chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-1-109-122cheb-307Research ArticleСтатьиArticleИНВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИИ НА СВОБОДНЫХ ГРУППАХ И СПЕЦИАЛЬНЫХ HNN-РАСШИРЕНИЯХINVARIANT FUNCTIONS ON FREE GROUPS AND SPECIAL HNN-EXTENSIONSКаганД. З.KaganD. Z.

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики 

Associate Professor, Ph. D. of mathematics, the department of Mathematics

dmikagan@gmail.comМосковский Государственный Университет путей сообщения Императора Николая II (МИИТ)РоссияMoscow University of Railway EngineeringRussian Federation201722062017181109122Copyright © Каган Д.З., 20172017Каган Д.З.Kagan D.Z.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/307

В данной работе рассматриваются вопросы о возможности построения инвариантныхнетривиальных псевдохарактеров на свободных группах. Доказано существовании нетривиальных псевдохарактеров на определенном типе HNN-расширений, относящихся к сложным случаям. Для таких HNN-расширений, обладающих определенными копредставлениями, получены утверждения о ширине коммутантных вербальных подгрупп и нетривиальности второй группы ограниченных когомологий. Таким образом, дается частичный ответ на вопросы, сформулированные Р.И. Григорчуком. Для произвольной группе G псевдохарактером ϕ на G назывется вещественная функция, для которой |ϕ(ab) − ϕ(a) − ϕ(b)| ≤ ε для любых a,b ∈ G и некоторого ε > 0 и ϕ(xn) = nϕ(x) для любых x ∈ G,n ∈ ZF Псевдохарактер назывется нетривиальным, если существуют a, b ∈ G, такие, что ϕ(ab) Ḙ= ϕ(a) + ϕ(b). Существование на группе нетривиальных псевдохарактеров связано со многими важными характеристиками групп. Понятия псевдохарактеров было введено А.И. Штерном. Условия, достаточные для существования нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях с объединением и HNN-расширениях, в которых базовая группа отлична от связанных подгрупп, были получены Р.И. Григорчуком и В.Г. Бардаковым. Нетривиальные псевдохарактеры существуют на группах с одним определяющим соотношением и по крайней мере тремя образующими. Открытыми остаются вопросы об условиях существования нетривиальных псевдохарактеров для групп с одним определяющим соотношением и двумя образующими для HNN-расширений, в которых одна из связанных подгрупп совпадает с базовой группой. Эти вопросы во многих случаях сводятся к построению нетривиальных псевдохарактеров на свободных группах, инвариантных относительно специальных типов эндоморфизмов. В статье доказывается существование нетривиальных псевдохарактеров на свободных группах ранга n > 1, инвариантных относительно одного из таких типов эндоморфизмов. Доказано существование нетривиальных псевдохарактеров на некоторых нисходящих HNN-расширениях.

In this paper we are considering questions about the possibility of existence of invariant nontrivial pseudocharacters on free groups. It is proved that nontrivial pseudocharacters exist on a certain type of HNN-expansions in complex cases. We got some results about the width of verbal subgroups generated by words from commutator subgroup and non-triviality of the second group of bounded cohomologies for considered HNN-expansions. Thus, partial answer to the question, formulated R. I. Grigorchuk, is received. Pseudocharacter is the real functions f from group G to R such that f(xy)-f(x)-f(y) for some " > 0 and for any x; y 2 G and f(xn) = nf(x) 8n 2 Z, 8x 2 G. A pseudocharacter is called non-trivial if '(ab)

