chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-1-23-26cheb-3Research ArticleСтатьиArticleОБ ОЦЕНКЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ДИСКРИМИНАНТА НА ЕДИНИЧНОЙ ПРЯМОЙESTIMATE OF THE ZETA-FUNCTIONS OF QUADRATIC FORMS NEGATIVE DISCRIMINANT ON THE UNIT LINEАвдеевИ. Ф.AvdeevI. F.

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математических и компьютерных методов анализа экономических процессов, Орловский государственный университет имени И. С. Тургенева

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, assistant professor of mathematical and computer methods for the analysis of economic processes, Oryol State University named after IS Turgenev

ivan_avd@mail.ruОрловский государственный университет имени И. С. ТургеневаRussian Federation2016290420161712326Copyright © Авдеев И.Ф., 20162016Авдеев И.Ф.Avdeev I.F.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/3

Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел. Важную роль среди этих направлений играют теоремы о плотности распределения нулей дзетафункции Римана в критической полосе. В течении последних десятилетий этой теме посвящено большое количество научных статей. Она неоднократно затрагивалась в научных монографиях и специальных учебниках, посвященных различным вопросам аналитической теории чисел. Исследования поведения дзета-функции Римана ζ(s) в критической полосе существенным образом опираются на ее приближения отрезком ряда Дирихле.

Основным результатом данной работы является применение метода Виноградова для оценки ζ(s, k)-дзета-функции квадратичной формы K растущего отрицательного дискриминанта (−d). Непосредственному применение метода Виноградова для оценки ζ(s, k)- дзета-функции квадратичной формы K растущего отрицательного дискриминанта (−d) препятствует отсутствие подходящего для этих целей приближенного функционального уравнения. Обычно члены такого уравнения включают в себя сомножитель, являющийся значением характера группы классов дивизоров поля Q(√ −d) для положительно определенных квадратичных форм дискриминанта (−d). Данное обстоятельство является основным препятствием для эффективного применения метода тригонометрических сумм. С. М. Воронин в своей работе [1] получено приближенное функциональное уравнение для ζ(s,K), главный член которого представляет начальный отрезок ряда Дирихле этой функции, члены которого не «скручены» ни с каким характером. Это дает возможность сведения вопроса о его оценке к оценке двойной дзетовой суммы. Доказательство проводится путем приближения дзета-функции квадратичной формы отрезком ряда Дирихле. Так же в статье описана истории вопроса поведения дзета-функции Римана ζ(s) в критической полосе. Выделены основные результаты, актуальные на сегодняшний день, показаны приложения найденных результатов.

Research on the theory of the Riemann zeta function are carried out with great intensity that’s been going on for one and a half centuries, and some parts of the theory became independent scientific directions of modern analytic number theory. An important role among these areas play a theorem about the zeros of the density distribution of the Riemann zeta function in the critical strip. During the last decades, the topic in a large number of scientific articles. She repeatedly touched in scientific monographs and special books on various issues of analytic number theory. Studies of the behavior of the Riemann zeta function ζ(s) in the critical strip essentially based on its proximity segment of the Dirichlet series. The main result of this work is using of the Vinogradov’s method for estimation of ζ(s, k)-Zeta function of the quadratic form K and the growing negative discriminant (−d). In the article is given the use of Vinogradov’s method for estimating ζ(s, k)-Zeta function of the quadratic form K and the growing negative discriminant (−d). Application Vinogradov method for estimating ζ(s, k)-Zeta function of the quadratic form K and the growing negative discriminant (−d). is difficult due to lack of suitable for the purpose of the approximate functional equation. Typically, members of this equation include the factor, which is the value of the character group of divisor classes of the field Q(√ −d) for positive definite quadratic forms of discriminant (−d). This fact is the main obstacle to the effective application of the method of trigonometric sums. C. M. Voronin in his work [1] an approximate functional equation for ζ(s, k) principal term of which represent the initial segment of the Dirichlet series of functions, which are not members of the «twisted» with any character. This allows reducing the question about his assessment to the assessment of the amount of double dzetovoy. The proof is carried out by bringing the zeta-functions of quadratic forms a segment of a Dirichlet series. Also in the article describes the history of the problem behavior of the Riemann zeta function ζ(s) in the critical strip. The basic results of relevance today, shows the application results found.

