доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории чисел
doctor of physical and mathematical sciences, associateprofessor, head of number theory’s chair
При исследовании генераторов псевдослучайных чисел одна из проблем --- является ли периодической вырабатываемая генератором последовательность? Некоторые генераторы в принципе дают периодическую последовательность.
Для того, чтобы избавиться от периодичности или увеличить длину периода, применяются различные методы. Упомянем фильтрующие или комбинирующие генераторы. Однако их использование может привести к тому, что общая длина вырабатываемой последовательности сократится.
Выразим общую идею предлагаемого другого подхода следующими словами: требуется указать простой способ, который вносит беспорядок в изначально упорядоченное множество. Представим себе, что заданная периодическая последовательность состоит из цифр в некоторой позиционной системе счисления. Сопоставим этим цифрам новое число, полученное в результате некоторого, достаточно простого, преобразования этой последовательности цифр. Если это новое число является иррациональным, то последовательность его цифр является непериодической.
Например, если рассматривать натуральные числа \(a_1,\ldots,a_T\) как элементы периодической цепной (непрерывной) дроби, то по теореме Лагранжа, полученное число является квадратичной иррациональностью. Отметим, что это число является плохо приближаемым рациональными числами.
Другой способ, основанный на той же основной идее состоит в рассмотрении рядов вида$$\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!}$$с периодической последовательностью целых чисел \(\{a_n\}, a_{n+T}=a_n\) возможность получения оценки порядка приближения этих чисел.
Однако для вычисления цифр числа такого вида требуется много операций деления. Можно рассмотреть ряды вида$$\sum_{n=0}^\infty a_n n!$$с периодической последовательностью натуральных чисел \(\{a_n\}, a_{n+T}=a_n\). Описываются некоторые свойства таких рядов.
One of essential problems in generating pseudo-random numbers is the problem of periodicity of the resulting numbers. Some generators output periodic sequences. To avoid it several ways are used.
Here we present the following approach: supposed we have some order in the considered set. Let's invent some algorithm which produces disorder in the set. E.g. if we have a periodic sequence of integers, let's construct an irrational number implying the given set. Then the figures of the resulting number form a non-periodic sequence.
Here we can use continued fractions and Lagrange's theorem asserts that the resulting number is irrational.
Another approach is to use series of the form \(\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!}\) with a periodic sequence of integers \(\{a_n\}, a_{n+T}=a_n\) which is irrational.
Here we consider polyadic series \(\sum_{n=0}^\infty a_n n!\) with a periodic sequence of positive integers \(\{a_n\},a_{n+T} = a_n\) and describe some of their properties.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.