chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-4-110-123cheb-289Research ArticleСтатьиArticleОГРАНИЧЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ И ВОПРОСЫ СХОДИМОСТИ МЕТОДА БУБНОВА–ГАЛЁРКИНА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕКLIMITED OPERATOR SEMIGROUPS AND ISSUES OF THE CONVERGENCE OF THE BUBNOV–GALERKIN METHOD FOR ONE CLASS OF SHALLOW SHELLS NONLINEAR EQUATIONSКузнецовВ. Н.KuznetsovV. N.

д.т.н., профессор, зав. кафедрой компьютерной алгебры и теории чисел 

Dr. of techical science, Professor, Head of Department of Computer Algebra and Number Theory

KuznetsovVN@info.sgu.ruКузнецоваТ. А.KuznetsovaT. A.

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной алгебры и теории чисел

mexmat_KA@info.sgu.ruБессоновЛ. В.BessonovL. V.

старший преподаватель кафедры математической теории упругости и биомеханики

lexx@sgu.ruСаратовский государственный университет им. Н. Г. ЧернышевскогоРоссияSaratov State UniversityRussian FederationСаратовский государственный университет имени Н. Г. ЧернышевскогоРоссияSaratov State UniversityRussian Federation201615062017174110123Copyright © Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Бессонов Л.В., 20172017Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Бессонов Л.В.Kuznetsov V.N., Kuznetsova T.A., Bessonov L.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/289

В работе рассматриваются вопросы, связанные со скоростью сходимости метода Бубнова–Галёркина при численном расчёте напряжённо-деформированного состояния геометрически нелинейных оболочек в динамическом случае. Для решения этих вопросов привлекается аппарат сильно непрерывных ограниченных полугрупп операторов. В теории краевых задач методы функциональных полугрупп операторов эффективно применяются с 60-х годов XX-века. Это работы Э. Хилля, Р. Филлипса, С. Г. Крейна, С. Мизохата и других авторов. Так, применяя аппарат сильно непрерывных полугрупп операторов, С. Г. Крейн в конце 60-х годов по-новому доказал теоремы существования и единственности решений линейных уравнений механики. В 2000 году В. Н. Кузнецов и Т. А. Кузнецова впервые применили аппарат ограниченных полугрупп операторов для исследования решений линейных уравнений пологих оболочек, что позволило решить задачу о гладкости решений систем линейных уравнений оболочек. В это же время В. Н. Кузнецов и Т. А. Кузнецова предложили так называемый метод линейной аппроксимации по отдельным параметрам, который позволил решить задачу о гладкости решения уже нелинейных уравнений пластин и оболочек. Это дало возможность определиться со скоростью сходимости метода Бубнова — Галёркина при численном решении нелинейных краевых задач для геометрически нелинейных оболочек в области устойчивости по параметрам. В данной работе приводится результат о скорости сходимости метода Бубнова–Галёркина в случае кусочно-гладкой границы нелинейной оболочки.

This paper discusses issues related to the rate of convergence of the Bubnov–Galerkin method in numerical calculation of stress-strain state of geometrically nonlinear shells in the dynamic case. To address these issues involved the unit strongly continuous semigroups of limited operators. Methods of functional semigroups of operators was applied effectively in the theory of boundary value problems since the 60s XX-th century. It should be noted author E. Hill, R. Phillips, S. G. Krein, S. Mizohata and others. So, using the methods of strongly continuous semigroups of operators S. G. Krein proved a new theorem on the existence and uniqueness of solutions of linear equations of mechanics in late 60s. In 2000, V. N. Kuznetsov and T. A. Kuznetsova first used the methods limited semigroups of operators to solution of linear equations of shallow shells, which solved the problem of smoothness of solutions of linear systems of equations of shells. At the same time V. N. Kuznetsov and T. A. Kuznetsova have developed a method called a linear approximation in separated parameters, which allow to solve the problem of smoothness of solutions of nonlinear equations of the theory of plates and shells. This made it possible to determine the speed of convergence of the Bubnov–Galerkin method the numerical solution of nonlinear boundary value problems for the geometrically nonlinear shells in the area of sustainability in the parameters. In this paper, we complete the proof of the result of the rate of convergence of the Bubnov–Galerkin method in the case of an arbitrary configuration shell borders.

