chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-1-123-133cheb-308Research ArticleСтатьиArticleО НЕКОТОРЫХ ПРИЗНАКАХ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ЗНАКОПОСТОЯННЫХ И ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИХСЯON SOME CONVERGENCE TESTS FOR ALTERNATING SERIES AND CONSTANT SIGN SERIESКозкоА. И.KozkoA. I.

кандидат физико-математических наук, доцент, механико-математический факультет  

Экономический факультет 

Candidate of Physico-Mathematical Sciences, Docent, MSU Faculty of Mechanics and Mathematics, RANEPA

prozerpi@yahoo.co.ukМГУ имени М.В. Ломоносова РАН ХиГСRussian Federation201722062017181123133Copyright © Козко А.И., 20172017Козко А.И.Kozko A.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/308

В курсе анализа хорошо изучены свойства числовых рядов n+=∞1 an, которые на бесконечности имеют асимптотический рост по степеням n. Соответствующие признаки сходимости были заложены еще в работах Гаусса. В работе изучается необходимые и достаточные условия на положительную (а также знакочередующуюся) последовательность чисел {an}n+=∞1D имеющую скорость убывания (роста) в логарифмической шкале для сходимости ряда n+=∞1 an. Приводятся примеры на использования полученных критериев сходимости, как в случае знакопостоянного ряда, так и в случае знакопеременного рада. Важность логарифмической шкалы обусловлена тем, что она встречается в различных разделах анализа и, в частности, в задаче о нахождении спектра оператора Штурма-Лиуввиля на полуоси для быстрорастущих потенциалах. В логарифмической шкале возникают и соответствующие вопросы о нахождение регуляризованных сумм для специальных потенциалов оператора Штурма-Лиуввиля на полуоси.

Well known properties of numerical series P+1 n=1 an in the course of analysis, which have asymptotic growth of powers of n at innity. Relevant tests of convergence was laid in the works of Gauss. We study the necessary and sucient conditions for the positive (and constant sign) a sequence of numbers fang+1 n=1 with the rate of decrease (growth) in logarithmic scale for the convergence of the series P+1 n=1 an. Examples of the use of the criteria of convergence, as in the case of constant sign of series, and in the case of alternating series. The importance of a logarithmic scale due to the fact that it is found in various sections of the analysis and, in particular, the problem of nding the spectrum of the operator of SturmLiouville on the half-line for the fast growing potentials. On a logarithmic scale arise and the relevant questions on the presence of regularized sums, for the special potentials of the operator of SturmLiouville on the half-line.

