chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-2-54-97cheb-324Research ArticleСтатьиArticleО ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ФОРМ А. ТУЭ — М. Н. ДОБРОВОЛЬСКОГО — В. Д. ПОДСЫПАНИНАON FRACTIONAL LINEAR TRANSFORMATIONS OF FORMS A. TUE — M. N. DOBROVOLSKY — V. D. PODSYPININAДобровольскийН. М.Dobrovol’skiiN. M.

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой

doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the Department algebra, calculus and geometry

dobrovol@tsput.ruБалабаИ. Н.BalabaI. N.

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры алгебры, математического анализа и геометрии

doctor of physico-mathematical Sciences, assistant professor, Professor of the Department of Algebra, Mathematical Analysis and Geometry

ibalaba@mail.ruРеброваИ. Ю.RebrovaI. Yu.

кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета математики, физики и информатики

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Dean of the Faculty of Mathematics, Physics and Informatics

i_rebrova@mail.ruДобровольскийН. Н.Dobrovol’skiiN. N.

кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики

candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of applied mathematics and computer science

nikolai.dobrovolsky@gmail.comМатвееваЕ. А.MatveevaE. A.

аспирант кафедры алгебры, математического анализа и геометрии

Postgraduate student of the Department of algebra, mathematical analysis and geometry

morozova.tspu@gmail.comТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State L. N. Tolstoy Pedagogical UniversityRussian FederationТульский государственный педагогический университет им. Л.Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy UniversityRussian FederationТульский государственный педагогический университет имени Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy UniversityRussian FederationТульский государственный университетРоссияTula State Lev Tolstoy UniversityRussian FederationТульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого»РоссияTula State Lev Tolstoy UniversityRussian Federation2017231220171825497Copyright © Добровольский Н.М., Балаба И.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.Н., Матвеева Е.А., 20172017Добровольский Н.М., Балаба И.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.Н., Матвеева Е.А.Dobrovol’skii N.M., Balaba I.N., Rebrova I.Y., Dobrovol’skii N.N., Matveeva E.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/324

В работе строится алгебраическая теория полиномов Туэ. Построение теории опирается на изучение подмодулей Z[t]-модуля Z[t]2. Рассматриваются подмодули, заданные одним определяющим соотношением и одним определяющим соотношением k-ого порядка. Более сложным подмодулем является подмодуль заданный одним полиномиальным соотношением. Подмодули пар Туэ j-ого порядка напрямую связаны с полиномами Туэ j-ого порядка. С помощью алгебраической теории подмодулей пар Туэ j-ого порядка удалось получить новое доказательство теоремы М. Н. Добровольского (старшего) о том, что для каждого порядка j существуют два основных полинома Туэ j-ого порядка, через которые выражаются все остальные. Основные полиномы определяются с точностью до унимодулярной многочленной матрицы над кольцом целочисленных многочленов.

В работе вводятся дробно-линейные преобразования ТДП-форм. Показано, что при переходе от ТДП-формы, связанной с алгебраическим числом α к ТДП-форме, связанной с остаточной дробью к алгебраическому числу α, ТДП-форма преобразуется по закону, аналогичному преобразованию минимальных многочленов, а числители и знаменатели соответствующих пар Туэ преобразуются с помощью дробно-линейного преобразования второго рода.

The work builds on the algebraic theory of polynomials Tue. The theory is based on the study of submodules of Z[????]-module Z[????] 2 . Considers submodules that are defined by one defining relation and one defining relation ????-th order. More complex submodule is the submodule given by one polynomial relation. Sub par Tue ????-th order are directly connected with polynomials Tue ????-th order. Using the algebraic theory of pairs of submodules of Tue ????-th order managed to obtain a new proof of the theorem of M. N. Dobrowolski (senior) that for each ???? there are two fundamental polynomial Tue ????-th order, which are expressed through others. Basic polynomials are determined with an accuracy of unimodular polynomial matrices over the ring of integer polynomials.

In the work introduced linear-fractional conversion of TDP-forms. It is shown that the transition from TDP-forms associated with an algebraic number ???? to TDP-the form associated with the residual fraction to algebraic number ????, TDP-form is converted under the law, similar to the transformation of minimal polynomials and the numerators and denominators of the respective pairs of Tue is converted using the linear-fractional transformations of the second kind. 