ограниченные полугруппы операторовгеометрически нелиненые оболочкиметод линейной аппроксимации по отдельным параметрампорядок скорости сходимости метода Бубнова — Галёркинаlimited semigroupgeometrically nonlinear shellthe method of linear approximation on separated parametersthe order of convergence of the Bubnov — Galerkin method rate.ReferencesТерёхин А. П. Полгруппы операторов и смешанные свойства элементов банахова пространства, Мат. заметки, 16:1 (1974), С. 107–115Terekhin A. P. Polgruppy operatorov i smeshannye svoistva elementov banakhova prostranstva, Mat. zametki, 16:1 (1974), S. 107–115Кузнецова Т. А. Отыскание полгруппы операторов целого экспотенциального типа на заданных подпространствах : дис. . . . к-та физ.-мат. наук. Саратов, 1980. 82 с.Kuznetsova T. A. Otyskanie polgruppy operatorov tselogo ekspotentsial’nogo tipa na zadannykh podprostranstvakh : dis. . . . k-ta fiz.-mat. nauk. Saratov, 1980. 82 s.Соболев В. И. О собственных элементах некоторых нелинейных операторов // ДАН, 1941, т.31, С. 734–736.Sobolev V. I. O sobstvennykh elementakh nekotorykh nelineinykh operatorov // DAN, 1941, t.31, S. 734–736.Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М. : Издательство технико-теоретической литературы, 1967.Mikhlin S. G. Variatsionnye metody v matematicheskoi fizike. M. : Izdatel’stvo tekhnikoteoreticheskoi literatury, 1967.Кузнецов В. Н. Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций : дис. . . . д-ра техн. наук. Саратов, 2000.Kuznetsov V. N. Metod posledovatel’nogo vozmushcheniia parametrov v prilozhenii k raschetu dinamicheskoi ustoichivosti tonkostennykh obolochechnykh konstruktsii : dis. . . . d-ra tekhn. nauk. Saratov, 2000.Петров В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1975. 118 с.Petrov V. V. Metod posledovatel’nykh nagruzhenii v nelineinoi teorii plastin i obolochek. Saratov : Izd-vo Sarat. un-ta, 1975. 118 s.Кузнецов В. Н., Кузнецова Т. А., Чумакова С. В. Операторные методы в нелинейной динамике // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 1. С. 70–80.Kuznetsov V. N., Kuznetsova T. A., Chumakova S. V. Operatornye metody v nelineinoi dinamike // Issledovaniia po algebre, teorii chisel, funktsional’nomu analizu i smezhnym voprosam : mezhvuz. sb. nauch. tr. Saratov : Izd-vo Sarat. un-ta, 2003. Vyp. 1. S. 70–80.Кузнецов В. Н., Кузнецова Т. А., Чумакова С. В. и др. Операторный подход к задаче статической потери устойчивости оболочечных конструкций // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 1. С. 59–70.Kuznetsov V. N., Kuznetsova T. A., Chumakova S. V. i dr. Operatornyi podkhod k zadache staticheskoi poteri ustoichivosti obolochechnykh konstruktsii // Issledovaniia po algebre, teorii chisel, funktsional’nomu analizu i smezhnym voprosam : mezhvuz. sb. nauch. tr. Saratov : Izd-vo Sarat. un-ta, 2003. Vyp. 1. S. 59–70.Кузнецов Т. А., Баев К. А., Чумакова С. В. Метод фиктивных областей в теории оболочечных конструкций и его численная реализация // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 4. С. 55–59.Kuznetsov T. A., Baev K. A., Chumakova S. V. Metod fiktivnykh oblastei v teorii obolochechnykh konstruktsii i ego chislennaia realizatsiia // Issledovaniia po algebre, teorii chisel, funktsional’nomu analizu i smezhnym voprosam : mezhvuz. sb. nauch. tr. Saratov : Izd-vo Sarat. un-ta, 2007. Vyp. 4. S. 55–59.Кузнецов В. Н., Кузнецова Т. А., Чумакова С. В. О численной реализации метода последовательных нагружений при расчете геометрически нелинейных оболочек // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 6. С. 27–43.Kuznetsov V. N., Kuznetsova T. A., Chumakova S. V. O chislennoi realizatsii metoda posledovatel’nykh nagruzhenii pri raschete geometricheski nelineinykh obolochek // Issledovaniia po algebre, teorii chisel, funktsional’nomu analizu i smezhnym voprosam : mezhvuz. sb. nauch. tr. Saratov : Izd-vo Sarat. un-ta, 2010. Vyp. 6. S. 27–43.