also the lack of any requirement of integrality.

It is shown that for arbitrary real algebraic irrationals ???? of degree ???? > 2, starting from some number ????0 = ????0(????), the sequence of residual fractions ???????? is a sequence of generalized numbers Piso.

Found an asymptotic formula for the conjugate number to the residual fractions of generalized numbers Piso. From this formula it follows that associated to the residual fraction ???????? are concentrated about fractions − ????????−2 ????????−1 is either in the interval of radius ???? (︁ 1 ????2 ????−1 )︁ in the case of purely real algebraic irrationals, or in circles with the same radius in the General case of real algebraic irrationals, which have complex conjugate of a number.

It is established that, starting from some number ????0 = ????0(????), fair recurrent formula for incomplete private ???????? expansions of real algebraic irrationals ????, Express ???????? using the values of the minimal polynomial ????????−1(????) for residual fractions ????????−1 and its derivative at the point ????????−1.

Found recursive formula for finding the minimal polynomials of the residual fractions using fractional-linear transformations. Composition this fractional-linear transformation is a fractional-linear transformation that takes the system conjugate to an algebraic irrationality of ???? in the system of associated to the residual fraction, with a pronounced effect of concentration about rational fraction − ????????−2 ????????−1 .

It is established that the sequence of minimal polynomials for the residual fractions is a sequence of polynomials with equal discriminantly.

In conclusion, the problem of the rational structure of a conjugate of the spectrum of a real algebraic irrational number ???? and its limit points. 

