chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-2-34-53cheb-323Research ArticleСтатьиArticleНЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОПЕРАТОРА ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯSOME EXTREMAL PROBLEMS FOR THE FOURIER TRANSFORM OVER THE EIGENFUNCTIONS OF THE STURM–LIOUVILLE OPERATORГорбачевД. В.GorbachevD. V.

доктор физико-математических наук, профессор кафедры

Doctor of physical and mathematical sciences, Department of Applied Mathematics and Computer Science

dvgmail@mail.ruИвановВ. И.IvanovV. I.

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики института прикладной математики и компьютерных наук

doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the chair of applied mathematics and Informatics of Institute of Applied Mathematics and Computer Science

ivaleryi@mail.ruТульский государственный университет прикладной математики и информатикиРоссияTula State UniversityRussian FederationТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian Federation2017231220171823453Copyright © Горбачев Д.В., Иванов В.И., 20172017Горбачев Д.В., Иванов В.И.Gorbachev D.V., Ivanov V.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/323

Экстремальные задачи Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана и Логана для положительно определенных функций в евклидовом пространстве или для функций с неотрицательным преобразованием Фурье имеют многообразные приложения в теории функций, теории приближений, теории вероятностей и метрической геометрии. Так как экстремальные функции в них являются радиальными, то с помощью усреднения по евклидовой сфере они допускают редукцию к аналогичным задачам для преобразования Ганкеля на полупрямой, для решения которых можно использовать квадратурные формулы Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям функции Бесселя, построенные Фрапье и Оливером.

Нормированная функция Бесселя, как ядро преобразования Ганкеля, является решением задачи Штурма–Лиувилля со степенным весом. Другим важным примером служит преобразование Якоби, ядро которого является решением задачи Штурма–Лиувилля с гиперболическим весом. Авторам работы недавно удалось построить квадратурные формулы Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям собственных функций задачи Штурма– Лиувилля при естественных условиях на весовую функцию, которые, в частности, выполняются для степенного и гиперболического весов.

При этих условиях на весовую функцию в работе решены экстремальные задачи Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана, Логана для преобразования Фурье по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля. Построены экстремальные функции. Для задач Турана, Фейера, Бомана и Логана доказана их единственность. 

The Tur´an, Fej´er, Delsarte, Bohman, and Logan extremal problems for positive definite functions in Euclidean space or for functions with nonnegative Fourier transform have many applications in the theory of functions, approximation theory, probability theory, and metric geometry. Since the extremal functions in them are radial, by means of averaging over the Euclidean sphere they admit a reduction to analogous problems for the Hankel transform on the half-line. For the solution of these problems we can use the Gauss and Markov quadrature formulae on the half-line at zeros of the Bessel function, constructed by Frappier and Olivier.

The normalized Bessel function, as the kernel of the Hankel transform, is the solution of the Sturm–Liouville problem with power weight. Another important example is the Jacobi transform, the kernel of which is the solution of the Sturm–Liouville problem with hyperbolic weight. The authors of the paper recently constructed the Gauss and Markov quadrature formulae on the half-line at zeros of the eigenfunctions of the Sturm–Liouville problem under natural conditions on the weight function, which, in particular, are satisfied for power and hyperbolic weights.

Under these conditions on the weight function, the Tur´an, Fej´er, Delsarte, Bohman, and Logan extremal problems for the Fourier transform over eigenfunctions of the Sturm–Liouville problem are solved. Extremal functions are constructed. For the Tur´an, Fej´er, Bohman, and Logan problems their uniqueness is proved. 

