References

cheb

Чебышевский сборник

Chebyshevskii Sbornik

2226-8383

Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University

10.22405/2226-8383-2015-16-1-32-51

cheb-32

Research Article

Статьи

Article

АНАТОЛИЙ АЛЕКСЕЕВИЧ КАРАЦУБА

ANATOLY ALEKSEEVICH KARATSUBA

Архипов

Г. И.

Arkhipov

G. I.

Чубариков

В. Н.

Chubarikov

V. N.

2015

14062016

1613251

2016

Архипов Г.И., Чубариков В.Н.

Arkhipov G.I., Chubarikov V.N.

Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/32

В статье авторы ставили перед собой две главные задачи: охарактеризовать основные этапы жизни выдающегося русского математика, Заслуженного деятеля науки РФ, профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, заведующего отделом теории чисел МИАН им. В. А. Стеклова, доктора физико-математических наук Анатолия Алексеевича Карацубы и дать краткий анализ его научной деятельности, оказавшей значительное влияние на развитие аналитической теории чисел. Достаточно подробно описываются исследования профессора А. А. Карацубы и его учеников по аналитической теории чисел, где выделяются, следуя А. А. Карацубе, три основных направления: 1) тригонометрические суммы и тригонометрические интегралы; 2) дзета-функция Римана; 3) характеры Дирихле. А. А. Карацуба, являясь учеником профессора Н. М. Коробова, руководил научной школой и научным семинаром по аналитической теории чисел в МГУ имени М. В. Ломоносова. Среди его учеников многие защитили кандидатские диссертации, причём семь из них впоследствии стали докторами физико-математических наук. Анатолий Алексеевич опубликовал 158 научных работ, среди которых 4 монографии и один классический учебник по аналитической теории чисел, был переводчиком ряда фундаментальных научных монографий. Являлся членом редколлегии журнала "Математические заметки" и членом программных комитетов ряда международных конференций по алгебре и теории чисел.

The authors set themselves two main objectives: to characterize the main stages of the life of the outstanding Russian mathematician, Honored Scientist of Russia, Professor of Moscow State University named after M. V. Lomonosov, head of the department of number theory Steklov Mathematical Institute, Doctor of Physical and Mathematical Sciences Anatolii Alexeevich Karatsuba and give a brief analysis of his scientific work, which has had a significant impact on the development of analytic number theory. Sufficiently detailed description of the research of Professor A. A. Karatsuba and his disciples on the analytic theory of numbers, which are allocated following the Karatsuba, three main areas: 1) trigonometric sums and trigonometric integrals; 2) the Riemann zeta function; 3) Dirichlet characters. A. A. Karatsuba, being a disciple of Professor N. M. Korobov, led the scientific schools and seminars on analytic number theory at Moscow State University named after M. V. Lomonosov. Among his many students defended their dissertations, with seven of them later became Doctor of Physical and Mathematical Sciences. Anatoly Alekseevich has published 158 scientific papers, including 4 monographs and a classic textbook on analytic number theory, was the translator of a number of fundamental scientific monographs. He was a member of the editorial board of the journal "Mathematical notes"and a member of the program committees of several international conferences on algebra and number theory.

тригонометрические суммытригонометрические интегралыдзета-функция Риманахарактеры Дирихле

trigonometric sumstrigonometric integralsRiemann zeta functionDirichlet characters

Работа поддержана фондом РФФИ: грант № НК 13-01-00835.

References1

Архипов Г. И. Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы // Мат. заметки. 1975. Т. 17, № 1. С. 143–153.

Arkhipov, G. I. 1975, "A theorem on the mean value of the modulus of a multiple trigonometric sum" , Mat. Zametki, vol. 17, no. 1, pp. 143–153. (Russian)

Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1976. Т. 40, № 1. С. 209–220.

Arkhipov, G. I. & Chubarikov, V. N. 1976, "Multiple trigonometric sums" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 40, no. 1, pp. 209–220, 223. (Russian)

Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Показатель сходимости особого интеграла проблемы Терри // Докл. АН СССР. 1979. Т. 248, № 2. С. 268–272.