Лионс Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М. : Мир, 1972. 104 с.Lions Zh. L. Nekotorye metody resheniia nelineinykh kraevykh zadach. M. : Mir, 1972. 104 s.Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. М. : Наука, 1966. — 280 с.Mikhlin S. G. Chislennaia realizatsiia variatsionnykh metodov. M. : Nauka, 1966. — 280 s.Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. М. : Физматлит, 1962. — 710 с.Kantorovich L. V., Krylov V. I. Priblizhennye metody vysshego analiza. M. : Fizmatlit, 1962. — 710 s.Бессонов Л. В. Численная реализация алгоритма спектрального критерия локальной потери устойчивости оболочечной конструкции // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2012. Вып. 7. С. 3–9.Bessonov L. V. Chislennaia realizatsiia algoritma spektral’nogo kriteriia lokal’noi poteri ustoichivosti obolochechnoi konstruktsii // Issledovaniia po algebre, teorii chisel, funktsional’nomu analizu i smezhnym voprosam : mezhvuz. sb. nauch. tr. Saratov : Izd-vo Sarat. un-ta, 2012. Vyp. 7. S. 3–9.Бессонов Л. В. Геометрические параметры и точки локальной потери устойчивости цилиндрической оболочки//Студенческая наука: перекрёстки теории и практики. Материалы I Внутривузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов. Саратов. 2013. С. 20–23Bessonov L. V. Geometricheskie parametry i tochki lokal’noi poteri ustoichivosti tsilindricheskoi obolochki//Studencheskaia nauka: perekrestki teorii i praktiki. Materialy I Vnutrivuzovskoi nauchno-prakticheskoi konferentsii studentov i aspirantov. Saratov. 2013. S. 20–23Бессонов Л. В. Численная реализация метода последовательного возмущения параметров при расчете напряжённо-деформированного состояния оболочечной конструкции в случае жесткого закрепления краев оболочки // Изв. Сарат. ун-та Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т.15. вып.1. С. 74–79. DOI 10.18500/1816-9791-2015-15-1-74-79Bessonov L. V. Chislennaia realizatsiia metoda posledovatel’nogo vozmushcheniia parametrov pri raschete napriazhenno-deformirovannogo sostoianiia obolochechnoi konstruktsii v sluchae zhestkogo zakrepleniia kraev obolochki // Izv. Sarat. un-ta Nov. ser. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika. 2015. T.15. vyp.1. S. 74–79. DOI 10.18500/1816-9791-2015-15-1-74-79Бессонов Л. В. Об операторном подходе при расчёте напряжённо-деформированного состояния оболочечных конструкций // ХI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Казань. 2015. С. 467–469.Bessonov L. V. Ob operatornom podkhode pri raschete napriazhenno-deformirovannogo sostoianiia obolochechnykh konstruktsii // KhI Vserossiiskii s"ezd po fundamental’nym problemam teoreticheskoi i prikladnoi mekhaniki. Kazan’. 2015. S. 467–469.Бессонов Л. В. Численная реализация спектрального критерия определения точек локальной потери устойчивости оболочечной конструкции // Материалы XIX Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС’2015), Москва, 2015. С. 223–225.Bessonov L. V. Chislennaia realizatsiia spektral’nogo kriteriia opredeleniia tochek lokal’- noi poteri ustoichivosti obolochechnoi konstruktsii // Materialy XIX Mezhdunarodnoi konferentsii po vychislitel’noi mekhanike i sovremennym prikladnym programmnym sistemam (VMSPPS’2015), Moskva, 2015. S. 223–225.Bessonov L. V. Numerical Realization of The Method of Subsequent Parameters Perturbation for Calculating a Stress-Strain State of The Shell // Applied Mechanics and Materials. 2015. Т. 799–800. С. 656–659.Bessonov L. V. Numerical Realization of The Method of Subsequent Parameters Perturbation for Calculating a Stress-Strain State of The Shell // Applied Mechanics and Materials. 2015. T. 799–800. S. 656–659.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.