минимальный многочленприведённая алгебраическая иррациональностьостаточные дробицепные дробиТДП-формамодули Туэпара Туэдробно-линейное преобразование второго родаthe minimum polynomial of the given algebraic irrationalityresidual fractionscontinued fractionsTDP-shapethe modules Tuecouple Tuelinear-fractional transformation of the second kindРФФИReferencesван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Из-во " Наука" 1976.Van der Waerden, B. L. 1976 Algebra. Moscow: Iz-in "Science".Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М.: ГИ И*Л 1947.Weyl G. 1947 Algebraic number theory. M .: GI I * L.Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Перевод Б. Б. Демьянова, общая редакция И. М. Виноградова, комментарии Б. Н. Делоне. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. 978 с.Gauss K. F. 1959 Proceedings on the theory of numbers. Translation of B. B. Demyanov, general edition I. M. Vinogradova, comments B. N. Delone. - Moscow: Publishing House of the USSR Academy of Sciences. 978 p.Добровольский М. Н. О разложении иррациональностей третьей степени в непрерывные дроби // Чебышевский сб. 2010. Т. XI, вып. 4(36). С. 4–24.Dobrovol’skii M. N. 2010 "On the decomposition of irrationalities of the third degree into continuous fractions"Chebyshevsky Sb. vol. XI, №. 4 (36). pp. 4–24.Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский О формах А. Туэ — М. Н. Добровольского — В. Д. Подсыпанина // Чебышевский сб. 2010. Т. XI, вып. 4(36). С. 70–109.Dobrovol’skii N. M., Dobrovolsky N. N. 2010, "On the forms of A. Thue M. N. Dobrovolsky — V. D. Podsypinina"Chebyshevsky sb. vol. XI, №. 4 (36). pp. 70–109.Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский О минимальных многочленах остаточных дробей для алгебраических иррациональностей // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 3. С. 147–182.N. M. Dobrovol’skii, N. N. Dobrovol’skii, 2015 “About minimal polynomial residual fractions for algebraic irrationalities”, Chebyshevskii Sb., 16:3, pp. 147–182Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва, Н. С. Полякова Дробно-линейные преобразования многочленов и линейные преобразования форм // Материалы XIII Международной конференции Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, Дополнительный том. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. 2015. С. 134–149.N. M. Dobrovol’skii, N. N. Dobrovol’skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, N. S. Polyakova, 2015 "Fractional-linear transformations of polynomials and linear transformations of forms"Proceedings of the XIII International Conference Algebra, number theory and discrete geometry: modern problems and applications, Supplementary volume. Tula: Publishing house Tul. State. Ped. The university of L. N. Tolstoy. pp. 134–149.Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Д. К. Соболев, В. Н. Соболева Классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 2. С. 98–128.N. M. Dobrovolsky, N. N. Dobrovolsky, D. K. Sobolev, V. N. Soboleva, 2017 "Classification of purely real algebraic irrationalities" , Chebyshevsky Sb. Vol. 18, no. 2. pp. 98–128.Н. М. Добровольский, Д. К. Соболев, В. Н. Соболева О матричном разложении приведенной кубической иррациональности // Чебышевский сб. 2013. Т. 14, вып. 1. С. 34–55.N. M. Dobrovol’skii, D. K. Sobolev, V. N. Soboleva, 2013 “On matrix decomposition of one reduced cubic irrational”, Chebyshevskii Sb., 14:1, pp. 34–55Н. М. Добровольский, Е. И. Юшина О приведенных алгебраических иррациональностях // Алгебра и приложения: труды Международной конференции по алгебре, посвященной 100-летию со дня рождения Л. А. Калужнина, Нальчик, 6–11 сентября 2014 г. – Нальчик: из-во КБГУ. С. 44–46.N. M. Dobrovol’skii, E. I. Yushina "On reduced algebraic irrationalities"Algebra and Applications: Proceedings of the International Conference on Algebra LA Kaluzhnina, Nalchik, September 6-11, 2014 - Nalchik Iz-in Kabardino-Balkarian State University. pp. 44–46.Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Е. И. Юшина О матричной форме теоремы Галуа о чисто периодических цепных дробях // Чебышевский сб. 2012. Т. 13, вып. 3. С. 47–52.N. M. Dobrovol’skii, N. N. Dobrovol’skii, E. I. Yushina, 2012 “On the matrix form of the Galois theorem on purely periodic continued fractions”, Chebyshevskii Sb., 13:3, 47–52Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. — М. Из-во "Наука" 1965.Davenport G. 1965 Higher arithmetic. Introduction to number theory. Iz-in From the "Science".