chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-1-44-64cheb-303Research ArticleСтатьиArticleВСЕГДА НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ДВУХ ПРОЕКТОРОВALWAYS NONSINGULAR POLIYNOMIALS OF TWO PROJECTORSВетошкинА. М.VetoshkinA. M.

кандидат технических наук, доцент секции ИУ-6 МФ, кафедры Компьютерные системы и сети 

Candidate of Technical Sciences, Docent

alexander.vetkin@gmail.comМосковский Государственный Технический Университет им Н. Э. Баумана Мытищинский филиалРоссияMoscow State Technical University them. N. E. Bauman, Mytishchi branchRussian Federation2017210620171814464Copyright © Ветошкин А.М., 20172017Ветошкин А.М.Vetoshkin A.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/303

В данной работе рассматриваются многочлены от двух проекторов, которые при любом выборе этих проекторов имеют значением невырожденную матрицу. Результаты работы ‘I“ о блочно-треугольной форме пары проекторов, применяются для вывода уравнений, которым удовлетворяют коэффициенты всегда невырожденных многочленов. Из уравнений получен основной результат " всегда невырожденный многочлен раскладывается в произведение специальных многочленовF Специальный многочлен от проекторов P, Q это или линейный бином " I + αP, I + βQD или многочлен вроде такого " I + x1(PQP − PQ) + x2(PQPQP − PQPQ) + ... F ДоказываетсяD что специальные многочлены неприводимы. Оказывается линейные биномы можно переставлять с некоторыми другими специальными многочленами. Если в произведении специальных многочленов переставить линейные биномы максимально влево, то будет получен вид произведения специальных многочленов, называемый стандартным. Доказано, что стандартная форма произведения специальных многочленов единственна. Полученные результаты позволили получить описание строения всех многочленов от двух проекторов, которые при любом выборе этих проекторов являются нильпотентными матрицами (нильпотентный многочлен) F Аналогичные результаты получены для инволютивныx многочленов и многочленов-проекторов.

This paper discusses the polynomials of two projectors that with any selection of these projectors have the value of the nonsingular matrix. Results of work [1] about block-triangular form pair of projectors apply to deduce equations, that the coecients of always nonsingular polynomials satisfy to. From the equations is obtained the main result, namely always nonsigular polynomial can be decomposed into a product of special polynomials. Special polynomial of two projectors P; Q is a linear binomial I + P; I + Q, or a polynomial like this I + x1(PQP  PQ) + x2(PQPQP  PQPQ) + ::: . It is proved that special polynomials are irreducible. It turns out that linear binomials can be rearranged with some other special polynomials. If in a product of special polynomials the linear binomials are rearranged as much as possible to the left, you will get a product of special polynomials, called standard. It is proved that the standard form of product by special polynomials is unigue. The obtained results have provided a description of the structure of all polynomials of two projectors that with any selection of these projectors are nilpotent matrices (nilpotent polynomials). Similar results were obtained for the involute polynomials and polynomialsprojectors.