Arhipov, G. I., Karacuba, A. A. & Chubarikov, V. N. 1979, "Exponent of convergence of the singular integral in the Terry problem" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 248, no. 2, pp. 268–272. (Russian)

Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Тригонометрические интегралы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1979. Т. 43, № 5. С. 971–1003.

Arhipov, G. I., Karacuba, A. A. & Chubarikov, V. N. 1979, "Trigonometric integrals" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 43, no. 5, pp. 971–1003, 1197. (Russian)

Архипов Г. И., Карацуба А. А. О локальном представлении нуля формой // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. Т. 45, № 5. С. 948–961.

Arkhipov, G. I. & Karatsuba, A. A. 1982 "On local representation of zero by a form" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 45, no. 5, pp. 948–961. (Russian)

Архипов Г. И. О значении особого ряда в проблеме Гильберта – Камке // Докл. АН СССР. 1981. Т. 259, № 2. С. 265–267.

Arkhipov, G. I. 1981, "The values of a singular series in a Hilbert-Kamke problem" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 259, no. 2, pp. 265–267. (Russian)

Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука. 1987. 368 с.

Arkhipov, G. I., Karatsuba, A. A. & Chubarikov, V. N. 1987, "Teoriya kratnykh trigonometricheskikh summ" , [Theory of multiple trigonometric sums] Nauka, Moscow, 368 pp. . (Russian)

Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О математических работах профессора А. А. Карацубы // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1997. Т. 218. С. 7–19.

Arkhipov, G. I. & Chubarikov, V. N. 1997, "On the mathematical papers of Professor A. A. Karatsuba" , Proc. Steklov Inst. Math., vol. 218, pp. 1-–14.

Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1947. Т. 23. 109 с.

Vinogradov, I. M. 1947, "The method of trigonometrical sums in the theory of numbers" , Trav. Inst. Math. Stekloff, vol. 23, 109 pp. (Russian)

Виноградов И. М. Улучшение оценки для суммы значений χ(p+k) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1953. Т. 17. C. 285–290.

Vinogradov, I. M. 1953, "Improvement of an estimate for the sum of the values χ(p + k)" , Izvestiya Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., vol. 17, pp. 285—290. (Russian)

Воронин С. М. О нулях дзета-функций квадратичных форм // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1976. Т. 142. C. 136–147.

Voronin, S. M. 1976, "The zeros of zeta-functions of quadratic forms" , Number theory, mathematical analysis and their applications. Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 142, pp. 135–147, 269. (Russian)

Воронин С. М. О нулях дзета-функций квадратичных форм // Докл. АН СССР. 1977. Т. 235, № 2. C. 257–258.

Voronin, S. M. 1977, "The zeros of zeta-functions of quadratic forms" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 235, no. 2, pp. 257–258. (Russian)

Воронин С. М. О нулях некоторых рядов Дирихле, лежащих на критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1980. Т. 44, № 1. C. 63–91.

Voronin, S. M. 1980, "Zeros of some Dirichlet series lying on the critical line" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 44, no. 1, pp. 63–91, 238. (Russian)

Карацуба А. А. Решение одной задачи из теории конечных автоматов // УМН. 1960. Т. 15, № 3(93). С. 157–159.

Karatsuba, A. A. 1960, "Solution to a problem in the theory of finite automatons" , Uspehi Mat. Nauk, vol. 15, no. 3 (93), pp. 157–159. (Russian)

Карацуба А. А., Офман Ю. П. Умножение многозначных чисел на авто- матах // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, № 2. С. 293–294.

Karatsuba, A. A. & Ofman, Yu. P. 1962, "Multiplication of Many-Digital Numbers by Automatic Computers" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 145, № 2, pp. 293–294. (Russian)

Карацуба А. А., Коробов Н. М. О теореме о среднем // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149, № 2. С. 245–248.

Karatsuba, A. A. & Korobov, N. M. 1963, "A mean-value theorem" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 149, № 2, pp. 245–248. (Russian)

Карацуба А. А. Суммы характеров и первообразные корни в конечных полях // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180, № 6. C. 1287–1289.

Karatsuba, A. A. 1968, "Sums of characters, and primitive roots, in finite fields" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 180, № 6, pp. 1287–1289. (Russian)

Карацуба А. А. Об оценках сумм характеров // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1970. Т. 34, № 1. C. 20–30.

