кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и информатизации образования
candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, Department of Computer Science and Informatization of Education
Понятие конгруэнции Риса первоначально было введено для полугрупп. Р. Тихи обобщил его на произвольные универсальные алгебры. Обозначим через △ нулевую конгруэнцию алгебры A. Конгруэнция Qалгебры A, представляющаяся как Q= B2 ∪ △ для некоторой подалгебры Bалгебры A, называется конгруэнцией Риса. Подалгебра Bалгебры Aназывается подалгеброй Риса, если B2 ∪△ есть конгруэнция алгебры A. Алгебра A называется алгеброй Риса, если любая ее подалгебра является подалгеброй Риса. В работе вводятся понятия рисовски простой алгебры и конгруэнц-алгебры Риса. Неодноэлементная универсальная алгебра называется рисовски простой, если любая ее конгруэнция Риса является тривиальной. Конгруэнц-алгеброй Риса называется алгебра, в которой любая конгруэнция является конгруэнцией Риса. Алгеброй с операторами называется универсальная алгебра с дополнительной системой операторов — унарных операций, действующих как эндоморфизмы относительно основных операций. Получены некоторые условия, при которых алгебра с одним оператором и произвольной основной сигнатурой является алгеброй Риса. Для алгебр из этого же класса найдено необходимое условие, при котором они являются конгруэнц-алгебрами Риса. Получено необходимое условие рисовской простоты для произвольной алгебры с оператором, унарный редукт которой является связным унаром с неподвижным элементом, не содержащим узловых элементов, кроме, может быть, неподвижного. Операцией почти единогласия называется n-арная операция (n> 3), удовлетворяющая тождествам (х, . . . , x, y) = (x, . . . , x, y, x) = . . . = (y, x, . . . , x) = x. В тернарном случае qназывается операцией большинства. Полностью описаны алгебры Риса и конгруэнц-алгебры Риса в классе алгебр с одним оператором и основной операцией почти единогласия g(n), заданной следующим образом: g(3) (x1, x2, x3) = m(x1, x2, x3) и q(n)(x1, x2, . . . , xn) = m(g(n−1)(x1, x2, . . . , xn−1), xn−1, xn) для n > 3. Через m(x1, x2, x3) здесь обозначается операция большинства, заданная автором на произвольном унаре в соответствии с подходом, предложенным В.К. Карташовым, и перестановочная с унарной.
The concept of Rees congruence was originally introduced for semigroups. R. Tichy generalized this concept to universal algebras. Let Abe an universal algebra. Denote by △ the identity relation on A. Any congruence of the form B2 ∪△ on Afor some subalgebra Bof Ais called a Rees congruence. Subalgebra Bof Ais called a Rees subalgebra whenever B2 ∪△ is a congruence on A. An algebra Ais called a Rees algebra if its every subalgebra is a Rees one. In this paper we introduce concepts of Rees simple algebra and Rees congruence algebra. A non-one-element universal algebra Ais called Rees simple algebra if any Rees congruence on A is trivial. An universal algebra Ais called Rees congruence algebra if any congruence on Ais Rees congruence. Universal algebra is called an algebra with operators if it has an additional set of unary operations acting as endomorphisms with respect to basic operations. For algebras with one operator and an arbitrary basic signature some conditions to be Rees algebra are obtained. Necessary condition under which algebra of the same class is Rees congruence algebra is given. For algebras with one operator and a connected unary reduct that has a loop element and does not contain the nodal elements, except, perhaps, the loop element necessary condition for their Rees simplicity are obtained. A n-ary operation (n> 3) is called near-unanimity operation if it satisfies the identities (x, . . . , x, y) = (x, . . . , x, y, x) = . . . = (y, x, . . . , x) = x. If n= 3 then operation is called a majority operation. Rees algebras and Rees congruence algebras of class algebras with one operator and basic near-unanimity operation g(n)which defined as follows g(3)(x1, x2, x3) = m(x1, x2, x3), g(n)(x1, x2, . . . , xn) = m(g(n−1)(x1, x2, . . . , xn−1), xn−1, xn) (n > 3) are fully described. Under m(x1, x2, x3) we mean here a majority operation which permutable with unary operation and which was defined by the author on arbitrary unar according to the approach offered by V.K. Kartashov.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.