В данной работе рассмотрено обобщение некоторых методов, позволяющих получать оценки меры иррациональности чисел вида γd =√d ln√√d+1d−1при d = 2k,d = 4k + 1,k ∈ N, и приведен обзор известных на данный момент результатов. Мера иррациональности различных значений гипергеометрической функции Гаусса, в частности 2F 1,12,32;1d=√d ln√d + 1√d − 1, оценивалась неоднократно. Первые подобные оценки для отдельных значений были получены в работах Д. Рина [1], М.Хуттнера [2], А.К. Дубицкаса [3]. Позднее К. Ваананеном, А. Хеймоненом и Т. Матала-Ахо в [4] был предложен общий метод, позволяющий строить оценки показателя иррациональности значений гипергеометрической функции F1,1k,1 +1k;rs,k ∈ N,k 2, r s∈ Q, (r, s) = 1, rs∈ (−1, 1). Данный метод использовал полиномы Якоби для построения рациональных приближений функции Гаусса. В работе [4] было получено много конкретных результатов. Некоторые из них не улучшены до сих пор, но для отдельных классов значений гипергеометрической функции в дальнейшем были разработаны специализированные методы, позволившие уменьшить оценки. Так в трудах [5], [6] авторами, работавшими под руководством В.Х. Салихова. были усилены результаты о показателях иррациональности некоторых значений вида γd. В основе доказательств лежало использование симметризованных интегралов. Следует отметить, что вещественные или комплексные симметризованные интегралы в последнее время широко применяются для оценки показателей иррациональности. С помощью таких интегралов были получены новые оценки для ln 2 (см [7]),ln 3D ln π (см [8], [9]) и других чисел. Проведем исследование и сравнение некоторых из таких симметризованных конструкций, позволивших ранее улучшить оценки мер иррациональности для конкретных значений γd.
In the present paper we will consider the generalization of some methods for evaluation of irrationality measures for yd = pd lnppd+1 d1 and currently known results overview. The extent of irrationality for various values of Gauss hypergeometric function were estimated repeatedly, in particular for 2F(1; 1 2 ; 3 2 ; 1 d ) = p d ln p pd+1 d1 : The rst such estimates in some special cases were obtained by D. Rhinn [1], M. Huttner [2], D. Dubitskas [3]. Afterward by K. Vaananen, A. Heimonen and D. Matala-Aho [4] was elaborated the general method, which one made it possible to get upper bounds for irrationality measures of the Gauss hypergeometricfunction values F(1; 1k ; 1 + 1k ; rs ); k 2 N; k > 2; rs 2 Q; (r; s) = 1; r s 2 (1; 1): This method used the Jacobi type polynomials to construct rational approach to the hypergeometric function. In [4] have been obtained many certain estimates, and some of them have not been improved till now. But for the special classes of the values of hypergeometric function later were elaborated especial methods, which allowed to get better evaluations. In the papers [5], [6] authors, worked under supervision of V.Kh.Salikhov, obtained better estimates for the extent of irrationality for some specic values d: In the basis of proofs for that results were lying symmetrized integral constructions. It should be remarked, that lately symmetrized integrals uses very broadly for researching of irrationality measures. By using such integrals were obtained new estimates for ln 2( [7]),ln 3; ln , ( [8], [9]) and other values. Here we present research and compare some of such symmetrized constructions, which earlier allowed to improve upper bounds of irrationality measure for specic values of yd.