сходимость рядазнакопостоянный рядзнакопеременный рядпризнак сходимости рядаасимптотикаасимптотическое разложениеспектр оператора Штурма-Лиуввиляconvergence of the seriesseries of constant signalternating seriestest of convergence of seriestest asymptotic behaviorasymptotic expansionthe spectrum of the operator of Sturm-LiouvilleReferencesИльин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. В 2-х томах. // М.: Изд-во МГУ. Ч.1: 2-е изд., перераб., 1985. - 662с.; Ч.2 - 1987. - 358с.Ilyin V. A. Sadovnichii V. A. Sendov Bl. H. 1985, ``Mathematical Analysis``, M. Izdatelstvo MSU, vol. 1, 662 pp. vol. 2, 358 pp.Никольский С. М. Курс математического анализа // М.: Физматлит, 2001. — 592 с.Nikolskii S. M. 2001,``Course of mathematical analysis``, M. Fizmatlit, 592 p.Шведов И. А.Компактный курс математического анализа, ч. 1. Функции одной переменной // Учеб. пособие/ Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2003. - 112 с. Available at: http://eqworld.ipmnet.ru/ ru/library/books/Shvedov_-$analiz$1_-$2003ru.pdf (дата обращения: 18.03.2017)Shvedov I. A. 2003,``Kompaktnyi kurs matematicheskogo analiza``, Novosib. Gos. Univ., 112 pp.Зорич В. А. Математический анализ (изд. 4-е, в 2-х частях) // МЦНМО. 2002.Zorich Vladimir A. 2015,``Mathematical Analysis I``, 2016, ``Mathematical Analysis II``, Springer.Козко А. И. Асимптотика спектра дифференциального оператора $-y''+q(x)y$ с граничным условием в нуле и быстро растущим потенциалом // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 5, С. 611--622.Kozko A. I. 2005, ``Asymptotics of the spectrum of the differential operator $-y''+q(x)y$ with a Boundary Condition at zero and with rapidly growing potential``, Differential Equations, 41:5, pp. 636–648.Козко А.И. Свойства собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля в $L^2(mathbbR_+)$ с граничным условием $y(0)cos alpha +y'(0) sin alpha =0$ // Сборник материалов XVIII Международной Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения» (27 января–03 февраля 2016 г.), место издания Издательство СГУ Саратов, тезисы, с. 150-152.Kozko A. I. 2016, ``The properties of the eigenvalues of Sturm-Liouville in $L^2(\mathbbR_+)$ with boundary condition $y(0)\cos \alpha +y'(0) \sin \alpha =0$``, Sbornik 18 Mezdunarodnoi Saratovskoi zimnei shkolu «Sovremennye problemy teorii funkchii i ih prilozeniya» (27 january–03 february 2016), Izdatelstvo SGU Saratov, pp. 150--152.Печенцов А. С. Регуляризованные следы дифференциальных операторов: метод Лидского"=Садовничего // Дифференц. уравнения. 1999. том 35, номер 4, C. 490--497. %Следы одного класса сингулярных дифференциальных операторов:метод Лидского-Садовничего //%Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 1999. № 5, С. 35--42.Pechentsov A. S. 1999, ``Regularized traces of differential operators: the Lidskii–Sadovnichii method``, Differential Equations, 35:4, pp. 490–497. %``Следы одного класса сингулярных дифференциальных операторов:метод Лидского-Садовничего`` //%Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 1999. № 5, С. 35--42.Козко А. И., Печенцов А. С. Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов с каноническими краевыми условиями // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Мех. 2011. № 4, С. 11--17.Kozko A. I., Pechentsov A. S. 2011,``Regularized traces of singular differential operators with canonical boundary conditions``, Moscow Univ. Math. Bulletin, vol. 66, no. 4.Козко А. И., Печенцов А. С. Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов высших порядков // Матем. заметки. 2008. Т 83, № 1, С. 39–49.Kozko A. I., Pechentsov A. S. 2008, ``Regularized traces of higher-order singular differential operators``, Mathematical Notes, 83:1, pp. 37 DOI: https://doi.org/10.4213/mzm3764Садовничий В. А., Печенцов А. С., Козко А. И. Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов // Доклады Академии наук. 2009. Т. 427. № 4. С. 461-465.Sadovnichii V. A., Pechentsov A. S., Kozko A. I. 2009, ``Regularized traces of singular differential operators``, Doklady Mathematics august, vol. 80, no. 1, pp. 550--554. №indent DOI: 10.1134/S1064562409040255Козко А.И., Печенцов А.