А. И. Кострикин Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. — 2-е изд., исправл. — М.: Физико-математическая литература, 2001. — 272 с. — ISBN 5-9221-0166-8.A. I. Kostrikin, 2001 Introduction to Algebra. Part III. Basic structures: Textbook for high schools. — 2 nd ed., Correct. M .: Physical and mathematical literature, — 272 p. — ISBN 5-9221-0166-8.Лежен Дирихле П. Г. Лекции по теории чисел. — М.–Л.: ОНТИ НКТП СССР 1936.Lezhen Dirichlet P. G. 1936 Lectures on number theory. М — L .: ONTI NKTP of the USSR.Е. А. Морозова Многочлены Туэ для квадратичных иррациональностей // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: Современные проблемы и приложения: Материалы XIII Междунар. конф., посвященной 85-летию содня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2015. С. 354–356.E. A. Morozova 2015 "Thue polynomials for quadratic irrationalities" Algebra, number theory and discrete geometry: Contemporary problems and applications: Proceedings of the XIIIth International Conference. Conf., Dedicated to the 85th anniversary of the birth of Professor Sergey Sergeevich Ryshkov Tula: Izd-vo Tul. State. Ped. Un-ta L. N. Tolstoy, pp. 354–356.Е. А. Морозова Многочлены Туэ для квадратичных иррациональностей // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: Современные проблемы и приложения: Материалы XIII Междунар. конф.: [Доп. том]. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2015. С. 161–168.E. A. Morozova 2015 "Thue polynomials for quadratic irrationalities" Algebra, number theory and discrete geometry: Contemporary problems and applications: Proceedings of the XIIIth International Conference. Conf .: [Ext. Tom]. Tula: Publishing House Tul. State. Ped. Un-ta them. L.N. Tolstoy, pp. 161-168.Е. А. Морозова Многочлены Туэ для квадратичных иррациональностей // Математика и информатика: Материалы Международной конференции (Москва. 14–18 марта 2016 г.) / — М.: МПГУ 2016. С. 127–130.E. A. Morozova 2016 "Thue polynomials for quadratic irrationalities" Mathematics and Computer Science: Proceedings of the International Conference (Moscow, March 14-18, 2016) / — M .: MPGU pp. 127–130.Подсыпанин В. Д. О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Материалы межвузовской научной конференции математических кафедр пединститутов Центральной зоны. Тула, 1968, С. 68–70.Podsypanin V. D. 1968 "On the decomposition of irrationalities of the fourth degree into an continued fraction" Materials of the Interuniversity Scientific Conference of Mathematical Departments Pedagogical institutes of the Central zone. Tula, pp. 68–70.Подсыпанин В. Д. О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Чебышевский сборник. 2007. Т. VIII, вып. 3(23). — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, С. 43–46.Podsypanin V. D. 2007 "On the decomposition of irrationalities of the fourth power into an continued fraction Chebyshevskii sbornik. T. VIII, vol. 3 (23). — Tula: Izd-vo Tul. State. Ped. Un-ta them. L.N. Tolstoy, pp. 43–46.Подсыпанин В. Д. О многочленах Туэ и разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Чебышевский сборник. 2010. Т. XI, вып. 4(36). С. 25–69.Podsypanin V. D. 2010 "On Thue polynomials and the expansion of irrationalities of the fourth degree into a continued fraction"Chebyshevskii sbornik. T. XI, vol. 4 (36). pp. 25–69.Подсыпанин Е. В. О разложении иррациональностей высших степеней в обобщенную непрерывную дробь (по материалам В. Д. Подсыпанина) рукопись 1970 // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 3(23). С. 47–49.Podsypanin E. V. 2007 "On the decomposition of irrationalities of higher powers into a generalized continued fraction (On the materials of VD Podsypanin) manuscript 1970"Chebyshevskii sbornik T. 8, issue 3 (23). pp. 47–49.Е. В. Подсыпанин Об одном обобщении алгоритма цепных дробей, связанном с алгоритмом Вигго Бруна // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1977. Т. 67. С. 184–194.E. V. Podsypinin 1977 "On a generalization of the algorithm of continued fractions associated with the Viggo Brun algorithm"Zap. Scientific. Sem. LOMI. Т. 67. pp. 184–194.А. К. Сушкевич Теория чисел. Элементарный курс. — 2-е изд. — Харьков: Изд-во Харьковского гос. ун-та им. А. М. Горького, 1956. — 204 с.A. K. Sushkevich 1956 Number theory. Elementary course. — 2 nd ed. — Kharkov: Publishing house of Kharkov state. Un-ta them. AM Gorky, — 204 p.