доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры информационной безопасности и теории управления
Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Professor at the Department of Information Security and Control Theory
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики
Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics
В работе приведен обзор недавних результатов о многообразиях алгебр Лейбница-Пуассона, которые являются обобщениями алгебр Пуассона. Показано, что рост любого многообразия алгебр Лейбница-Пуассона над произвольным полем либо ограничен полиномом, либо не ниже экспоненциального с показателем P. Показана конечная базируемость многообразий алгебр Лейбница-Пуассона полиномиального роста в случае основного поля нулевой характеристики. Приводится многообразие алгебр Лейбница-Пуассона почти полиномиального роста. В случае основного поля нулевой характеристики приводятся эквивалентные условия полиномиальности роста для многообразий алгебр Лейбница-Пуассона. Показаны все многообразия алгебр Лейбница-Пуассона почти полиномиального роста в одном классе многообразий. Исследуются многообразия алгебр Лейбница-Пуассона, идеалы тождеств которых содержат тождество {x, y} · {z, t} = 0, исследуется взаимосвязь таких многообразий с многообразиями алгебр Лейбница. Показано, что из любой алгебры Лейбница можно построить алгебру Лейбница-Пуассона с похожими свойствами исходной алгебры. Показано, что если идеал тождеств многообразия алгебр Лейбница-Пуассона V не содержит ни одного тождества из свободной алгебры Лейбница, то рост многообразия V является сверхэкспоненциальным. Приводится многообразие алгебр Лейбница-Пуассона почти экспоненциального роста. Пусть {γn(V)}n≥1 " последовательность собственных коразмерностей многообразия алгебр Лейбница-Пуассона V. Приводится класс минимальных многообразий алгебр Лейбница-Пуассона полиномиального роста последовательности {γn(V)}n≥1, т.е. последовательность {γn(V)}n≥1 любого такого многообразия V растет как полином некоторой степени k, но последовательность {γn(W)}n≥1 любого собственного подмногообразия W многообразия V растет как полином строго меньшей степени, чем k.
The paper is survey of recent results of investigations on varieties of Leibniz-Poisson algebras. We show that a variety of Leibniz-Poisson algebras has either polynomial growth or growth with exponential not less than 2, the eld being arbitrary. We show that every variety of Leibniz-Poisson algebras of polynomial growth over a eld of characteristic zero has a nite basis for its polynomial identities.We construct a variety of Leibniz-Poisson algebras with almost polynomial growth. We give equivalent conditions of the polynomial codimension growth of a variety of Leibniz-Poisson algebras over a eld of characteristic zero. We show all varieties of Leibniz-Poisson algebras with almost polynomial growth in one class of varieties. We study varieties of Leibniz-Poisson algebras, whose ideals of identities contain the identity fx; yg fz; tg = 0, we study an interrelation between such varieties and varieties of Leibniz algebras. We show that from any Leibniz algebra L one can construct the Leibniz-Poisson algebra A and the properties of L are close to the properties of A. We show that if the ideal of identities of a Leibniz-Poisson variety V does not contain any Leibniz polynomial identity then V has overexponential growth of the codimensions. We construct a variety of Leibniz-Poisson algebras with almost exponential growth. Let f n(V)gn1 be the sequence of proper codimension growth of a variety of Leibniz-Poisson algebras V. We give one class of minimal varieties of Leibniz-Poisson algebras of polynomial growth of the sequence f n(V)gn1, i.e. the sequence of proper codimensions of any such variety grows as a polynomial of some degree k, but the sequence of proper codimensions of any proper subvariety grows as a polynomial of degree strictly less than k.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.