chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-4-51-56cheb-285Research ArticleСтатьиArticleО ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ Н. П. РОМАНОВА ЕГО АДДИТИВНОЙ ТЕОРЕМЫ И ЕЕ АНАЛОГАХROMANOFF ADDITIVE THEOREM’S PROOF AND ITS ANALOGUESВасильевА. Н.VassilyevA. N.Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Казахстанский филиалKazakhstan2016110620171745156Copyright © Васильев А.Н., 20172017Васильев А.Н.Vassilyev A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/285

В работе описывается техника, придуманная Н. П. Романовым для доказательства его теоремы о том, что нижняя асимптотическая плотность суммы множества простых и множества степеней фиксированного натурального числа положительна, которая также позволяет заменить в этой теореме второе множество другим — с похожими распределением и арифметикой. Описываются условия на второе множество, достаточные для получения аналога теоремы, и приводится пример множества с похожим распределением, но с другой арифметикой, для которого эти достаточные условия не выполняются. Доказывается, что для указанного множества аналог теоремы Романова неверен.

In paper we describe the way N. P. Romanoff proved his additive theorem and sufficient conditions to obtain its analogues for sets with similar distribution and arithmetic. Also the example of set with similar distribution but with different arithmetic is given. We prove that the Romanoff theorem’s analogue for this set is incorrect.

теорема Романовасумма множествтригонометрические суммыRomanoff theoremsumsetexponential sumsReferencesРоманов Н. П. О двух теоремах аддитивной теории чисел // Матем. сб. Т.40 №4, 1933. C.514–520.Romanoff, N. P. 1934, „ ¨Uber einige S¨atze der additiven Zahlentheorie“, Math. Ann., Vol. 57, pp. 668–678.Brun, V. ‘Le crible d’Eratosthene et le theoreme de Goldbach // C. R. Acad. Sci. Paris., Vol. 168, 1919 pp. 544–546.Brun, V. 1919, „Le crible d’Eratosthene et le theoreme de Goldbach“ C. R. Acad. Sci. Paris., Vol. 168, pp. 544–546.Dubickas, A. Sums of Primes and Quadratic Linear Recurrence Sequences // Acta Mathematica Sinica, English Series, Vol. 29, pp. 2251–2260.Dubickas, A. 2013, „Sums of Primes and Quadratic Linear Recurrence Sequences“, Acta Mathematica Sinica, English Series, Vol. 29, pp. 2251–2260.Erdos, P. On some problems of Bellman and a theorem of Romanoff // J. Chinese Math 1951 pp. 409–421.Erd¨os, P. 1951, „On some problems of Bellman and a theorem of Romanoff“, J. Chinese Math. Soc., pp. 409–421.Enoch Lee, K. S. On the sum of a prime and a Fibonacci number // Int. J. Number Theory, Vol. 6, 2010 pp. 1669–1676.Enoch Lee, K. S. 2010, „On the sum of a prime and a Fibonacci number“, Int. J. Number Theory, Vol. 6, pp. 1669–1676.Vasil’ev A. N. Rational trigonometric sums for fibonacci sequences and an analogue of romanoff’s theorem // Doklady Mathematics. 2014. Vol. 89, no. 3. P. 349–350.Vasil’ev, A. N. 2014, „Rational trigonometric sums for Fibonacci sequences and an analogue of Romanoff’s theorem“, Doklady Mathematics, Vol. 89, pp. 349–350.Ballot, C., Luca, F. On the sumset of the primes and a linear recurrence // Acta Arithmetica, Vol. 161, 2013 pp. 33–46.Ballot, C., Luca, F. 2013, „On the sumset of the primes and a linear recurrence“, Acta Arithmetica, Vol. 161, pp. 33–46.Pomerance, C. Divisors of the Middle Binomial Coefficient // American Mathematical Monthly, Vol. 122, 2015 pp. 636–644.Pomerance, C. 2015, „Divisors of the Middle Binomial Coefficient“, American Mathematical Monthly, Vol. 122, pp. 636–644.Kummer E. ¨Uber die Erg¨anzungss¨atze zu den allgemeinen Reciprocit¨atsgesetzen // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathemati, Vol. 44, 1852 pp. 93–146.Kummer E. 1852, „ ¨Uber die Erg¨anzungss¨atze zu den allgemeinen Reciprocit¨atsgesetzen“, Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 44, pp. 93–146.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.