Задача Штурма–Лиувилля на полупрямойпреобразование Фурьеэкстремальные задачи ТуранаФейераДельсартаБоманаЛоганаквадратурные формулы Гаусса и МарковаSturm-Liouville problem on the half-lineFourier transformTur´anFej´erDelsarteBohman and Logan extremal problemsGauss and Markov quadrature formulaeРФФИReferencesАрестов В. В., Бердышева Е. Е. Задача Турана для положительно определенных функций с носителем в шестиугольнике // Тр. ИММ УрО РАН. 2001. Т. 7, № 1. С. 21–29.Arestov V. V., Berdysheva E. E., 2001, “Tur´an’s problem for positive definite functions with supports in a hexagon”, Proc. Steklov Inst. Math., no 1 suppl, pp. 20–29.Arestov V. V., Berdysheva E. E. The Tur´an problem for a class of polytopes // East J. Approx. 2002. Vol. 8, № 3. P. 381–388.Arestov V. V., Berdysheva E. E., 2002, “The Tur´an problem for a class of polytopes”, East J. Approx., vol. 8, no 3, pp. 381–388.Бердышева Е. Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т. 66, № 3. С. 336–350.Berdysheva E. E., 1999, “Two related extremal problems for entire functions of several variables”, Math. Notes, vol. 66, no 3, pp. 271–282.Boas R. P., Kac M. Inequalities for Fourier Transforms of positive functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12. P. 189–206.Boas R. P., Kac M., 1945, “Inequalities for Fourier Transforms of positive functions”, Duke Math. J., vol. 12, pp. 189–206.Bohman H. Approximate Fourier analysis of distribution functions // Ark. Mat. 1960. Vol. 4. P. 99–157.Bohman H., 1960, “Approximate Fourier analysis of distribution functions”, Ark. Mat., vol. 4, pp. 99–157.Cohn H. New upper bounds on sphere packings II // Geom. Topol. 2002. Vol. 6. P. 329–353.Cohn H., 2002, “New upper bounds on sphere packings II”, Geom. Topol., vol. 6, pp. 329–353.Ehm W., Gneiting T., Richards D. Convolution roots of radial positive definite functions with compact support // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. Vol. 356. P. 4655–4685.Ehm W., Gneiting T., Richards D., 2004, “Convolution roots of radial positive definite functions with compact support”, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 356, pp. 4655–4685.Горбачев Д. В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 2. С. 179–187.Gorbachev D. V., 2000, “Extremum problems for entire functions of exponential spherical type”, Math. Notes, vol. 68, no 2, pp. 159–166.Горбачев Д. В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки Rn шарами // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т. 6, № 1. С. 71–78.Gorbachev D. V., 2000, “An extremal problem for an entire functions of exponential spherical type related to the Levenshtein estimate for the sphere packing density in Rn ”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Mat. Mekh. Inform., vol. 6, no 1, pp. 71–78. [in Russian]Горбачев Д. В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 346–352.Gorbachev D. V., 2001, “An extremal problem for periodic functions with supports in the ball”, Math. Notes, vol. 69, no 3, pp. 313–319.Kolountzakis M. M., R´ev´esz Sz. Gy. On a problem of Tur´an about positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131. P. 3423–3430.Kolountzakis M. M., R´ev´esz Sz. Gy., 2003, “On a problem of Tur´an about positive definite functions”, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 131, pp. 3423–3430.Kolountzakis M. M., R´ev´esz Sz. Gy. Tur´an’s extremal problem for positive definite functions on groups // J. London Math. Soc. 2006. Vol. 74. P. 475–496.Kolountzakis M. M., R´ev´esz Sz. Gy., 2006, “Tur´an’s extremal problem for positive definite functions on groups”, J. London Math. Soc., vol. 74, pp. 475–496.Logan B. F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. I. Eventually positive functions with zero integral // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 249–252.Logan B. F., 1983, “Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. I. Eventually positive functions with zero integral”, SIAM J. Math. Anal., vol. 14, no 2, pp. 249–252.Logan B. F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 253–257.Logan B. F., 1983, “Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. II. Eventually negative functions”, SIAM J. Math. Anal., vol. 14, no 2, pp. 253–257.R´ev´esz Sz. Gy. Tur´an’s extremal problem on locally compact abelian groups // Anal. Math. 2011. Vol. 37, № 1. P. 15–50.R´ev´esz Sz. Gy., 2011, “Tur´an’s extremal problem on locally compact abelian groups”, Anal. Math., vol. 37, no 1, pp. 15–50.Siegel C. L. Uber Gitterpunkte in konvexen K¨orpern und damit zusammenh¨angendes Extremal ¨ problem // Acta Math. 1935. Vol. 65. P. 307–323.Siegel C. L., 1935, “Uber Gitterpunkte in konvexen K¨orpern und damit zusammenh¨angendes ¨ Extremal problem”, Acta Math., vol. 65, pp. 307–323.Fej´er L. Uber trigonometrische Polynome // J. Angew. Math. 1915. Vol. 146. P. 53–82. ¨Fej´er L., 1915, “Uber trigonometrische Polynome”, ¨ J. Angew. Math., vol. 146, pp. 53–82.