chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-4-11-22cheb-283Research ArticleСтатьиArticleОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИON A METHOD FOR APPROXIMATE SOLUTION NONLINEAR HEAT CONDUCTION EQUATIONБедноваВ. Б.BednovaV. B.

методист первой категории механико-математического факультета

msu.mmf.vb@gmail.comМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияM. V. Lomonosov Moscow State UniversityRussian Federation2016110620171741122Copyright © Беднова В.Б., 20172017Беднова В.Б.Bednova V.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/283

В данной работе рассматривается одномерная нестационарная задача теплопроводности, моделирующая процесс быстрого локального нагрева образца балочного типа по боковой поверхности. При этом характер нагрева таков, что можно выделить единственное определенное направление, в котором распространяется тепло. Температурные поля определяются приближенным методом, основанным на идее теплового фронта. Решение ищется в виде степенного ряда по координате с коэффициентами, зависящими от времени. Границы фронта распространения тепла как функции времени определяются из условия интегрального удовлетворения уравнению теплопроводности. Рассматриваемые температурные поля возникают во многих технологических процессах, например, при лазерной обработке материалов, когда из-за больших градиентов температур могут возникать температурные напряжения, приводящие к микрорастрескиванию внутренних слоев или разрушению элементов конструкций. Аналитический вид решения задачи теплопроводности позволяет получить аналитические выражения для температурных напряжений и в дальнейшем облегчает анализ результатов. В работе получены решения задач с граничными условиями первого и второго родов для двух монотонных и одной немонотонной зависимостей коэффициента теплопроводности от температуры. Проведено сравнение полученного решения нестационарной линейной задачи с точным и показана приемлемость метода для дальнейшего использования.

In this paper a one-dimensional non-stationary heat conduction problem, modeling the process of rapid local heating of the sample beam type on the lateral surface is considered. The character of heating is such that it is possible to allocate only a certain directionof the heat propagation. Temperature fields are determined by an approximate method based on the idea of the thermal front. The solution is sought in the form of a power series in the coordinate with coefficients depending on time. The boundaries of the front heat distribution as a function of time are determined by the condition of the integral satisfaction of the heat conduction equation. Considered temperature fields arise in many industrial processes, such as laser material processing, when due to large temperature gradients can arise thermal stresses, leading to microcracking inner layers or the destruction of structural elements. Analytical view of the heat conduction problem’s solution allows to obtain analytical expressions for the thermal stresses and further facilitates the results analysis. The paper presents the solution of problems with boundary conditions of the first and second kinds for two monotonic and one non-monotonic dependencies of the thermal conductivity coefficient on temperature. The approximate solution and the exact solution of the nonstationary linear problem are compared and shows the suitability of the method for future use.

