доктор физико-математических наук, профессор
аспирант
Гомологическая теория колец и модулей является одним из важных направлений алгебры. Она позволила ответить на многие вопросы теории колец. Наряду с этим и под большим влиянием теории колец стала развиваться гомологическая теория универсальных алгебр и, в частности, полугрупп и полигонов над ними. В этой теории исследуются понятия инъективного и проективного полигонов над полугруппами, понятия инъективной оболочки и проективного накрытия. Как и в случае колец и модулей, инъективная оболочка существует у всякого полигона, а проективное накрытие не у всякого. В 1967 году П. Бертьём доказал существование инъективных оболочек произвольного полигона над полугруппой (без предположения о наличии в полугруппе единицы). Моноиды (т.е. полугруппы с единицей), над которыми любой полигон имеет проективное накрытие, изучал Дж. Исбелл. Гомологическую теорию моноидов развивал Л. А. Скорняков. Многие результаты этой теории вошли в известную монографию М. Кильпа, У. Кнауэра и А. В. Михалёва. Для полугрупп сравнительно простого строения результаты гомологической теории могут быть существенно уточнены. Так, в 2012 году Г. Могаддаси описал инъективные полигоны и построил инъективные накрытия полигонов над полугруппой левых нулей в предположении сепарабельности полигона. И. Б. Кожухов и А. Р. Халиуллина описали инъективные и проективные полигоны над группами и полугруппами правых нулей, построили инъективные оболочки и проективные накрытия полигонов над этими полугруппами. Для полигонов над полугруппой левых нулей было снято условие сепарабельности полигонов. Важным классом полугрупп, включающим в себя группы, полугруппы левых и правых нулей, прямоугольные связки, является класс вполне простых полугрупп, а также ещё более широкий класс вполне 0-простых полугрупп. В 2000 году А. Ю. Авдеев и И. Б. Кожухов описали все полигоны над вполне простыми и полигоны с нулём над вполне 0-простыми полугруппами. Это дало возможность дальнейшего исследования полигонов над этими полугруппами. И. Б. Кожухов и А. О. Петриков описали инъективные и проективные полигоны над вполне простыми полугруппами, тем самым обобщив результаты работ И. Б. Кожухова и А. Р. Халиуллиной, а также работы Г. Могаддаси. Были построены также инъективные оболочки и проективные накрытия полигонов над этими полугруппами. В данной работе вышеупомянутые результаты о полигонах над вполне простыми полугруппами обобщаются на полигоны с нулём над вполне 0-простыми полугруппами. А именно, находятся необходимые и достаточные условия инъективности и проективности полигона с нулём над произвольной вполне 0-простой полугруппой, строятся инъективные оболочки и проективные накрытия произвольных полигонов с нулём над этими полугруппами. В частности, оказывается, что проективный полигон над произвольной вполне 0-простой полугруппой – это в точности 0-копроизведение свободного полигона и полигонов, изоморфных 0-минимальному правому идеалу полугруппы (рассматриваемому как правый полигон).
The homological theory of rings and modules is an important branch of algebra. It provided answers to numerous questions of the theory of rings. Along with the homological theory, another theory started to develop, also under significant influence of the theory of rings, which is the homological theory of universal algebras, and, in particular, of semigroups and acts over them. This theory analyses such notions as injective and projective acts over semigroups, injective hulls and projective covers. As in the case of rings and modules, the injective hull exists for every act, while the projective cover sometimes does not. In 1967 P. Berthiaume proved the existence of injective hulls of an arbitrary act over a semigroup (without the assumption of the presence of an identity in the semigroup). J. Isbell studied monoids (i.e. semigroups with an identity) over which every act has a projective cover. L. A. Skornyakov developed a homological theory of monoids. Many results of that theory were mentioned in the known monograph by M. Kilp, U. Knauer, A. V. Mikhalev. For semigroups of a relatively simple structure the results of the homological theory can be significantly refined. For example, in 2012 G. Moghaddasi described injective acts and built injective hulls of acts over a left zero semigroup assuming the separability of the act. I. B. Kozhukhov and A. P. Haliullina described injective and projective acts over groups and right zero semigroups, built injective hulls and projective covers of acts over such semigroups. For acts over a left zero semigroup the condition of separability of acts was removed. An important class of semigroups containing groups, left and right zero semigroups, rectangular bands is the class of completely simple semigroups, as well as the broader class of completely 0-simple semigroups. In 2000 A. Yu. Avdeyev and I. B. Kozhukhov described all acts over completely simple semigroups and acts with zero over completely 0-simple semigroups. It triggered further reasearch of acts over such semigroups. I. B. Kozhuhov and A. O. Petrikov described injective and projective acts over completely simple semigroups, thereby generalising the results of I. B. Kozhuhov and A. R. Khaliullina, and also the work of G. Mogaddasi. They built injective hulls and projective covers of acts over such semigroups. In this paper the above-mentioned results concerning acts over completely simple semigroups were generalized to acts with zero over completely 0-simple semigroups. In particular, the necessary and sufficient conditions of injectivity and projectivity of an act with zero over an arbitrary completely 0-simple semigroup were found, injective hulls and projective covers of arbitrary acts with zero over such semigroups were built. It was established that a projective act over an arbitrary completely 0-simple semigroup is exactly a 0-coproduct of a free act and acts isomorphic to a 0-minimal right ideal of the semigroup (considered as a right act).
The authors declare that there are no conflicts of interest present.