Горбачев Д. В., Маношина А. С. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 5. С. 688–700.Gorbachev D. V., Manoshina A. S., 2004, “Tur´an Extremal Problem for Periodic Functions with Small Support and Its Applications”, Math. Notes, vol. 76, no 5, pp. 640–652.Иванов В. И., Рудомазина Ю. Д. О задаче Турана для периодических функций с неотрицательными коэффициентами Фурье и малым носителем // Матем. заметки. 2005. Т. 77, № 6. С. 941–945.Ivanov V. I., Rudomazina Yu. D., 2005, “About Tur´an problem for periodic functions with nonnegative Fourier coefficients and small support”, Math. Notes, vol. 77, no 6, pp. 870–875.Иванов В. И., Горбачев Д. В., Рудомазина Ю. Д. Некоторые экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье // Тр. ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. С. 92–111.Ivanov V. I., Gorbachev D. V., Rudomazina Yu. D., 2005, “Some extremal problems for periodic functions with conditions on their values and Fourier coefficients” Proc. Steklov Inst. Math., no 2 suppl, pp. 139–159.Иванов В. И. О задачах Турана и Дельсарта для периодических положительно определенных функций // Матем. заметки. 2006. Т. 80, № 6. С. 934–939.Ivanov V. I., 2006, “On the Tur´an and Delsarte problems for periodic positive definite functions”, Math. Notes, vol. 80, no 6, pp 875–880.Ivanov V. I., Ivanov A. V. Tur´an problems for periodic positive definite functions // Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 2010. Vol. 33. P. 219–237.Ivanov V. I., Ivanov A. V., 2010, “Tur´an problems for periodic positive definite functions”, Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp., vol. 33, pp. 219–237.Stechkin S. B. An extremal problem for trigonometric series with nonnegative coefficients // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1972. Vol. 23, № 3-4. P. 289–291.Stechkin S. B., 1972, “An extremal problem for trigonometric series with nonnegative coefficients”, Acta Math. Acad. Sci. Hung., vol. 23, no 3-4, pp. 289–291.Горбачев Д. В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.Gorbachev D. V., 2005, “Selected Problems in the Theory of Functions and Approximation Theory: Their Applications”, Tula: Grif and K, 192 p. [in Russian]Горбачев Д. В. Экстремальная задача Бомана для преобразования Фурье–Ганкеля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 5–10.Gorbachev D. V., 2014, “Boman extremal problem for Fourier–Hankel transform”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no 4, pp. 5–10. [in Russian]Иванов А. А. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 26–44.Ivanov A. V., 2010, “Some extremal problem for entire functions in weighted spaces”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no 1, pp. 26–44. [in Russian]Горбачев Д. В., Иванов В. И. Экстремальная задача Бомана для преобразования Данкля // Тр. ИММ УрО РАН. 2015. Т. 21, № 4. С. 115–123.Gorbachev D. V., Ivanov V. I., 2015, “Boman extremal problem for Dunkl transform”, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, vol. 21, no 4, pp. 115–123. [in Russian]Frappier C., Olivier P. A quadrature formula involving zeros of Bessel functions // Math. Comp. 1993. Vol. 60. P. 303–316.Frappier C., Olivier P., 1993, “A quadrature formula involving zeros of Bessel functions”, Math. Comp., vol. 60, pp. 303–316.Grozev G. R., Rahman Q. I. A quadrature formula with zeros of Bessel functions as nodes // Math. Comp. 1995. Vol. 64. P. 715–725.Grozev G. R., Rahman Q. I., 1995, “A quadrature formula with zeros of Bessel functions as nodes”, Math. Comp., vol. 64, pp. 715–725.