chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-4-124-131cheb-290Research ArticleСтатьиArticleАППРОКСИМАЦИОННЫЙ ПОДХОД В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ РЯДОВ ДИРИХЛЕ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИAPPROXIMATION APPROACH IN CERTAIN PROBLEMS OF THE THEORY OF DIRICLET SERIES WITH MULTIPLICATIVE COEFFICIENTSКузнецовВ. Н.KuznetsovV. N.

д.т.н., профессор, зав. кафедрой компьютерной алгебры и теории чисел

Dr. of techical science, Professor, Head of Department of Computer Algebra and Number Theory

KuznetsovVN@info.sgu.ruМатвееваО. А.MatveevaO. A.

к.ф.-м.н., ассистент кафедры компьютерной алгебры и теории чисел 

Ph.d. in Physical Mathematical Sciences, assistant at Department of Computer Algebra and Number Theory

olga.matveeva.0@gmail.comСаратовский государственный университет им. Н. Г. ЧернышевскогоРоссияSaratov State UniversityRussian Federation201615062017174124131Copyright © Кузнецов В.Н., Матвеева О.А., 20172017Кузнецов В.Н., Матвеева О.А.Kuznetsov V.N., Matveeva O.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/290

Рассматривается класс рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами, которые определяют функции, регулярные в правой полуплоскости комплексной плоскости, и для которых существует последовательность полиномов Дирихле, равномерно сходящаяся к таким функциям в любом прямоугольнике, лежащем в критической полосе. Такие полиномы Дирихле получили в работе название аппроксимационных полиномов Дирихле. Изучаются свойства аппроксимационных полиномов, в частности, для рядов Дирихле, коэффициенты которых определяются неглавными обобщенными характерами, то есть конечнозначными числовыми характерами, отличными от нуля для почти всех простых чисел, сумматорная функция которых ограничена. Эти исследования представляют интерес в связи с задачей аналитического продолжения таких рядов Дирихле на комплексную плоскость, что, в свою очередь, связано с решением известной гипотезы Н. Г. Чудакова о том, что любой обобщенный характер является характером Дирихле.

In this paper we consider a class of Dirichlet series with multiplicative coefficients which define functions holomorphic in the right half of the complex plane, and for which there are sequences of Dirichlet polynomials that converge uniformly to these functions in any rectangle within the critical strip. We call such polynomials approximating Dirichlet polynomials. We study the properties of the approximating polynomials, in particular, for those Dirichlet series, whose coefficients are determined by nonprincipal generalized characters, i.e. finite-valued numerical characters which do not vanish on almost all prime numbers and whose summatory function is bounded. These developments are interesting in connection with the problem of the analytical continuation of such Dirichlet series to the entire complex plane, which in turn is tied with the solution of a well-known Chudakov hypothesis about every generalized character being a Dirichlet character.