минимальный многочленприведённая алгебраическая иррациональностьобобщенное число Пизоостаточные дробицепные дробиminimal polynomialgiven an algebraic irrationalitygeneralized number Pisoresidual fractionscontinued fractionsReferencesА. Г. Александров Исследование на ЭВМ непрерывных дробей // Алгоритмические исследования в комбинаторике. М.: Наука. 1978. С. 142–161, 187.Aleksandrov, A. G. 1978, "Computer investigation of continued fractions." , Algorithmic studies in combinatorics Nauka, Moscow, pp. 142—161, 187. (Russian)В. Н. Берестовский, Ю. Г. Никоноров Цепные дроби, группа GL(2,Z) и числа Пизо // Матем. тр. 2007. Т. 10, № 1. С. 97–131.Berestovskii, V. N. & Nikonorov, Yu. G. 2007, “Continued Fractions, the Group GL(2,Z), and Pisot Numbers”, Siberian Adv. Math., vol. 17, no. 4, pp. 268—290.А. Д. Брюно Разложение алгебраических чисел в цепные дроби // Жур. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т. 4, № 2. С. 211–221.Bruno, A. D. 1964, “Continued fraction expansion of algebraic numbers”, USSR Comput. Math. and Math. Phys., vol. 4, no. 2, pp. 1–15. (Russian)А. Д. Брюно Универсальное обобщение алгоритма цепной дроби // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 2. С. 35–65.Bruno, A. D. 2015, “Universal generalization of the continued fraction algorithm”, Chebyshevsky sbornik, vol. 16, no. 2, pp. 35–65. (Russian)Г. Вейль Алгебраическая теория чисел. М.: Гос. из-во И. Л. 1947. 226 с.Weyl, Hermann 1940, "Algebraic Theory of Numbers." , Annals of Mathematics Studies, no. 1. Princeton University Press, Princeton, N. J., viii+223 pp.Вороной Г. Ф. Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей. Варшава: Из-во Варш. Ун-та, 1896. Также: Собр. соч. в 3-х томах. Киев: Из-во АН УССР, 1952. Т. 1. С. 197–391.Voronoi, GF 1896, On Generalization of the Algorithm of Continued Fraction, Warsawa University. ¨Н. М. Добровольский Гиперболическая дзета-функция решёток // Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090–84.Dobrovol’skii, N. M. 1984, "Hyperbolic Zeta function lattices." , Dep. v VINITI 24.08.84, №6090–84.(Russian)Н. М. Добровольский Квадратурные формулы на классах ???????? ???? (????) и ???????? ???? (????) // Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6091–84.Dobrovol’skii, N. M. 1984, "Quadrature formulas for classes ???????? ???? (????) and ???????? ???? (????)." , Dep. v VINITI 24.08.84. № 6091–84. (Russian)Н. М. Добровольский О современных проблемах теории гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 1. С. 176–190.Dobrovol’skii, N. M. 2015, "About the modern problems of the theory of hyperbolic zetafunctions of lattices" , Chebyshevskii Sb., vol. 16, no. 1(53), pp. 176 — 190. (Russian)Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский О минимальных многочленах остаточных дробей для алгебраических иррациональностей // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 3. С. 147–182.Dobrovol’skii, N. M. & Dobrovol’skii, N. N. 2015, "About minimal polynomial residual fractions for algebraic irrationalities" , Chebyshevskii Sb., vol. 16, no. 3(55), pp. 147–182. (Russian)Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва, Н. С. Полякова Дробно-линейные преобразования многочленов и линейные преобразования форм // Материалы XIII Международной конференции Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, Дополнительный том. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. 2015. С. 134–149.Dobrovol’skii, N. M., Sobolev, D. K. & Soboleva, V. N. 2013, "On the matrix decomposition of a reduced cubic irrational" , Chebyshevskii Sb., vol. 14, no. 1(45), pp. 34—55. (Russian)Н. М. Добровольский, Д. К. Соболев, В. Н. Соболева О матричном разложении приведенной кубической иррациональности // Чебышевский сб. 2013. Т. 14, вып. 1. С. 34–55.Dobrovol’skii, N. M. & Yushina, E. I. 2014, "On the reduction of algebraic irrationalities" , Algebra and Applications: Proceedings of the International Conference on Algebra, dedicated to the 100th anniversary of L. A. Kaloujnine, Nalchik, 6–11 September 2014 – Nalchik: publishing house KBSU., pp. 44 – 46. (Russian)Н. М. Добровольский, Е. И. Юшина О приведенных алгебраических иррациональностях // Алгебра и приложения: труды Международной конференции по алгебре, посвященной 100-летию со дня рождения Л. А. Калужнина, Нальчик, 6–11 сентября 2014 г. – Нальчик: из-во КБГУ. С. 44–46.Dobrovol’skii, N. M., Dobrovol’skii, N. N. & Yushina, E. I. 2012, "On a matrix form of a theorem of Galois on purely periodic continued fractions" , Chebyshevskii Sb., vol. 13, no. 3(43), pp. 47– 52. (Russian)Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Е. И. Юшина О матричной форме теоремы Галуа о чисто периодических цепных дробях // Чебышевский сб. 2012. Т. 13, вып. 3. С. 47–52.Podsypanin, V. D. 2007, "On the expansion of irrationalities of the fourth degree in the continued fraction" , Chebyshevskii Sb., vol. 8, no. 3(23), pp. 43—46. (Russian)Подсыпанин В. Д. О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Материалы межвузовской научной конференции математических кафедр пединститутов Центральной зоны. Тула, 1968, С. 68–70.Podsypanin, E. V. 1977, "A generalization of the continued fraction algorithm that is related to