С. Спектральная функция и регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов высших порядков // Доклады Академии наук. 2005. Т. 401. № 2. С. 160-162.Kozko A. I., Pechentsov A. S. 2005, ``Spectral functions and regularized traces of singular differential operators of higher orders``, Doklady Mathematics, vol. 71, no. 2, pp. 195-197.Kozko A. I. On the spectral functions for the higher-order differential operators with trivial boundary conditions and regularized trace of perturbation operators of the first order // Laboratoire de Mathematiques, Universite Blaise Pascal - Clermont-Ferrand, France. 2004. c. 1-22.Kozko A. I. 2004, ``On the spectral functions for the higher-order differential operators with trivial boundary conditions and regularized trace of perturbation operators of the first order``, Laboratoire de Mathematiques, Universite Blaise Pascal - Clermont-Ferrand, France. pp. 1-22.Kozko A. I., Pechentsov A. S. On the spectral function and regularized traces of singular differential operators // International conference "m-Function and Related Topics Conference" dedicated to professor W. N. Everitt, Cardiff, Wales, Uk, July 19--21, 2004, с. 14-16.Kozko A. I., Pechentsov A.S. 2004, ``On the spectral function and regularized traces of singular differential operators``, International conference "m-Function and Related Topics Conference" dedicated to professor W. N. Everitt, Cardiff, Wales, Uk, July 19 - 21, pp. 14-16.Kozko A.I., Pechentsov A. S. Regularized traces of singular differential operators of higher orders // IWOTA 2004, Newcastle upon Tyne, Uk, July 12 - 16, c. 31-31Kozko A. I., Pechentsov A. S. 2004, ``Regularized traces of singular differential operators of higher orders``, IWOTA, Newcastle upon Tyne, Uk, July 12 - 16, pp. 31-31Козко А. И., Печенцов А. С. Спектральная функция сингулярного дифференциального оператора порядка $2m$ // Изв. РАН. Сер. матем. 2010. Т -74, № 6, С. 107–126.Kozko A. I., Pechentsov A. S. 2010, ``The spectral function of a singular differential operator of order $2m$``, Izvestiya: Mathematics, 74:6, pp. 1205–1224. DOI: https://doi.org/10.4213/im2780Печенцов А. С. Регуляризованные следы краевых задач в случае кратных корней характеристического полинома // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т -4, № 2, С. 567-583.Pechentsov A. S. 1998, ``Regularized traces of boundary problems in case of multiple roots of characteristic polynomial``, Fundamtntalnaya i priklodnaya matematika, vol -4, no. 2, pp. 567--583.Кадченко С. И. Метод регуляризованных следов// Вестник Юж-Урал. гос. унта. Сер.: Математическое моделирование и программирование. 2009. № 37(170), Вып. 4, 4–23. Available at: http://cyberleninka.ru/article/n/metod-regulyarizovannyh-sledov#ixzz4bi2qQDJB (дата обращения: 18.03.2017)Kadchenko S. I. 2009, ``Method of regularized traces``, Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical modelling, programming and computer software, no. 37(170), issue 4, pp. 4--23.Распопов В. В., Дубровский В. В. Формула регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка.// Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, №7. С.979-981Raspopov V. V., Dubrovskii V. V. 2002, ``An approximate regularized trace formula for an ordinary fourth-order differential operator``, Differential Equations, 38:7, pp. 1042--1045.Бобров А. Н., Подольский В. Е. Сходимость регуляризованных следов степени оператора Лапласа–Бельтрами с потенциалом на сфере $S^n$// Матем. сб. 1999. Том 190, номер 10, С. 3–16.Bobrov A. N., Podol'skii V. E. 1999, ``Convergence of regularized traces of powers of the Laplace-Beltrami operator with potential on the sphere $S^n$``, Sbornik: Mathematics, 190:10, pp. 1401–1415. DOI: https://doi.org/10.4213/sm430Садовничий В. А., Подольский В. Е. Регуляризованные следы дискретных операторов // Труды Института математики и механики УрО РАН, издательство Ин-т математики и механики (Екатеринбург). 2006. Т -12. № 2, С. 162-177.Sadovnichii V. A., Podolskii V. E. 2006, ``Regularized traces of discrete operators`` // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Supplementary issues), 255, suppl. 2, pp. 161--177.Садовничий В. А., Подольский В. Е. Следы операторов// УМН. 2006. Т 61, №5 (371), С. 89--156.Sadovnichii V. A., Podolskii V. E. 2006, ``Traces of operators ``, Uspekhi Mat. Nauk, vol. 61, no. 5(371), pp. 89--156. DOI: https://doi.org/10.4213/rm4833

The authors declare that there are no conflicts of interest present.