Karatsuba, A. A. 1970, "Estimates of character sums" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 34, № 1, pp. 20–30. (Russian)

Карацуба А. А. Суммы характеров с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1970. Т. 34, № 2. C. 299–321.

Karatsuba, A. A. 1970, "Sums of characters with prime numbers" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 34, № 2, pp. 299–321. (Russian)

Карацуба А. А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях // Докл. АН СССР. 1970. Т. 192, № 4. C. 724–727.

Karatsuba, A. A. 1970, "The distribution of products of shifted prime numbers in arithmetic progressions" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 192, № 4, pp. 724–727. (Russian)

Карацуба А. А. Распределение степенных вычетов и невычетов в аддитивных последовательностях // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196, № 4. C. 759–760.

Karatsuba, A. A. 1971, "Distribution of power residues and non-residues in additive squences" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 196, № 4, pp. 759–760. (Russian)

Карацуба А. А. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1972. Т. 36, № 3. C. 475–483.

Karatsuba, A. A. 1972, "A uniform estimate for the remainder term in Dirichlet’s problem of divisors" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 36, № 3, pp. 475–483. (Russian)

Карацуба А. А. Среднее значение модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1973. Т. 37, № 6. С. 1203–1227.

Karatsuba, A. A. 1973, "Mean value of the modulus of a trigonometric sum" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 37, № 6, pp. 1203–1227. (Russian)

Карацуба А. А. Об оценках снизу сумм характеров от многочленов // Мат. заметки. 1973. Т. 14, № 1. C. 67–72.

Karatsuba, A. A. 1973, "Lower bounds for sums of the characters of polynomials" , Mat. Zametki, vol. 14, № 1, pp. 67–72. (Russian)

Карацуба А. А. Распределение значений символов Лежандра от многочленов с простыми числами // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, № 3. C. 524–526.

Karatsuba, A. A. 1978, "Distribution of the values of Legendre symbols in polynomials with prime numbers" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 238, no. 3, pp. 524–526. (Russian)

Карацуба А. А. Суммы символов Лежандра от многочленов второй степени с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1978. Т. 42, № 2. C. 315– 324.

Karatsuba, A. A. 1978, "Sums of Legendre symbols of quadratic polynomials with prime numbers" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 42, no. 2, pp. 315—324, 470. (Russian)

Карацуба А. А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стек- лова АН СССР. 1981. Т. 157. С. 49–63.

Karatsuba, A. A. 1981, "On the distance between consecutive zeros of the Riemann zeta function that lie on the critical line" , Number theory, mathematical analysis and their applications. Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 157, pp. 49–63, 235. (Russian)

Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — М: Наука. 1983.– 240 с.

Karatsuba, A. A. 1983, "Osnovy analiticheskoi teorii chisel" , [Principles of analytic number theory] Second edition. Nauka, Moscow, 240 pp. (Russian)

Карацуба А. А. О нулях ζ(s) на коротких промежутках критической пря- мой // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. Т. 48, № 3. С. 569–584.

Karatsuba, A. A. 1984, "Zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 48, no. 3, pp. 569–584. (Russian)

Карацуба А. А. Распределение нулей функции ζ(1/2+it) // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. Т. 48, № 6. С. 1214–1224.

Karatsuba, A. A. 1984, "Distribution of zeros of the function ζ(1/2 + it)" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 48, no. 6, pp. 1214–1224. (Russian)

Карацуба А. А. О функции G(n) в проблеме Варинга // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1985. Т. 49, № 5. С. 935–947.

Karatsuba, A. A. 1985, "The function G(n) in Waring’s problem" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 49, no. 5, pp. 935–947, 1119. (Russian)

Карацуба А. А. О нулях дзета-функции Римана на критической прямой // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1985. Т. 167. С. 167–178.

Karatsuba, A. A. 1985, "Zeros of the Riemann zeta function on the critical line" , Current problems in mathematics. Mathematical analysis, algebra, topology. Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 167, pp. 167–178, 277. (Russian)

Карацуба А. А. О вещественных нулях функции ζ(1/2 + it) // УМН. 1985. Т. 40, № 4. С. 171–172.