Горбачев Д. В., Иванов В. И. Квадратурные формулы Гаусса и Маркова по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля, точные для целых функций экспоненциального типа // Матем. сб. 2015. Т. 206, № 8. С. 63–98.Gorbachev D. V., Ivanov V. I., 2015, “Gauss and Markov quadrature formulae with nodes at zeros of eigenfunctions of a Sturm–Liouville problem, which are exact for entire functions of exponential type”, Sbornik: Math., vol. 206, no 8, pp. 1087–1122.Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Smirnov O. I. The Delsarte Extremal Problem for the Jacobi Transform // Math. Notes. 2016. Vol. 100, № 5. P. 677–686.Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Smirnov O. I., 2016, “The Delsarte Extremal Problem for the Jacobi Transform”, Math. Notes, vol. 100, no 5, pp. 677–686.Горбачев Д. В., Иванов В. И. Экстремальная задача Бомана для преобразования Якоби // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 126–135.Gorbachev D. V., Ivanov V. I., 2016, “Boman extremal problem for Jacobi transform”, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, vol. 22, no 4, pp. 126–135.Gorbachev D. V., Ivanov V. I. Tur´an’s and Fej´er’s extremal problems for Jacobi transform // Anal. Math. 2017. [In press]Gorbachev D. V., Ivanov V. I., 2017, “Tur´an’s and Fej´er’s extremal problems for Jacobi transform”, Anal. Math. [In press]Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Smirnov O. I. Some extremal problems for Fourier transform on hyperboloid // Math. Notes. 2017. [In press]Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Smirnov O. I., 2017, “Some extremal problems for Fourier transform on hyperboloid”, Math. Notes. [In press]Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970. 671 с.Levitan B. M., Sargsyan I. S., 1970, “Introduction to spectral theory”, Moscow: Nauka, 671 p. [in Russian]Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма–Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988. 432 с.Levitan B. M., Sargsyan I. S., 1988, “Sturm–Liouville and Dirac Operators”, Moscow: Nauka, 432 p. [in Russian]Горбачев Д. В., Иванов В. И. Приближение в L2 частичными интегралами преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля // Матем. заметки. 2016. Т. 100, № 4. С. 519–530.Gorbachev D. V., Ivanov V. I., 2016, “Approximation in L2 by partial integrals of the Fourier transform over the eigenfunctions of the Sturm–Liouville operator”, Math. Notes, vol. 100, no 4, pp. 540–549.Горбачев Д. В., Иванов В. И., Вепринцев Р. А. Приближение в L2 частичными интегралами многомерного преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 136–152.Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Veprintsev R. A., 2016, “Approximation in L2 by partial integrals of the multidimensional Fourier transform over the eigenfunctions of the Sturm–Liouville operator”, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, vol. 22, no 4, pp. 136–152. [in Russian]Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978. 375 с.Olver F.W. J., 1974, “Introduction to asymptotics and special functions”, New York: Academic Press, 297 p.Flensted-Jensen M., Koornwinder T. H. The convolution structure for Jacobi function expansions // Ark. Mat. 1973. Vol. 11. P. 245–262.Flensted-Jensen M., Koornwinder T. H., 1973, “The convolution structure for Jacobi function expansions”, Ark. Mat., vol. 11, pp. 245–262.Flensted-Jensen M., Koornwinder T. H. Jacobi functions: The addition formula and the positivity of dual convolution structure // Ark. Mat. 1979. Vol. 17. P. 139–151.Flensted-Jensen M., Koornwinder T. H., 1979, “Jacobi functions: The addition formula and the positivity of dual convolution structure”, Ark. Mat., vol. 17, pp. 139–151.Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973. 312 с.Levitan B. M., 1973, “Theory of generalized translation operators”, Moscow: Nauka, 312 p. [in Russian]Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Veprintsev R. A. Optimal Argument in Sharp Jackson’s inequality in the Space L2 with the Hyperbolic Weight // Math. Notes. 2014. Vol. 96, № 6. P. 338–348.Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Veprintsev R. A. 2014, “Optimal Argument in Sharp Jackson’s inequality in the Space L2 with the Hyperbolic Weight”, Math. Notes, vol. 96, no 6, pp. 338–348.Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.Levin B. Ya, 1956, “Distribution of Roots of Entire Functions”, Moscow: Gostekhizdat, 632 p. [in Russian]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.