chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-2-18-33cheb-322Research ArticleСтатьиArticleСКРЫТЫЕ АТТРАКТОРЫ НЕКОТОРЫХ МУЛЬТИСТАБИЛЬНЫХ СИСТЕМ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯHIDDEN ATTRACTORS OF SOME MULTISTABLE SYSTEMS WITH INFINITE NUMBER OF EQUILIBRIAБуркинИ. М.BurkinI. M.

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры вычислительной механики и математики

doctor of physico-mathematical Sciences, assistant professor, Professor of the Department of Computational Mechanics and Mathematics

i-burkin@yandex.ruТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian Federation2017231220171821833Copyright © Буркин И.М., 20172017Буркин И.М.Burkin I.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/322

Хорошо известно, что математически простые нелинейные системы дифференциальных уравнений могут демонстрировать хаотическое поведение. Обнаружение аттракторов хаотических систем – важная проблема нелинейной динамики. Результаты недавних исследований позволили ввести следующую классификацию периодических и хаотических аттракторов в зависимости от наличия окрестностей состояний равновесия в их области притяжения – самовозбуждающиеся и скрытые аттракторы. Присутствие скрытых аттракторов в динамических системах привлекло пристальное внимание, как к теоретическим, так и к прикладным исследованиям этого феномена. Выявление скрытых аттракторов в реальных инженерных системах чрезвычайно важно, поскольку оно позволяет предсказать неожиданные и потенциально опасные ответы системы на возмущения ее структуры. В последние три года, после обнаружения S. Jafari и J. C. Sprott хаотических систем с линией и плоскостью состояний равновесия, имеющих скрытые аттракторы, возрос интерес к системам, обладающим несчетным или бесконечным числом состояний равновесия. В настоящей работе предложены новые модели систем управления с бесконечным числом состояний равновесия, обладающие скрытыми аттракторами: кусочно-линейная система с локально устойчивым отрезком покоя и система с периодической нелинейностью и бесконечным числом состояний равновесия. Для поиска скрытых аттракторов исследуемых систем применен предложенный автором оригинальный аналитико-численный метод.

It is well known that mathematically simple systems of nonlinear differential equations can exhibit chaotic behavior. Detection of attractors of chaotic systems is an important problem of nonlinear dynamics. Results of recent researches have made it possible to introduce the following classification of periodic and chaotic attractors depending on the presence of neighborhood of equilibrium into their basin of attraction – self-excited and hidden attractors. The presence of hidden attractors in dynamical systems has received considerable attention to both theoretical and applied research of this phenomenon. Revealing of hidden attractors in real engineering systems is extremely important, because it allows predicting the unexpected and potentially dangerous system response to perturbations in its structure. In the past three years after discovering by S. Jafari and J. C. Sprott chaotic system with a line and a plane of equilibrium with hidden attractors there has been much attention to systems with uncountable or infinite equilibria. In this paper it is offered new models of control systems with an infinite number of equilibrium possessing hidden chaotic attractors: a piecewise-linear system with a locally stable segment of equilibrium and a system with periodic nonlinearity and infinite number of equilibrium points. The original analytical-numerical method developed by the author is applied to search hidden attractors in investigated systems.