дзета-функции Риманаприближенное функциональное уравнение Харди-Литтлвудаквадратичная формаряд ДирихлеRiemann zeta-functionapproximate functional equation of Hardy–Littlewoodquadratic formthe Dirichlet’s seriesReferencesВоронин, С. М. О нулях дзета-функций квадратичных форм // Докл. АН СССР, 1977. Вып. 235, №2. — С. 257–258.Voronin, S. M., 1977, «About the zeros of the zeta-functions of quadratic forms», Dokl. USSR Academy of Sciences., vol. 235, no. 2, pp. 257–258.Виноградов, И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.Vinogradov, I. M., 1981, «Fundamentals of the theory of numbers» М.: Science.Карацуба, А. А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука. 2-е изд. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 240 с.Karatsuba, А. А., 1983, «Fundamentals of analytic number theory» М.: Science., 240 p.Архипов, Г. И., Садовничий, В. А., Чубариков, В. Н. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов. — 4-ое изд., М.: Дрофа, 2004. — 640 с.Arkhipov, G. I., Sadovnichy, V. A., Chubarikov, V. N., 2004, «Lectures on mathematical analysis: Textbook for high schools», 4th ed., М.: Drofa, 640 p.Авдеев, И. Ф. Приближение дзета-функции квадратичной формы отрицательного дискриминанта // Чебышевский сборник, 2013. Том 14. Вып. 4(48). — С. 7–13.Avdeev, I. F, 2013, «Approximation zeta-functions of quadratic forms of negative discriminant», Chebyshev’s collection, Tula, vol. 14, release 4(48), pp. 7–13.Авдеев, И. Ф. О некоторых формулах суммирования // Чебышевский сборник, 2011. Том 12. Выпуск 4(40). — С. 24–32.Avdeev, I. F., 2011, «Some formulas of summation», Chebyshev’s collection, Tula, vol. 12, release 4(40), pp. 24–32.7. Авдеев, Ф. С., Авдеев, И. Ф. Асимптотическое разложение остаточного члена в приближенном функциональном уравнении для дзета-функции Римана // Ученые записки Орловского государственного университета. Серия Естественные науки. — Орел, 2012. №3(47). — С.6–14.Avdeev, F. S., Avdeev, I. F., 2012 «The asymptotic expansion of the remainder member in the approximate functional equation for the Riemann zeta function», Scientific notes of Orel State University. Series «Science», Orel, no. 3(47), pp. 6–14.Авдеев И. Ф. Об оценке остаточного члена в приближенном функциональном уравнении Харди–Литтлвуда для дзета-функции Римана // Ученые записки Орловского государственного университета. Серия Естественные науки. — Орел, 2012. №3(47). — С. 15–19.Avdeev, I. F., 2012, «Estimation of the remainder in the approximate function Hardy-Littlewood equation for the Riemann zeta function», Scientific notes of Orel State University. Series «Science», Orel, no. 3(47), pp. 15–19.Hardy, G. H., Littlewood, J. E. The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line, Math. Zs., 1921. №10. pp. 283–317.Hardy, G. H., Littlewood, J. E.1921 «The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line», Math. Zs, 10 283–317.Титчмарш, Е. К. Теория дзета-функции Римана. Изд. иностр. лит, 1953. — М.: с. 409Titchmarsh, Е. C., 1951, «The Theory of the Riemann Zeta-Function», Oxford University Press, p. 409.Архипов, Г. И. Избранные труды // Под ред. В. Н. Чубарикова. — Орел: изд-во Орловского государственного университета, 2013. — 464 с.Arkhipov, G. I.2013 «Selected works» /Ed. V. N. Chubarikov, Orel: Publishing House Oryol State University, 464 p.Ingham, A. E. On the difference between consecutive primes, Quart. J. Math, 1937. №8. pp. 255– 266.Ingham, A. E., 1937 «On the difference between consecutive primes», Quart. J. Math, 8, pp. 255–266.Ingham A. E. On the estimation of N(σ, T), Quart. J. Math, 1940. №11, pp. 291–292.Ingham A. E., 1940 «On the estimation of N(σ, T)», Quart. J. Math, 11, pp. 291–292.Ivi´c, A. The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. University of Belgrade, Yugoslavia, 1985.Ivi´c, A., 1985 «The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications». University of Belgrade, Yugoslavia.Архипов, Г. И., Карацуба, А. А., Чубариков, В. Н. Кратные тригонометрические суммы, Тр. МИАН СССР, 1980. Том 151, 3–128Arkhipov, G. I., Karatsuba, А. А., Chubarikov, V. N., 1980, «Multiple trigonometric sums», Tr. Steklov, 151, 3–128.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.