физическая нелинейность уравнения теплопроводностиприближенное решение уравнения теплопроводноститепловой фронтPhysical non-linearity of the heat conduction equationapproximate solution of the heat conduction equationthermal frontReferencesБаренблатт Г. И. О некоторых приближенных методах в теории одномерной неустановившейся фильтрации жидкости при упругом режиме. Изв.АН СССР, ОТН. 1954. №9. С. 35—49.Barenblatt, G. I. 1954, ”On some approximate methods in the theory of one- dimensional nonstationary filtration in the elastic drive regime”, Izv. AN SSSR, OTN, no. 9, pp. 35—49.Баутин С. П. Аналитическая тепловая волна. – М.: Физматлит, 2003. – 88 с.Bautin, S. P. 2003, ”Analiticheskaya teplovaya volna”, [Analytical heat wave], Fizmatlit, Moscow, 88p.Бахарев М. С., Миркин Л. И., Шестериков С. А., Юмашева М. А. Структура и прочность материалов при лазерных воздействиях. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. – 224 с.Baharev, M. S., Mirkin, L. I., Shesterikov, S. A. & Yumasheva M. A. 1988, ”Struktura i prochnost’ materialov pri lazernyh vozdejstviyah”, [Structure and strength of materials with the laser action], Izd-vo Mosk. un-ta, Moscow 224p.Беднова В. Б. Приближенный метод определения температурного поля при быстром локальном нагреве образца // Труды конференции-конкурса молодых ученых НИИ механики МГУ имени М. В. Ломоносова. 2013. С. 73–76.Bednova, V. B. 2013, ”An approximate method for determining the temperature field with rapid local heating of the sample”, Trudy konferencii-konkursa molodyh uchenyh NII mekhaniki MGU imeni M.V.Lomonosova, pp. 73–76.Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. – М.: Мир, 1964. – 517 с.Boley, B. A. & Weiner J. H. 1964, ”Teoriya temperaturnyh napryazhenij”, [Theory of Thermal Stresses], Mir, Moscow, 517p.Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Самарский А. А. Локализация тепла в нелинейных средах // Дифференциальные уравнения. Октябрь 1981. Т. XVII. №10. С. 1826–1841.Galaktionov, V. A., Kurdyumov, S. P., Mihajlov, A. P. & Samarskij, A. A. 1981, ”Heat localization in nonlinear media”, Differencial’nye uravneniya, Vol. XVII, no. 10, pp. 1826–1841.Калашников А. С. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации с бесконечной скоростью распространения возмущений // Вестник Московского университета. 1972. №6. С. 45–49.Kalashnikov, A. S. 1972, ”On the equations of non-stationary filtration type with infinite speed of propagation of disturbances”, Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 6, pp. 45–49.Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. – М.: Наука, 1964. – 488 с.Carslaw, H.S. & Jaeger, J. C. 1964, ”Teploprovodnost’ tverdyh tel”, [Conduction of Heat in Solids], Nauka, Moscow, 488p.Локощенко А. М. Ползучесть и длительная прочность металлов в агрессивных средах. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. – 178 с.Lokoshchenko, A. M. 2000, ”Polzuchest’ i dlitel’naya prochnost’ metallov v agressivnyh sredah”, [The creep and the long-term strength of metals in the aggressive media], Izd-vo Mosk. un-ta, Moscow, 178p.Лыков А. В. Теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1967. – 599 с.Lykov, A. V. 1967, ”Teoriya teploprovodnosti”, [Theory of heat conduction], Vysshaya shkola, Moscow, 599p.Олейник О. А., Калашников А. С., Чжоу Юй-Линь Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Известия АН СССР. Серия математическая. 1958. Т. 22. С. 667–704.Olejnik, O. A., Kalashnikov, A. S. & Chzhou Yuj-Lin’ 1958, ”The Cauchy problem and boundary value problems for equations of non-stationary filtration”, Izv. AN SSSR, Seriya matematicheskaya, Vol. 22, pp. 667–704.Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. – М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1963. – 252с.Parcus, H. 1963, ”Neustanovivshiesya temperaturnye napryazheniya”, [Non-stationary thermal stresses], Gosudarstvennoe izd-vo fiziko-matematicheskoj literatury, Moscow, 252pТимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1975. – 576 с.Timoshenko, S. P. & Goodier, J. 1975, ”Teoriya uprugosti”, [Theory of Elasticity], Nauka, Moscow, 576p.Шестериков С. А., Юмашева М. А. Приближенный метод оценки нестационарных температурных полей // Институт механики МГУ. Научные труды. Деформирование и разрушение твердых тел. Вып. 23. – М.: Изд-во МГУ, 1973. С. 15—20.Shesterikov, S. A. & Yumasheva, M. A. 1973, ”An approximate method for estimating nonstationary temperature fields”, Institut mekhaniki MGU. Nauchnye trudy. Deformirovanie i razrushenie tverdyh tel. no. 23, Izd-vo Mosk. un-ta, Moscow, pp. 15—20.Юмашев М. В., Беднова В. Б., Вергазов М. М., Юмашева М. А. Разрушение хрупких материалов в условиях локального воздействия на поверхность энергетическим потоком // Машиностроение и инженерное образование. 2014. №4. С. 52—58.Yumashev, M. V., Bednova, V. B., Vergazov, M. M. & Yumasheva, M. A. 2014, ”The destruction of brittle materials under local effect on the surface energy flow”, Mashinostroenie i inzhenernoe obrazovanie, no. 4, pp. 52—58.Юмашев М. В., Юмашева М. А., Краснова П. А. Моделирование процесса нагрева тела при интенсивном тепловом воздействии на поверхность // Вестник Московского университета. 2010. №4. С. 44—54.Yumashev, M. V., Yumasheva, M. A. & Krasnova, P. A. 2010, ”Modeling of the body heating process with intensive exposure to heat to the surface”, Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 44—54.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.