Кусочно-линейная системаотрезок покоябесконечное число состояний равновесияциклскрытый аттрактораналитико-численный методPiecewise-linear systemsegment of equilibriainfinite number of equilibriacyclehidden attractoranalytical-numerical methodReferencesШильников Л. П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений. // ДАН СССР, 1965, т. 169, №3. С.558-561.Shilnikov, L. P. 1965, "A case of the existence of a countable number of periodic motions Sov. Math. Docklady, vol 169, no. 3, pp. 558-561.Lorenz, E. N. 1963, "Deterministic nonperiodic flow" J.Atmos.Sci., vol. 20, pp. 65 -75.Lorenz, E. N. 1963, "Deterministic nonperiodic flow" J.Atmos.Sci., vol. 20, pp. 65 -75.R¨ossler, O. E. 1976, "An Equation for Continuous Chaos. Physics Letters A, vol. 57, no. 5, pp. 397 -398.R¨ossler, O.E. 1976, "An Equation for Continuous Chaos. Physics Letters A, vol. 57, no. 5, pp. 397 -398.Chua, L. O. 1992, "A zoo of Strange Attractors from the Canonical Chua’s Circuits". Proc. Of the IEEE 35th placeMidwest Symp. on Circuits and Systems (Cat. No. 92CH3099-9). StateplaceWashington, ,vol. 2, pp. 916 – 926.Chua, L. O. 1992, "A zoo of Strange Attractors from the Canonical Chua’s Circuits". Proc. Of the IEEE 35th placeMidwest Symp. on Circuits and Systems (Cat. No. 92CH3099-9). StateplaceWashington, ,vol. 2, pp. 916 – 926.Айзерман M. A. Об одной проблеме, касающейся устойчивости “в большом” динамических систем. //УМН, 1949, 4:4(32). С. 187–188.Aizerman, M. A. 1949 "On a problem concerning the stability in the large of dynamical systems" Uspekhi Mat. Nauk, , vol. 4, pp. 187–188Kalman, R. E. 1957, "Physical and Mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems" .Transactions of ASME.,vol. 79, no. 3, pp. 553-566.Kalman, R. E. 1957, "Physical and Mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems" .Transactions of ASME.,vol. 79, no. 3, pp. 553-566.Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. 1964 .М. Наука, 367 с.Pliss, V. A. 1964 , "Nelokal’nye problemy teorii kolebaniy"[Nonlocal problems of the theory of oscillations]. Moscow, Nauka Publ.,. 367 pрЛеонов Г. А. Об устойчивости в целом нелинейных систем в критическом случае двух нулевых корней. // ПММ,1981, т.45, №4.С 752-755.Leonov, G. A 1981 "On stability in the large of nonlinear systems in the critical case of two zero roots" Pricl. Mat. Mekh, , vol. 45, no. 4, pp. 752-755.Леонов Г. А. Эффективные методы поиска периодических колебаний в динамических системах.//ПММ, 2010, т.74, №1. С 24–50.Leonov, G. A. 2010, "E?ective methods for periodic oscillations search in dynamical systems." Appl. Math. Mech., vol. 74, no. 1, pp. 24–50.Буркин И. М. О явлении буферности в многомерных динамических системах // Диф. уравнения, 2002, т.38, №5. С 615-625.Burkin, I. M. 2002, "The Buffer Phenomenon in Multidimensional Dynamical Systems." Diff. Equations, vol. 38, no. 5, pp. 615–625.Буркин И. М., Соболева Д.В. О структуре глобального аттрактора многосвязных систем автоматического регулирования. // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2012, Вып. 1. С. 5-16.Burkin, I. M., Soboleva, D.V. 2012, "On structure of global attractor of MIMO automatic control systems". Izvestiya TulGU. Estestvenniye nauki, , vol. 1, pp. 5–16.Буркин И. М., Нгуен Нгок Хиен. Аналитико-численные методы поиска скрытых колебаний в многомерных динамических системах // Диф. уравнения, 2014, т. 50, № 13. С 1695–1717.Burkin, I. M., Nguen, N. K. 2014, "Analytical-Numerical Methods of Finding Hidden Oscillations in Multidimensional Dynamical Systems Diff.l Equations, , vol. 50, No. 13, pp. 1695–1717.Буркин И. М. Метод перехода в пространство производных:40 лет эволюции.// Диф.уравнения, 2015, т. 51, № 13. С. 1717–1751.Burkin, I. M., 2015, "Method of “Transition into Space of Derivatives”: 40 Years of Evolution" Diff. Equations, vol. 51, no. 13, pp. 1717–1751Andrievsky, B. R., Kuznetsov, N. V., Leonov, G. A., Seledzhi, S. M. 2013, "Hidden oscillations in stabilization system of flexible launcher with saturating actuators". IFAC Proceedings Volumes, vol. 19, no. 1, pp. 37-41. (doi: 10.3182/20130902-5-DE-2040.00040).Andrievsky, B. R., Kuznetsov, N. V., Leonov, G. A., Seledzhi, S.M. 2013, "Hidden oscillations in stabilization system of flexible launcher with saturating actuators". IFAC Proceedings Volumes, vol. 19, no. 1, pp. 37-41. (doi: 10.3182/20130902-5-DE-2040.00040).Wang, B , Zhou, S., Zheng, X., Zhou, C., Dong, J., Zhao, J. 2015, "Image watermarking using chaotic map and DNA coding." Optik, vol. 126, pp. 4846–4851.Wang,B , Zhou, S., Zheng, X., Zhou, C., Dong, J., Zhao, J. 2015, "Image watermarking using chaotic map and DNA coding." Optik, vol. 126, pp. 4846–4851.Liu, H.,. Kadir, A, Li, Y. 2016, "Audio encryption scheme by confusion and diffusion based on multi-scroll chaotic system and one-time keys." Optik, vol. 127 , pp. 7431–7438.Liu, H.,. Kadir, A, Li, Y. 2016, "Audio encryption scheme by confusion and diffusion based on multi-scroll chaotic system and one-time keys." Optik, vol. 127 , pp. 7431–7438.