ряд Дирихлесумматорная функция коэффициентовобобщенный характерхарактер Дирихлеаппроксимационные полиномыDirichlet seriessummatory function of coeffiecientsgeneralized characterDirichlet characterapproximating polynomialsReferencesКузнецов В. Н, Матвеева О. А. О граничном поведении одного класса рядов Дирихле // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2016, Т. 17, вып. 2, С. 162–169.Kuznetsov V. N., Matveeva O. A. "On the boundary behavior of a class of Dirichlet series"Chebyshevskij sbornik, Tula, publ TPGU, 2016, vol. 17, issue 2, pp. 162–169Кузнецов В. Н, Матвеева О. А. О граничном поведении одного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами// Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2016, Т. 17, вып. 3, С. 115–124.Kuznetsov V. N., Matveeva O. A. "On the boundary behavior of a class of Dirichlet series with multiplicative coefficients"Chebyshevskij sbornik, Tula, publ TPGU, 2016, vol. 17, issue 3, pp. 115–124Чудаков Н. Г., Линник Ю. В. Об одном классе вполне мультипликативных функций. — ДАН СССР, 1950, Т. 74, №2, С. 133–136.Chudakov N. G., Linnik U. V. "On a class of completely multiplicative functions"DAN SSSR, 1950, vol.74, issue 2, pp. 133–136.Чудаков Н. Г., Родосский К. А. Об обобщенном характере. — ДАН СССР, 1950, Т. 74, №4, С. 1137–1138.Chudakov N. G., Rodosskij K. A. "On a generalized character"DAN SSSR, 1950, vol.74, issue 4, pp. 1137–1138.Чудаков Н. Г., Бредихин Б. М. Применение равенства Парсеваля для оценок сумматорных функций характеров числовых полугрупп. — УМН., 1956, Т. 9, №2, С. 347–360.Chudakov N. G., Bredichin B. M. "Usage of Parseval’s equation for estimating summation functions of characters of numerical semigroups"UMN., 1956, vol.9, issue 2, pp. 347–360.Матвеев В. А., Матвеева О. А. О поведении в критической полосе рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами и с ограниченной сумматорной функцией// Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2012, Т. 13, вып. 2, С. 106–116.Matveev V. A., Matveeva O. A. "On a behavior of the Dirichlet series with finitely valued coefficients and bounded summatory function in the critical strip"Chebyshevskij sbornik, Tula, publ TPGU, 2016, vol. 13, issue 2, pp. 106–116Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел — М.: Наука, 1983.Karatsuba A. A. "Basics of anaytic number theory". "Nauka Moscow, 1983Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана . — М.: И. Л., 1953.Titchmarsh E. K., "Riemann zets-function theory "I.L. Moscow, 1953Глазков В. В. Характеры мультипликативной полугруппы натуральных чисел // Исследования по теории чисел: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов: Изд-во СГУ, 1968, Т. 2, С. 3–40.Glazkov V. V. "Issledovanija po teorii chisel: Mezhvuz. sb. nauch. tr., publ. SSU, 1968, vol. 2, pp. 3–40Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки, 1984, Т. 36, №6, С. 805–812.Kuznetsov V. N."Analogue of the Szego theorem for a class of Dirichlet series"Math. issues, 1984, vol. 36, № 16, pp. 805–812Кузнецов В. Н., Матвеева О. А. Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами// Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2010, Т. 11, вып. 1, С. 188–198.Kuznetsov V. N., Matveeva O. A. "Extended Riemann Hypothesis and zeros of functions defined by Dirichlet series with periodic coefficients"Chebyshevskij sbornik, Tula, publ TPGU, 2010, vol. 11, issue 1, pp. 188–198Коротков А. Е., Матвеева О. А. Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами// Научные ведомости Белгородского государственного университета — Белгород: изд-во БелГУ, 2011, вып. 24, С. 47–54.Korotkov A. E., Matveeva O. A. "On a numerical algorithm for determining zeros of entire functions defined by Dirichlet series with periodic coefficients"Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta, Belgorod, publ BelGU, 2011, issue 24, pp. 47–54Матвеева О. А. Аппроксимационные полиномы и поведение L-функций Дирихле в критической полосе // Известия Саратовского ун-та. Серия «Математика. Механика. Информатика» — Саратов: изд-во Саратовского ун-та, 2013. Т. 13, вып. 4, С. 80–84.Matveeva O. A. "Approximation polynomials and the behavior of the Dirichlet L-functions on the critical band"Izvestiia Saratovskogo un-ta. Seriia «Matematika. Informatika. Mekhanika.», 2013, vol. 13, issue 4, pp. 80–84Матвеева О. А. О нулях полиномов Дирихле, аппроксимирующих в критической полосе L-функции Дирихле // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2013, Т. 14, вып. 2, С. 117–121.Matveeva O. A. "On the zeros of Dirichlet polynomials that approximate Dirichlet L-functions in the critical band "Chebyshevskij sbornik, Tula, publ TPGU, 2013, vol. 14, issue 2, pp. 117–121Матвеева О. А. Почти периодические функции и плотностные теоремы для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами// Материалы XII Международной коференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения— Тула, 2014, С. 238–239.Matveeva O. A. "Almost periodic functions and density theorems for Dirichlet series with periodic coefficients "Materialy ХII Mezhdunarodnoj koferencii "Algebra i teorija chisel: sovremennye problemy i prilozhenija", Tula, 2014, pp. 238–239

The authors declare that there are no conflicts of interest present.