chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-4-57-64cheb-286Research ArticleСтатьиArticleСМЕШАННАЯ СОВМЕСТНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ДЛЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА И ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДЗЕТА-ФУНКЦИИЙ ГУРВИЦАTHE MIXED JOINT FUNCTIONAL INDEPENDENCE OF THE RIEMANN ZETA- AND PERIODIC HURWITZ ZETA-FUNCTIONSКачинскайтеР.Kaˇcinskait˙R.

доктор физических наук (математика), профессор, факультет технологии, физических и биомедицинских наук

doctor of Physical Sciences (Mathematics), professor, Department of Mathematics, Faculty of Technology, Physical and Biomedical Sciences

r.kacinskaite@fm.su.ltРапимбергайтеС.Rapimbergait˙eS.

магистр физических наук (математика), факультет технологии, физических и биомедицинских наук

master of Physical Sciences (Mathematics), Department of Mathematics, Faculty of Technology, Physical and Biomedical Sciences

violeta.rap@gmail.comШяуляйский университетЛитваSiauliai UniversityLithuania2016110620171745764Copyright © Качинскайте Р., Рапимбергайте С., 20172017Качинскайте Р., Рапимбергайте С.Kaˇcinskait˙ R., Rapimbergait˙e S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/286

Функциональная независимость дзета-функций является интересной проблемой современности и восходит к Д. Гилберту. В 1990, выступая с докладом на Международном конгресе математиков в Париже, он выдвинул гипотезу, что дзета-функция Римана не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению. Эта гипотеза была доказана А. Островским. В 1975 г. С.М. Воронин доказал функциональную независимость дзета-функции Римана. С тех пор многими авторами была получена функциональная независимость ряда дзета и L-функций. В настоячей статье получена совместная функциональная независимость дзета-функции Римана и периодических дзета-функциий Гурвица с параметрами, алгебраически независимыми над полем рациональных чисел. Такая функциональная независимость иногда называется смешанной, поскольку дзета-функция Римана имеет эйлеровое произведение по простым числам, а периодические дзета-функции Гурвица такого произведения не имеет.

The functional independence of zeta-functions is an interesting nowadays problem. This problem comes back to D. Hilbert. In 1900, at the International Congress of Mathematicians in Paris, he conjectured that the Riemman zeta-function does not satisfy any algebraicdifferential equation. This conjecture was solved by A. Ostrowski. In 1975, S.M. Voronin proved the functional independence of the Riemann zeta-function. After that many mathematicians obtained the functional independence of certain zeta- and L-functions. In the present paper, the joint functional independence of a collection consisting of the Riemann zeta-function and several periodic Hurwitz zeta-functions with parameters algebraically independent over the field of rational numbers is obtained. Such type of functional independence is called as “mixed functional independence” since the Riemann zeta-function has Euler product expansion over primes while the periodic Hurwitz zeta-functions do not have Euler product.