Брагин В. О, Вагайцев В. И., Кузнецов Н. В., Леонов Г. А. Алгоритмы поиска скрытых колебаний в нелинейных системах. Проблема Айзермана, Калмана и цепи Чуа.// Известия РАН, Теория и системы управления. 2011, т. 50, №4. С. 511–543.Bragin, V. O., Vagaitsev, V. I., Kuznetsov, N. V., Leonov, G. A. 2011, "Algorithms for ?nding hidden oscillations in nonlinear systems. The Aizerman and Kalman conjectures and Chua’s circuits." J. Comput.Syst. Sci. Int., vol. 50, no. 4, pp. 511–543.Leonov, G. A., Kuznetsov, N. V. 2013, "Hidden attractors in dynamical systems: From hidden oscillation in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits." Int. J. Bifurcation and Chaos, vol. 23, no. 1.1330002.Leonov, G. A., Kuznetsov, N. V. 2013, "Hidden attractors in dynamical systems: From hidden oscillation in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits." Int. J. Bifurcation and Chaos, vol. 23, no. 1.1330002.Jafari, S., Sprott J. C., Golpayegani, S. M. R. H. 2013, "Elementary quadratic chaotic flows with no equilibria." Phys. Lett. A, vol. 377, pp. 699-702.Jafari, S., Sprott J. C., Golpayegani, S. M. R. H. 2013, "Elementary quadratic chaotic flows with no equilibria." Phys. Lett. A, vol. 377, pp. 699-702.Molaie, M., Jafari, S., Sprott, J. C., Golpayegani, S. M. R. H. 2013, "Simple chaotic flows with one stable equilibrium." Int. J. Bifurcation and Chaos., vol. 23, no. 11. 1350188.Molaie, M., Jafari, S., Sprott, J. C., Golpayegani, S. M. R. H. 2013, "Simple chaotic flows with one stable equilibrium." Int. J. Bifurcation and Chaos., vol. 23, no. 11. 1350188.Wangand X., Chen G. 2012, "A chaotic system with only one stable equilibrium." Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation., vol. 17, no. 3, pр.1264–1272..Wangand X., Chen G. 2012, "A chaotic system with only one stable equilibrium." Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation., vol. 17, no. 3, pр.1264–1272.Wei Z. 2011,"Dynamical behaviors of a chaotic system with no equilibria." Phys. Lett. A, vol. 376, pp. 102–108.Wei Z. 2011, "Dynamical behaviors of a chaotic system with no equilibria." Phys. Lett. A, vol. 376, pp. 102–108.Wei, Z. 2011, "Delayed feedback on the 3-D chaotic system only with two stable node-foci." Comput.Math. Appl., vol. 63, pp. 728-738..Wei, Z. 2011, "Delayed feedback on the 3-D chaotic system only with two stable node-foci." Comput.Math. Appl., vol. 63, pp. 728–738..Wang, X., Chen, G. 2013, "Constructing a chaotic system with any number of equilibria." Nonlinear Dyn., vol. 71, pp. 429-436.Wang, X., Chen, G. 2013, "Constructing a chaotic system with any number of equilibria." Nonlinear Dyn., vol. 71, pp. 429-436.Jafari, S., Sprott, J. C. 2013, "Simple chaotic ?ows with a line equilibrium. Chaos Solitons Fractals, vol. 57, pp. 79–84Jafari, S., Sprott, J. C. 2013, "Simple chaotic ?ows with a line equilibrium. Chaos Solitons Fractals, vol. 57, pp. 79–84Pham, V.-T., Jafari, S., Volos, C. Vaidyanathan, S. , Kapitaniak, T., 2016, "A chaotic system with in?nite equilibria located on a piecewise linear curve." Optik, vol. 127, pp. 9111–9117.Pham, V.-T., Jafari, S., Volos, C. Vaidyanathan, S. , Kapitaniak, T., 2016, "A chaotic system with in?nite equilibria located on a piecewise linear curve." Optik, vol. 127, pp. 9111–9117.Jafari, S, Sprott, J. C., Malihe Molaie 2016, "A Simple Chaotic Flow with a Plane of Equilibria" International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 26, no. 6 1650098 , DOI: 10.1142/S021812741650098XJafari, S, Sprott, J. C., Malihe Molaie 2016, "A Simple Chaotic Flow with a Plane of Equilibria" International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 26, no. 6 1650098 , DOI: 10.1142/S021812741650098XViet-Thanh Phama, Jafari, S, CityplaceVolos, C. 2017, "A novel chaotic system with heartshaped equilibrium and its circuital implementation". Optik, vol. 131, pp. 343–349Viet-Thanh Phama, Jafari, S, CityplaceVolos,C. 2017, "A novel chaotic system with heartshaped equilibrium and its circuital implementation". Optik, vol. 131, pp. 343–349Wang, X., Viet-Thanh Pham, CityplaceVolos,C. 2017, "Dynamics, Circuit Design, and Synchronization of a New Chaotic System with Closed Curve Equilibrium" Complexity:1-9. DOI: 10.1155/2017/7138971Wang, X., Viet-Thanh Pham, CityplaceVolos, C. 2017, "Dynamics, Circuit Design, and Synchronization of a New Chaotic System with Closed Curve Equilibrium" Complexity:1- 9. DOI: 10.1155/2017/7138971Гелиг А. Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. 1978. М. Наука.400 с.Gelig, A. Kh., Leonov, G. A., Yakubovich, V. A. 1978, "The stability of nonlinear systems with nonunique equilibrium" CityplaceMoscow, Nauka Publ.,. 400 p.Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. 1991. М., Мир,364 с.Holodniok, M., Kl´iˇc, A., Kub´iˇcek, M., Marek, M. 1991, "Metody analiza nelineynych dinamicheskich modeley" [Methods of the analysis of nonlinear dynamic models] placeCityMoscow, Мir, 364 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.