the Viggo Brun algorithm" , Studies in number theory (LOMI), 4. Zap. Naucn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI), vol. 67, pp. 184—194, 227. (Russian)В. Д. Подсыпанин О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Чебышевский сб. 2007. Т. 8, вып. 3(23). С. 43—46.Podsypanin, E. V. 2007, "On the expansion of irrationalities of higher degrees in the generalized continued fraction (Materials V. D. Podsypanin) the manuscript of 1970" , Chebyshevskii Sb., vol. 8, no. 3(23), pp. 47—49. (Russian)Е. В. Подсыпанин, Об одном обобщении алгоритма цепных дробей, связанном с алгоритмом Вигго Бруна // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1977. Т. 67. С. 184–194.Prasolov, V. V. 2001, "Polynomials." Translated from the 2001 Russian second edition by Dimitry Leites. Algorithms and Computation in Mathematics, 11. Springer-Verlag, Berlin, 2004. xiv+301 pp. ISBN: 3-540-40714-6.Е. В. Подсыпанин О разложении иррациональностей высших степеней в обобщенную непрерывную дробь (по материалам В. Д. Подсыпанина) рукопись 1970 // Чебышевский сб. 2007. Т. 8, вып. 3(23). С. 47—49.Trikolich, E. V. & Yushina, E. I. 2009, "Continued fractions for quadratic irrationalities from the field Q( √ 5)" , Chebyshevskii Sb., vol. 10, no. 1(29), pp. 77–94. (Russian)В. В. Прасолов Многочлены. — 3-е изд., исправленное. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с.Frolov, K. K. 1976, "Upper bounds for the errors of quadrature formulae on classes of functions." , Dokl. Akad. Nauk SSSR Vol. 231, no. 4, pp. 818—821. (Russian)Е. В. Триколич, Е. И. Юшина Цепные дроби для квадратических иррациональностей из поля Q( √ 5) // Чебышевский сб. 2009. Т. 10, вып. 1. С. 77–94.Frolov, K. K. 1979, "Kvadraturnye formuly na klassakh funktsiy." , PhD thesis. Moscow. VTS AN SSSR. (Russian)Фельдман Н. И. Приближения алгебраических чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. — 200 с.Yushina, E. I. 2015, "About some the reduction of algebraic irrationalities" , Modern problems of mathematics, mechanics, Computer Science: Proceedings of the Regional scientific student conference. Tula: TulSU, pp. 66–72.К. К. Фролов Оценки погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231, №. 4. С. 818—821.N. M. Dobrovol’skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, N. N. Dobrovol’skii 2016, “On Lagrange algorithm for reduced algebraic irrationalities” , Bul. Acad. ¸Stiin¸te Repub. Mold. Mat., no. 2, pp. 27–39.К. К. Фролов Квадратурные формулы на классах функций: дис. . . . к-та физ.-мат. наук. М: ВЦ АН СССР. 1979.Nikolai M. Dobrovol’skii, Nikolai N. Dobrovolsky, Irina N. Balaba, Irina Yu. Rebrova, Dmitrii K. Sobolev and Valentina N. Soboleva 2016, "Generalized Pisot Numbers and Matrix Decomposition" , Springer International Publishing Switzerland, V. A. Sadovnichiy and M. Z. Zgurovsky (eds.), Advances in Dynamical Systems and Control, Studies in Systems, Decision and Control 69, DOI 10.1007/978-3-319-40673-2_5Е. И. Юшина О некоторых приведенных алгебраических иррациональностях // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Региональной научной студенческой конференции. Тула: ТулГУ 2015. С. 66–72.Roth, K. F. 1955, "Rational approximations to algebraic numbers" , Mathematika., vol. 2, pp. 1–20. corrigendum: p. 168.Е. И. Юшина О некоторых обобщенных числах Пизо // Университет XXI века: исследования в рамках научных школ: материалы Всероссийской научно-практической конференции. Тула: ТГПУ им. Л. Н. Толстого 2015. С. 66–72.Е. И. Юшина О некоторых обобщенных числах Пизо // Университет XXI века: исследования в рамках научных школ: материалы Всероссийской научно-практической конференции. Тула: ТГПУ им. Л. Н. Толстого 2015. С. 66–72.N. M. Dobrovol’skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, N. N. Dobrovol’skii On Lagrange algorithm for reduced algebraic irrationalities // Bul. Acad. ¸Stiin¸te Repub. Mold. Mat., 2016, no. 2. P. 27–39.N. M. Dobrovol’skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, N. N. Dobrovol’skii On Lagrange algorithm for reduced algebraic irrationalities // Bul. Acad. ¸Stiin¸te Repub. Mold. Mat., 2016, no. 2. P. 27–39.Nikolai M. Dobrovol’skii, Nikolai N. Dobrovolsky, Irina N. Balaba, Irina Yu. Rebrova, Dmitrii K. Sobolev and Valentina N. Soboleva Generalized Pisot Numbers and Matrix Decomposition // Springer International Publishing Switzerland 2016 V. A. Sadovnichiy and M. Z. Zgurovsky (eds.), Advances in Dynamical Systems and Control, Studies in Systems, Decision and Control 69, DOI 10.1007/978-3-319-40673-2_5Nikolai M. Dobrovol’skii, Nikolai N. Dobrovolsky, Irina N. Balaba, Irina Yu. Rebrova, Dmitrii K. Sobolev and Valentina N. Soboleva Generalized Pisot Numbers and Matrix Decomposition // Springer International Publishing Switzerland 2016 V. A. Sadovnichiy and M. Z. Zgurovsky (eds.), Advances in Dynamical Systems and Control, Studies in Systems, Decision and Control 69, DOI 10.1007/978-3-319-40673-2_5K. F. Roth Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. 1955. Vol. 2. P. 1–20. corrigendum: p. 168.K. F. Roth Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. 1955. Vol. 2. P. 1–20. corrigendum: p. 168.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.