дзета-функция Риманадзета-функция Гурвицапериодические коэффициентыфункциональная независимостьуниверсальностьfunctional independenceHurwitz zeta-functionperiodic coefficientsRiemann zeta-functionuniversalityReferencesH¨older O. ¨Uber die Eigenschaft der Gamafunktion keiner algebraischen Differentialgleichung zu genugen // Math. Ann.. 1887. Vol. 28. P. 1–13.H‥older O., 1887, "‥Uber die Eigenschaft der Gamafunktion keiner algebraischen Differentialgleichung zu genugen" , Math. Ann., Vol. 28, pp. 1–13.Hilbert D. Mathematische Probleme // Nachr. Konigl. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl.. 1900. P. 253–297.Hilbert D., 1900, "Mathematische Probleme" , Nachr. Konigl. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl., pp. 253–297.Ostrowski A. ¨Uber Dirichletsche reihen und algebraische Differentialgleichungen // Math. Z.. 1920. Vol. 8. P. 241–298.Ostrowski A., 1920, "‥Uber Dirichletsche reihen und algebraische Differentialgleichungen" , Math. Z., Vol. 8, pp. 241–298.Postnikov A. G. On the differential independence of Dirichlet series // Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1949. Vol. 66, No. 4. P. 561–564 (in Russian).Postnikov A. G., 1949, "On the differential independence of Dirichlet series" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, Vol. 66, No. 4, pp. 561–564 (in Russian).Postnikov A. G. Generalization of one of Hilbert’s problems // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1956. Vol. 107, No. 4. P. 512–515 (in Russian).Postnikov A. G., 1956, "Generalization of one of Hilbert’s problems" , Dokl. Akad. Nauk SSSR, Vol. 107 No. 4, pp. 512–515 (in Russian).Voronin S. M. On the functional independence of Dirichlet L-functions // Acta Arith.. 1975. Vol. 27. P. 493–503 (in Russian).Voronin S. M., 1975, "On the functional independence of Dirichlet L-functions" , Acta Arith., Vol. 27, pp. 493–503 (in Russian).Laurinˇcikas A. Limit Theorems for the Riemann Zeta-Function. Kluwer, Dordrecht, 1996.Laurinˇcikas A., 1996, "Limit Theorems for the Riemann Zeta-Function" , Dordrecht: Kluwer.Steuding J. Value-Distribution of L-functions. Lecture Notes in Math. Vol. 1877. Springer Verlag, Berlin etc., 2007.Steuding J., 2007, "Value-Distribution of L-functions" , Lecture Notes in Math, Vol. 1877, Berlin etc.: Springer Verlag.Mishou H. The joint value-distribution of the Rieman zeta function and Hurwitz zeta functions // Lith. Math. J.. 2007. Vol. 47. P. 32–47.Mishou H., 2007, "The joint value-distribution of the Rieman zeta function and Hurwitz zeta functions" , Lith. Math. J., Vol. 47, pp. 32–47.Kaˇcinskait˙e R. & Laurinˇcikas A. The joint distribution of periodic zeta-functions // Stud. Scien. Math. Hungarica. 2011. Vol. 48, No. 2. P. 257–279.Kaˇcinskait˙e R. & Laurinˇcikas A., 2011, "The joint distribution of periodic zeta-functions" , Stud. Scien. Math. Hungarica, Vol. 48, No. 2, pp. 257–279.Riemann B. ‥Uber die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Gr‥osse // Monatsber. Preuss Akad. Wiss. Berlin. 1859. P. 671–680.Riemann B., 1859, "‥Uber die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Gr‥osse" , Monatsber. Preuss Akad. Wiss. Berlin, pp. 671–680.Javtokas A. & Laurinˇcikas A. On the periodic Hurwitz zeta-function // Hardy-Ramanujan J.. 2006. Vol. 29. P. 18–36.Javtokas A. & Laurinˇcikas A., 2006, "On the periodic Hurwitz zeta-function" , Hardy-Ramanujan J., Vol. 29, pp. 18–36.Laurinˇcikas A. Functional independence of periodic Hurwitz zeta functions // Math. Notes. 2008. Vol. 83, No. 1. P. 65–71 = Mat. Zametki. 2008. Vol. 83, No. 1. P. 69–78 (in Russian).Laurinˇcikas A., 2008, "Functional independence of periodic Hurwitz zeta functions" , Math. Notes, Vol. 83, No. 1, pp. 65–71 ≡ Mat. Zametki, Vol. 83, No. 1, pp. 69–78 (in Russian).Genys J., Macaitien˙e R., Raˇckauskien˙e S. & ˇSiauˇci¯unas D. A mixed joint universality theorem for zeta-functions // Math. Model. Anal.. 2010. Vol. 15, No. 4. P. 431–446.Genys J., Macaitien˙e R., Raˇckauskien˙e S. & ˇSiauˇci¯unas D., 2010, "A mixed joint universality theorem for zeta-functions" , Math. Model. Anal., Vol. 15, No. 4, pp. 431–446.Laurinˇcikas A. & ˇSiauˇci¯unas D. A mixed joint universality theorem for zeta-functions. III. In: Analytic Probab. Methods Number Theory, J. Kubilius Memorial Volume, A. Laurinˇcikas et al. (eds.). TEV, Vilnius. 2012. P. 185–195.Laurinˇcikas A. & ˇSiauˇci¯unas D., 2012, "A mixed joint universality theorem for zeta-functions. III" , in: Analytic Probab. Methods Number Theory, J. Kubilius Memorial Volume, A. Laurin-ˇcikas et al. (eds.). Vilnius: TEV, pp. 185–195.Poceviˇcien˙e V. & ˇSiauˇci¯unas D. A mixed joint universality theorem for zeta-functions. II //Math. Modell. and Analysis. 2014. Vol. 19. P. 52–65.Poceviˇcien˙e V. & ˇSiauˇci¯unas D., 2014, "A mixed joint universality theorem for zeta-functions. II" , Math. Modell. and Analysis, Vol. 19, pp. 52–65.Macaitien˙e R. Mixed joint universality for L-functions from Selberg’s class and periodic Huriwtz zeta-functions // Chebyshevskii Sb.. 2015. Vol. 16, No. 1. P. 219–231.Macaitien˙e R., 2015, "Mixed joint universality for L-functions from Selberg’s class and periodic Hurwitz zeta-functions" , Chebyshevskii Sb., Vol. 16, No. 1, pp. 219–231.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.