проектормногочленвсегда невырожденный многочленподобиеблочно-треугольная форма пары проекторовprojectorpolynomialalways nonsingular polynomialsimilarityblock-triangular form pair of projectorsReferencesИкрамов Х. Д. Об одновременной приводимости к блочно-треугольному виду пар косых проекторов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 2. С. 181-182.Kh. D. Ikramov. 1998, "On simultaneous reduction of a pair of oblique projectors to block triangular form", Comput. Math. Math. Phys. 38 (2), pp. 173-174.Икрамов Х. Д. Одновременное приведение к блочно-треугольному виду и теоремы о парах комплексных идемпотент // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 6. С. 979-982.Kh. D. Ikramov. 2011, "Simultaneous reduction to block triangular form and theorems on pairs of complex idempotents", Comput. Math. Math. Phys. 51 (6), pp. 915-918.Ветошкин А. М. Свойства многочленов от двух проекторов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 2. с. 189-192.Vetoshkin A. M., 2015, "Property of polinimials in two proectors", Comput. Math. Math. Phys. 55 (2), pp. 179-182.Джордж А., Икрамов Х. Д. Замечание о канонической форме пары ортопроекторов // Зап. науч. семинаров ПОМИ, 2004.George and Kh. D. Ikramov. 2006, "A note on the canonical form for a pair of orthoprojectors", J. Math. Sci. 132 (2), pp. 153-155.Икрамов Х. Д. О канонической форме проекторов относительно унитарного подобия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 3. С. 3–5.Ikramov Kh. D. 1996, “A canonical form for projectors under unitary similarity”, Comput. Math. Math. Phys. 36 (3), pp. 279–281.Икрамов Х. Д. Каноническая форма как средство доказательства свойств проекторов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 9. С. 1285–1290.Ikramov Kh. D. 2000, “The canonical form as a tool for proving the properties of projectors”, Comput. Math. Math. Phys. 40 (9), pp. 1233–1238.Икрамов Х. Д. Квазидиагонализуемость косых проекторов как частный случай некоммутативной спектральной теоремы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 8. С. 1123–1130.Ikramov Kh. D. 2000, “The quasidiagonalizability of oblique projectors as a particular case of the noncommutative spectral theorem”, Comput. Math. Math. Phys. 40 (8) pp. 1077–1084.Икрамов Х. Д. Канонические формы проекторов относительно унитарного подобия и их приложения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 9. С. 1534–1539.Ikramov Kh. D. 2004, “Canonical forms of projectors with respect to unitary similarity and their applications”, Comput. Math. Math. Phys. 44 (9), pp. 1456–1461.Djokovic D. Z. “Unitary similarity of projectors”, Aequationes Mathematicae, 42, 220-224 (1991).Djokovic D. Z. 1991, “Unitary similarity of projectors”, Aequationes Mathematicae, 42, pp. 220-224.Bottcher A., Spitkovsky I. M. “A gentle guide to the basics of two projections theory”, Linear Algebra Appl. 432, 1412–1459 (2010).Bottcher A., Spitkovsky I. M. 2010, “A gentle guide to the basics of two projections theory”, Linear Algebra Appl. 432, pp. 1412–1459.Roch S., Silbermann B. “Algebras generated by idempotents and the symbol calculus for singular integral operators“, Integral Equat. Operator Theory. 11, 385–419 (1988).Roch S., Silbermann B. 1988, “Algebras generated by idempotents and the symbol calculus for singular integral operators“, Integral Equat. Operator Theory. 11, pp. 385–419.Gohberg I., Krupnik N. Extension theorems for Fredholm and invertibility symbols // Integral Equat. Operator Theory. 16, 514–529 (1993).Gohberg I., Krupnik N. 1993, Extension theorems for Fredholm and invertibility symbols, Integral Equat. Operator Theory. 16, pp. 514–529.Альпин Ю. А., Икрамов Х. Д. Об унитарном подобии алгебр, порождаемых парами ортопроекторов // Численные методы и вопросы организации вычислений. XVIII, Зап. научн. сем. ПОМИ, 323, ПОМИ, СПб., 2005, 5–14.Alpin Yu. A., Ikramov Kh. D. 2006, “Unitary similarity of algebras generated by pairs of orthoprojectors”, J. Math. Sci. (N. Y. ), 137(3), pp. 4763–4768.Spitkovsky I. M. “Once more on algebras generated by two projections”, Linear Algebra Appl. 208, 377-395 (1994).Spitkovsky I. M. 1994, “Once more on algebras generated by two projections”, Linear Algebra Appl. 208, pp. 377-395.Spitkovsky I. M. “On polinomials in two projections”, Electronic Journal of Linear Algebra15, 154-158 (2006).Spitkovsky I. M. 2006, “On polinomials in two projections”, Electronic Journal of Linear Algebra15, pp. 154-158.Ветошкин А. М. Матричные многочлены от переменных проекторов, которые сами являются проекторами // Автоматизация и компьютеризация информационной техники и технологии. Научн. тр. Вып. 341. М. : ГОУ ВПО МГУЛ, 2008. С. 69–78.M. Vetoshkin. 2008, “Matrix polynomials in variable projectors that are projectors themselves”, in Automation and Computerization of Data Processing Techniques and Technologies (Mosk. Gos. Univ. Lesa, Moscow, 2008), Vol. 341, pp. 69–78.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.