Е. В. Триколич, Е. И. Юшина Цепные дроби для квадратических иррациональностей из поля Q( √ 5) // Чебышевский сб. 2009. Т. 10, вып. 1. С. 77–94.E .V .Trikolich, E. I. Yushina 2009 "Chain fractions for quadratic Irrationalities from the field Q( √ 5)" Chebyshevsky sb. T. 10, no. 1. pp. 77–94.Фельдман Н. И. Приближения алгебраических чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. — 200 с. 26. Хинчин А. Я. Цепные дроби. — 2-е изд. — М.–Л.: ГИТТЛ, 1949. — 116 с.Feldman N. I. 1981 Approximation of algebraic numbers. — Moscow: Izd-vo Mosk. University, p. 200Шмидт В. М. Диофантовы приближения: Пер. с англ. — М.: Мир, 1983. — 232 с.Khinchin A. Ya. 1949 Chain fractions. — 2 nd ed. М .: — L .: GITTL, p. 116Е. И. Юшина О некоторых приведенных алгебраических иррациональностях // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Региональной научной студенческой конференции. Тула: ТулГУ 2015. С. 66–72.Schmidt V. M. 1983 Diophantine approximations: Per. With the English. Moscow: Mir, — 232 p. 28. E. I. Yushina 2015 "On some reduced algebraic irrationalities" Modern problems in mathematics, mechanics, informatics: materials of the Regional Scientific Student Conference. Tula: Tula State University. pp. 66–72.Е. И. Юшина О некоторых обобщенных числах Пизо // Университет XXI века: исследования в рамках научных школ: материалы Всероссийской научно-практической конференции. Тула: ТГПУ им. Л. Н. Толстого 2015. С. 66–72.E. I. Yushina 2015 "On some generalized Piso numbers" University of the XXI century: research within the framework of scientific schools: materials of the All-Russian Scientific and Practical Conference. Tula: TSPU them. L.N. Tolstoy. pp. 66–72.Nikolai M. Dobrovol’skii, Nikolai N. Dobrovolsky, Irina N. Balaba, Irina Yu. Rebrova, Dmitrii K. Sobolev and Valentina N. Soboleva Generalized Pisot Numbers and Matrix Decomposition // Springer International Publishing Switzerland 2016 V. A. Sadovnichiy and M. Z. Zgurovsky (eds.), Advances in Dynamical Systems and Control, Studies in Systems, Decision and Control 69, DOI 10.1007/978-3-319-40673-2_5Nikolai M. Dobrovol’skii, Nikolai N. Dobrovolsky, Irina N. Balaba, Irina Yu. Rebrova, Dmitrii K. Sobolev and Valentina N. Soboleva Generalized Pisot Numbers and Matrix Decomposition // Springer International Publishing Switzerland 2016 V. A. Sadovnichiy and M. Z. Zgurovsky (eds.), Advances in Dynamical Systems and Control, Studies in Systems, Decision and Control 69, DOI 10.1007/978-3-319-40673-2_5Euler L. De fractinibus continuis // Comm. Acad. Sci. Imper. Petropol., 1737, v. 9.Euler L. De fractinibus continuis // Comm. Acad. Sci. Imper. Petropol., 1737, v. 9.Euler L. De relatione inter ternas pluresve quantitates instituenda // Petersburger Akademie Notiz. Exhib. August 14, 1775 // Commentationes arithmeticae collectae. V. II. St. Petersburg, 1849. P. 99-104.Euler L. De relatione inter ternas pluresve quantitates instituenda // Petersburger Akademie Notiz. Exhib. August 14, 1775 // Commentationes arithmeticae collectae. V. II. St. Petersburg, 1849. P. 99-104.Galois E. Th´eor`eme sur les fractions contiues p´eriodiques — Annales de Mathematiques (Gergonne), 1828/29, t. 19, p. 294; Oeuvres mathematiques. — Paris: Gauthier Villars, 1951. [Имеется перевод: Галуа Э. Сочинения. — М.: ОНТИ, 1936.]Galois E. Th´eor`eme sur les fractions contiues p´eriodiques — Annales de Mathematiques (Gergonne), 1828/29, t. 19, p. 294; Oeuvres mathematiques. — Paris: Gauthier Villars, 1951. [Имеется перевод: Галуа Э. Сочинения. — М.: ОНТИ, 1936.]Lagrange J. L. Complement chez Elements d’algebre etc. par M.L. Euler, t. III, 1774.Lagrange J. L. Complement chez Elements d’algebre etc. par M.L. Euler, t. III, 1774.Liouville J. Sur des classes tr`es-´etendues de quantit´es dont la irrationelles alg´ebriques // C. R. Acad. Sci. Paris 18, 1844, С. 883–885, 910–911.Liouville J. Sur des classes tr`es-´etendues de quantit´es dont la irrationelles alg´ebriques // C. R. Acad. Sci. Paris 18, 1844, С. 883–885, 910–911.Roth K. F. Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. 1955. Vol. 2. P. 1–20. corrigendum: p. 168.Roth K. F. Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. 1955. Vol. 2. P. 1–20. corrigendum: p. 168.Thue A. Uber Ann¨aherungswerte algebraischer Zahlen // J. reine ang. Math. 1910. Vol. 135. ¨ PP. 284–305.Thue A. Uber Ann¨aherungswerte algebraischer Zahlen // J. reine ang. Math. 1910. Vol. 135. ¨ PP. 284–305.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.