Karatsuba, A. A. 1985, "Real zeros of the function ζ(1/2 + it)" , Uspekhi Mat. Nauk vol. 40, no. 4(244), pp. 171–172. (Russian)

Карацуба А. А. О нулях функции Дэвенпорта – Хейльбронна, лежащих на критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1990. Т. 54, № 2. C. 303–315.

Karatsuba, A. A. 1990, "On zeros of the Davenport-Heilbronn function lying on the critical line" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 54, no. 2, pp. 303–315. (Russian)

Karatsuba A. A. On Zeros of the Davenport – Heilbronn function // Proc. Amalfi Conf. Analytic Number Theory. 1992. P. 271–293.

Karatsuba A. A. 1992 "On Zeros of the Davenport – Heilbronn function" , Proc. Amalfi Conf. Analytic Number Theory, pp. 271–293.

Карацуба А. А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1992. Т. 56, № 2. С. 372–397.

Karatsuba, A. A. 1992, "On the number of zeros of the Riemann zeta function lying on almost all short intervals of the critical line" , Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., vol. 56, no. 2, pp. 372–397. (Russian)

Карацуба А. А. О нулях арифметических рядов Дирихле, не имеющих эйлерова произведения // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1993. Т. 57, № 5. C. 3–14.

Karatsuba, A. A. 1993, "On zeros of arithmetic Dirichlet series without an Euler product" , Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., vol. 57, no. 5, pp. 3–14. (Russian)

Карацуба А. А. Аналоги сумм Клоостермана // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1995. Т. 59, № 5. С. 93–102.

Karatsuba, A. A. 1995, "Analogues of Kloosterman sums" , Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., vol. 59, no. 5, pp. 93–102. (Russian)

Karatsuba A. A. Complex analysis in number theory. — Boca Raton: CRC Press, 1995, 187 pp.

Karatsuba A. A. 1995, "Complex analysis in number theory" , Boca Raton: CRC Press, 187 pp.

Карацуба А. А. Плотностная теорема и поведение аргумента дзета- функции Римана // Мат. заметки. 1996. т. 60, № 3. C. 448–449.

Karatsuba, A. A. 1996, "A density theorem and the behavior of the argument of the Riemann zeta function" , Mat. Zametki, vol. 60, no. 3, pp. 448–449. (Russian)

Карацуба А. А. О функции S(t) // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1996. Т. 60, № 5. C. 27–56.

Karatsuba, A. A. 1996, "On the function S(t)" , Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., vol. 60, no. 5, pp. 27–56. (Russian)

Карацуба А. А. Аналоги неполных сумм Клоостермана и их приложения // Tatra Mountains Math. Publ., 1997. Т. 11. С. 89–120.

Karatsuba, A. A. 1997, "Analogues of incomplete Kloosterman sums and their applications" , Tatra Mountains Math. Publ., vol. 11, pp. 89–120.

Карацуба А. А. Двойные суммы Клоостермана // Мат. заметки. 1999. Т. 66, № 5. С. 682–687.

Karatsuba, A. A. 1999, "Double Kloosterman sums" , Mat. Zametki, vol. 66, no. 5, pp. 682–687. (Russian)

Карацуба А. А. Sums of characters with prime numbers and their applications // Tatra Mountains Math. Publ. 2000. Т. 20. C. 155–162.

Karatsuba, A. A. 2000, "Sums of characters with prime numbers and their applications" , Tatra Mountains Math. Publ., vol. 20, pp. 155–162.

Карацуба А. А. Суммы характеров с весами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 2000. Т. 64, № 2. C. 29–42.

Karatsuba, A. A. 2000, "Character sums with weights" , Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., vol. 64, no. 2, pp. 29–42. (Russian)

Карацуба А. А. О нижних оценках максимума модуля ζ(s) в малых областях критической полосы // Мат. заметки. 2001. Т. 70, № 5. C. 796–797.

Karatsuba, A. A. 2001, "Lower bounds for the maximum modulus of ζ(s) in small domains of the critical strip" , Mat. Zametki, vol. 70, no. 5, pp. 796–797. (Russian)

Карацуба А. А. О нижних оценках максимума модуля дзета-функции Римана на коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. мат. 2004. Т. 68, № 2. C. 372–397.

