(г. Новочеркасск)
В работе доказана полнота списка замкнутых выпуклых многогранников в E3, сильно симметричных относительно вращения граней. Многогранник называется симметричным, если он имеет хотя бы одну нетривиальную ось вращения. Все оси пересекаются в одной точке, которая называется центром многогранника. Все рассматриваемые в работе многогранники являются симметричными многогранниками. Выпуклый многогранник называется сильно симметричным относительно вращения граней, если у каждой его грани Fимеется ось вращения L, пересекающая относительную внутренность F, и Lявляется осью вращения многогранника. Очевидно, что порядок оси вращения Lне обязательно совпадает с порядком этой оси, если грань Fрассматривать как фигуру, отделённую от многогранника. Ранее автором было доказано, что требование глобальной симметрии многогранника относительно осей вращения граней можно заменить более слабым условием симметрии звезды каждой грани многогранника: для того, чтобы многогранник был сильно симметричным относительно вращения граней, необходимо и достаточно, чтобы некоторая нетривиальная ось вращения каждой грани, рассматриваемой как фигура, отделённая от многогранника, являлась осью вращения звезды этой грани. Под звездой грани Fпонимается сама грань и все грани, имеющие хотя бы одну общую вершину с F. Учитывая это условие, определение многогранника сильно симметричного относительно вращения граней эквивалентно следующему: многогранник называется сильно симметричным относительно вращения граней, если некоторая нетривиальная ось вращения каждой грани, рассматриваемой как фигура, отделённая от многогранника, является осью вращения звезды этой грани. При доказательстве основной теоремы о полноте списка многогранников рассматриваемого класса используется результат о полном перечислении так называемых сильно симметричных многогранников 1-го и 2-го класса из [
We prove the completeness of the list of closed convex polyhedra in E3, that are strongly symmetric with respect to the rotation of the faces . Polyhedron is called symmetric if it has at least one non-trivial rotation axis. All axes intersect at a single point called the center of the polyhedron. All considered polyhedra are polyhedra with the center. A convex polyhedron is called a strongly symmetrical with respect to the rotation of the faces, if each of its faces Fhas an rotation axis L, intersects the relative interior of F, and Lis the rotation axis of the polyhedron. It is obvious that the order of rotation axis of Ldoes not necessarily coincide with the order of this axis, if the face of Fregarded as a figure separated from the polyhedron. It has previously been shown, that the requirement of global symmetry of the polyhedron faces the rotation axis can be replaced by the weaker condition of symmetry of the star of each face of the polyhedron: to polyhedron was symmetrical with respect to the rotation of the faces, it is necessary and sufficient that some nontrivial rotation axis of each face, regarded as a figure separated from the polyhedron, is the rotation axis of the star of face. Under the star of face Fis understood face itself and all faces have at least one common vertex with F. Given this condition, the definition of the polyhedron strongly symmetric with respect to the rotation of the faces is equivalent to the following: the polyhedron is called a strongly symmetrical with respect to the rotation of the faces , if some non-trivial rotation axis of each face, regarded as a figure separated from the polyhedron, is the rotation axis of the star of face. In the proof of the main theorem on the completeness of the list of this class of polyhedra using the result of the complete listing of the so- called polyhedra of 1st and 2nd class [
The authors declare that there are no conflicts of interest present.