нетривиальные псевдохарактерысвободные группыограниченные когомологииширина вербальных подгруппHNN - расширенияFnontrivial pseudocharactersfree groupsbounded cohomologieswidth of verbal subgroupsHNN - extensions.ReferencesШтерн А. И. Квазипредставления и псевдопредствления // Функц. анализ и его прил. 1991. Т. 25, №2. С. 70-73.Shtern, А. I. 1991, "Quasirepresentations and pseudorepresentations", Funct. Anal. Appl. Vol. 25, no.2, pp. 70-73.Файзиев В. А., Об устойчивости одного функционального уравнения на группах // Успехи мат. наук. 1993. Т.48, №1 С. 193-194.Faiziev, V. А., 1993, "The stability of a functional equation on groups", Russian Math.Surveys. Vol.48, no.1, pp. 193-194.Григорчук Р. И. Some results an bounded cohomology. Combinatorial and Geometric Group Theory. // Edinburg 1993 London Math. Soc. Lecture Notes Ser..V.284. Cambridge: Cambridge University Press 1994 C. 111-163Grigorchuk, R. I. "Some results an bounded cohomology", Combinatorial and Geometric Group Theory (Edinburg 1993). London Math. Soc. Lecture Notes Ser..V.284. Cambridge: Cambridge University Press 1994 pp. 111-163Григорчук Р. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций // Математические заметки. 1996. Т.59, №4. С. 546-550.Grigorchuk, R. I. 1996, "Bounded cohomology of group constructions", Mat. Zametki, vol. 59, no. 4, рр. 546-550.Бардаков В. Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, №5. С. 494-517.Bardakov, V. G. 1997, "On the width of verbal subgroups of some free constructions", Algebra and logic, vol. 36, no. 5, рр. 494-517.Каган Д. З. О существовании нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях групп. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2004. N.6. С. 24-28.Kagan, D. Z. 2004, "Existence of nontrivial pseudo-characters on anomalous group products", Moscow Univ. Math. Bull., no. 6, pp. 24–28.Каган Д. З. Псевдохарактеры на аномальных произведениях локально индикабельных групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т.12, №3. C.55-64.Kagan, D. Z. 2008, "Pseudocharacters on anomalous products of locally indicable groups", J. Math. Sci. (N. Y.), vol. 149, no. 3, рр. 1224-1229.Мерзляков Ю. И. Рациональные группы. М.: Наука, 1987.Merzlyakov, Y. I. 1987, "Rational groups", Moscow: Nauka.Добрынина И. В. О ширине в свободных произведениях с объединением // Математические заметки. 2000. Т. 68, №3. С. 353-359.Dobrynina, I. V. 2000, "On the width in free products with amalgamation", Mat. Zametki, vol. 68, no. 3, рр. 353-359.Добрынина И. В. Решение проблемы ширины в свободных произведениях с объединением // Фундаментальная и прикладная математика. 2009. Т. 15, №1. С. 23-30.Dobrynina, I. V. 2009, "Solution of the width problem in amalgamated free products", Fundam. Prikl. Mat., vol. 15, no. 1, рр. 23-30.Добрынина И. В., Безверхний В. Н. О ширине в некотором классе групп с двумя образующими и одним определяющим соотношением // Труды института математики и механики УрО РАН. 2001. Т.7, №2. С. 95-102.Dobrynina, I. V. & Bezverkhnii, V. N. 2001, "On width in some class of groups with two generators and one defining relation", Proc. Steklov Inst. Math. Algebra. Topology, suppl. 2, рр. 53–60.Добрынина И. В., Каган Д. З. О ширине вербальных подгрупп в некоторых классах групп // Чебышевский сборник. 2015. Т.16, №4 (56). С. 150-163Dobrynina, I. V., Kagan, D. Z., 2015, "On the width of verbal subgroups in some classes of groups", Chebyshevski. Sb., vol. 16, no. 4 (56), pp. 150-163.Каган Д. З. Ширина вербальных подгрупп для групп с одним определяющим соотношением // Материалы XIII Межд. Конференции Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения. Тула, 2015. С. 76-78.Kagan, D. Z., 2015, "Width of verbal subgroups for groups with one defining relation" , XIII International Conference "Algebra, number theory and discrete geometry: Modern Problems and Application" , Tula, рр. 76-78.Каган Д. З. Нетривиальные псевдохарактеры на группах с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром // Математический сборник. 2017. Т. 208, №1. С. 80-96.Kagan, D. Z., 2017 "Pseudocharacters on groups with one defining relation and non-trivial center" , // Matematicheskii Sbornik, 2017. vol.208., no 1., pp. 80–96.Линдон Р., Шупп П. //Комбинаторная теория групп. М. Мир. 1980. 448 с.Lyndon, R. C., Schupp, P. E., 1977, "Combinatorial group theory", Ergeb. Math. Grenzgeb., 89, Springer-Verlag, Berlin–New York.Магнус В., Каррас А., Солитер Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974. 455 с.Magnus, W., Karrass, A., Solitar, D., 1966, "Combinatorial group theory. Presentations of groups in terms of generators and relations", Pure Appl. Math., 13, Intersci. Publ., John Wiley and Sons, Inc., New York.Молдованский Д. И. О некоторых подгруппах групп с одним определяющим соотношением // Сиб. матем. журнал.Moldavanskii, D. I., 1968, “Certain subgroups of groups with a single defining relation”,Siberian Math. J., vol.8 no 6, pp. 1039–1048.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.