доктор физикоEматематических наук, профессор
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor
кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой алгебры и дискретной математики
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Head of the Department of Algebra and Discrete Mathematics
старший преподаватель кафедрой алгебры и дискретной математики
Senior teacher of the Department of Algebra and Discrete Mathematics
В статье рассматриваются вопросы, относящиеся к структурной теории алгебр Ли. Построение структурной теории алгебраических систем предполагает наличие определенных конструкций специального вида, изучение которых представляется более простым по сравнению с изучением самой системы. Важнейшим инструментом исследования алгебраических систем является радикал. Развитие структурной теории алгебр Ли привело к появлению различных радикалов. В многочисленных публикациях рассматриваются такие радикалы алгебр Ли, как разрешимый радикал Киллинга, слабо разрешимый радикал Парфенова, радикал Джекобсона, первичный радикал. Одним из актуальных направлений исследований является изучение свойств радикалов бесконечномерных алгебр Ли. Статья посвящена доказательству свойств первичного радикала алгебры Ли, на которую накладывается дополнительное условие " слабоартиновость. Слабоартиновой называется алгебра Ли, удовлетворяющая условию обрыва убывающих цепей идеала. В первом разделе работы вводится понятие первичного радикала следующим образом. Алгебра Ли L называется первичной, если для любых двух ее идеалов U и V из [U, V ] = 0 следует, что U = 0 или V = 0. Идеал P алгебры Ли L является первичным, если фактор-алгебра L/P " первична. Первичным радикалом P(L) алгебры Ли L называется пересечение всех ее первичных идеалов. Во втором разделе работы показано, что любое конечное множество элементов первичного радикала слабоартиновой алгебры Ли порождает в ней нильпотентную подалгебру, что означает локальную нильпотентность первичного радикала. Третий раздел посвящен свойству разрешимости первичного радикала слабоартиновой алгебры Ли. Доказательству свойства предшествует история решения проблемы А.В. Михалева о разрешимости первичного радикала алгебр Ли, удовлетворяющих дополнительным условиям.
This article deals with the issues of the structural theory of Lie algebras. The construction of the structural theory of algebraic systems implies the existence of certain structures of a special form, which are simpler than the base system. The important tool to study algebraic systems is the radical. The development of the structural theory of Lie algebras led to the emergence of various radicals. There are many radicals of Lie algebras in numerous publications. For example, the Killing radical, the Parfenov radical, the Jacobson radical and the prime radical are considered in various articles. The important area of research is the study of radicals of innite-dimensional Lie algebras. The article is devoted to proving properties of prime radical of a weakly artinian Lie algebra. A Lie algebra is said to be a weakly artinian if the Lie algebra satises the descending chain condition on ideals. In the rst section of the paper we introduced the concept of the prime radical in the following way. A Lie algebra L is said to be prime if [U; V ] = 0 implies U = 0 or V = 0 for any ideals U and V of L. We say that the ideal P of a Lie algebra L is prime if the factor algebra L=P is prime. The intersection of all prime ideals is called the prime radical P(L) of a Lie algebra L. In the second section it is shown that any nite set of elements of the prime radical of a weakly artinian Lie algebra generates the nilpotent subalgebra. This means that the prime radical is locally nilpotent. The third section is devoted to the solvability of the prime radical of a weakly artinian Lie algebra. There is a history of solving Mikhalev' s problem about the prime radical of a weakly artinian Lie algebra in this section also.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.