Karatsuba, A. A. 2004, "On lower bounds for the maximum modulus of the Riemann zeta function on short intervals of the critical line" , Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., vol. 68, no. 6, pp. 99–104. (Russian)

Karatsuba A. A., Karatsuba E. A. Application of ATS in a quantum-optical model // Analysis and Mathematical Physics: Trends in Mathematics. 2009. pp. 211–232.

Karatsuba, A. A. & Karatsuba, E. A. 2009, "Application of ATS in a quantumoptical model" , Analysis and Mathematical Physics: Trends in Mathematics, pp. 211–232.

Karatsuba A. A., Karatsuba E. A. Resummation formula for collapse and revival in Jaynes – Cummings model // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42. 195304, 16.

Karatsuba, A. A. & Karatsuba, E. A. 2009, "Resummation formula for collapse and revival in Jaynes – Cummings model" , J. Phys. A: Math. Theor., vol. 42, 195304, 16.

Мозер Я. Об одной теореме Харди–Литтлвуда в теории дзета-функции Римана // Acta Arith. 1976. Vol. 31. P. 45–51.

Mozer, Jan 1976, "A certain Hardy-Littlewood theorem in the theory of the Riemann zeta-function" , Acta Arith., vol. 31, no. 1, pp. 45–51. (Russian)

Мозер Я. Улучшение теоремы Харди–Литтлвуда о плотности нулей функции ζ(1/2 + it) // Acta Math. Univ. Comen. Bratislava. 1983. Vol. 42/43. P. 41–50.

Mozer, Yan 1983, "Sharpening of the Hardy-Littlewood theorem on the density of zeros of the function ζ(1/2 + it)" , Acta Math. Univ. Comenian, vol. 42/43, pp. 41—50. (Russian)

Мозер Я. Некоторые следствия из формулы Римана – Зигеля // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1984. Т. 163. С. 183–186.

Mozer, Ya. 1984, "Some corollaries of the Riemann-Siegel formula" , International conference on analytical methods in number theory and analysis (Moscow, 1981). Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 163, pp. 183–186. (Russian)

Davenport H., Heilbronn H. On Zeros of certain Dirichlet series // J. Lond. Math. Soc. 1936. Vol. 11. PP. 181–185 and pp. 307–312.

Davenport H. & Heilbronn H. 1936, "On Zeros of certain Dirichlet series" , J. Lond. Math. Soc., vol. 11, pp. 181–185 and pp. 307–312.

Davenport H., Lewis D. J. Primitive roots in finite fields // Rend. Circolo Mat. di Palermo. 1963. Vol. 12. P. 129–136.

Davenport H. & Lewis D. J. 1963, "Primitive roots in finite fields" , Rend. Circolo Mat. di Palermo, vol. 12, pp. 129–136.

Hardy G. H., Littlewood J. E. Contributions to the theory of Riemann zetafunction and the theory of distribution of primes // Acta Math. 1918. Vol. 41. P. 119–196.

Hardy G. H. & Littlewood J. E. 1918, "Contributions to the theory of Riemann zeta-function and the theory of distribution of primes" , Acta Math., vol. 41, pp. 119–196.

Hardy G. H., Littlewood J. E. The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line // Math. Zs. 1921. Vol. 10. P. 283–317.

Hardy G. H. & Littlewood J. E. 1921, "The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line" , Math. Zs., vol. 10, pp. 283–317.

Richert H. E. Einf¨uhrung in die Theorie der Starken Rieszschen Summierbarkeit von Dirichletreihen // Nachr. Akad. Wiss. G¨ottingen (Math.-Physik). 1960. P. 17–75.

Richert H. E. 1960, "Einf¨uhrung in die Theorie der Starken Rieszschen Summierbarkeit von Dirichletreihen" , Nachr. Akad. Wiss. G¨ottingen (Math.- Physik), pp. 17–75.

Selberg A. On the zeros of Riemann’s zeta-function // Skrifter utgitt av Det Norske Videnskaps–Akademi i Oslo. I. Mat.-Naturv. Klasse. 1942. Vol. 10. P. 1–59.

Selberg A. 1942, "On the zeros of Riemann’s zeta-function" , Skrifter utgitt av Det Norske Videnskaps–Akademi i Oslo. I. Mat.-Naturv. Klasse, vol. 10, pp.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.