Статья посвящена исследованию арифметической природы значений в целых точках рядов, принадлежащих так называемому классу \(F\)-- рядов, составляющих решение системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами --- рациональными функциями от \(z\).
Рассматривается подкласс \(F\)- рядов, который состоит из рядов вида
$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot n! z^n \, $$
у которых \(a_n\in \mathbb{Q}\) и \(\left|a_n\right| \leq e^{c_1 n}\), \(n=0,1,...\), где \(c_1\)- некоторая постоянная.Кроме того, существует последовательность натуральных чисел \(d_n\) таких, что \(d_n a_k\in\mathbb{Z},\;k=0,\ldots,n\). При этом \(d_n=d_{0,n} d^{n},\;d_{0,n}\in\mathbb{N},\;n=0,1,\ldots,\;d \in\mathbb{N}\) и для любого \(n\) число \(d_{0,n}\) делится только на простые числа \(p\), для которых выполнено неравенство \(p\leq c_2n\). Предполагаем также,что степень, в которой число \(p\) входит в разложение числа \(d_{0,n}\), обозначаемая \(ord_pn\), удовлетворяет при всех \(n\) неравенству $$ord_pn\leq c_3\left(\log_pn+\frac{n}{p^{2}}\right).$$При выполнении этих условий говорим, что рассматриваемый ряд принадлежит классу \(F\left(\mathbb{Q},c_1,c_2,c_3,d\right)\).
Ряды такого вида сходятся в точке \(z\in\mathbb Z\), \(z\ne 0\), если рассматривать их, как \(p\)--адические числа при любом простом \(p\), кроме быть может конечного числа простых \(p\).
Прямое произведение колец целых \(p\)-- адических чисел по всем простым \(p\) называется кольцом целых полиадических чисел. Его элементы
$$\mathfrak{a}=\sum a_n\cdot n!$$можно рассматривать, как бесконечномерные векторы, координаты которых, соответствующие полю \(\mathbb Q_p\), представляют собой сумму \(\mathfrak{a}^{(p)}\) ряда \(\mathfrak{a}=\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot n!\) в поле \(\mathbb Q_p\).
Для любого многочлена \(P(x)\) с целыми коэффициентами определим \(P(\mathfrak{a})\) как вектор, координаты которого в поле \(\mathbb Q_p\) равны \(P(\mathfrak{a}^{(p)})\). Следуя классификации введенной в работах В.Г. Чирского, назовем полиадические числа \(\mathfrak{a}_1,\ldots,\mathfrak{a}_m\) бесконечно алгебраически независимыми, если для любого многочлена \(P(x_1,\ldots,x_m)\) с целыми коэффициентами, отличного от тождественного нуля, существует бесконечное множество простых чисел \(p\) таких, что \(P\left(\mathfrak{a}_1{^{(p)}},\ldots, \mathfrak{a}_m{^{(p)}}\right)\ne 0\) в поле \(\mathbb Q_p\).
В статье доказана теорема, утверждающая, что если \(F\)--ряды \(f_1,\ldots,f_m\) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений вида $$P_{1,i}y_i^\prime + P_{0,i}y_i = Q_i, i=1,\ldots,m$$где \(P_{0,i}, P_{1,i}, Q_i\)-- рациональные функции от \(z\) и если \(\xi\in\mathbb Z\), \(\xi\ne 0\), \(\xi\) отлично от полюсов всех этих рациональных функций, то при условии
$$\exp\left(\int\left(\frac{P_{0,i}(z)}{P_{1,i}(z)}-\frac{P_{0,j}(z)}{P_{1,j}(z)}\right)dz\right)\not\in\mathbb C(z)$$\(f_1(\xi),\ldots,f_m(\xi)\)-- бесконечно алгебраически независимые почти полиадические числа.
Используется модификация метода Зигеля--Шидловского и подход В. Х. Салихова к~доказательству алгебраической независимости функций, составляющих решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.
The paper describes the arithmetic nature of the values at integer points of series from the so-called class of \(F\)--series which constitute a solution of a system of linear differential equations with coefficients --- rational functions in z.
We consider a subclass of the series consisting of the series of the form
\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot n!\; z^n
where \(a_n\in\mathbb Q\), \(|a_n|\leq e^{c_1 n}\), \(n=0,1,\ldots\) with some constant \(c_1\). Besides there exists a sequence of positive integers \(d_n\) such that \(d_n\; a_k\in\mathbb Z\), \(k=0,\ldots,n\) and \(d_n=d_{0,n} d_n\), \(d_{0,n}\in\mathbb N\), \mbox{\(n=0,1,\ldots,d\in\mathbb N\)} and for any \(n\) the number \(d_{0,n}\) is divisible only by primes \(p\) such that \(p\leqslant c_2 n\). Moreover
$$ord_p n \leq c_3\left(\log_p n+\frac{n}{p^2}\right).$$
We say then that the considered series belongs to the class \(F(\mathbb{Q},c_1,c_2,c_3,d)\).Such series converge at a point \(z\in\mathbb Z\), \(z\ne 0\) in the field \(\mathbb Q_p\) for almost all primes \(p\).
The direct product of the rings \(\mathbb Z_p\) of \(p\)--adic integers over all primes \(p\) is called the ring of polyadic integers. It's elements have the form$$\mathfrak{a} = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot n!,\quad a_n\in\mathbb Z$$
and they can be considered as vectors with coordinates \(\mathfrak{a}^{(p)}\) which are equal to the sum of the series \(\mathfrak{a}\) in the field \(\mathbb Q_p\) (This direct product is infinite).
For any polynomial \(P(x)\) with integer coefficients we define \(P(\mathfrak{a})\) as the vector with coordinates \(P(\mathfrak{a}^{(p)})\) in \(\mathbb Q_p\). According to the classification, described in V. G. Chirskii's works we call polyadic numbers \(\mathfrak{a}_1,\ldots,\mathfrak{a}_m\) infinitely algebraically independent, if for any nonzero polynomial \(P(x_1,\ldots,x_m)\) with integer coefficients there exist infinitely many primes \(p\) such that$$P\left(\mathfrak{a}_1^{(p)},\ldots,\mathfrak{a}_m^{(p)}\right)\ne 0 $$in \(\mathbb Q_p\).
The present paper states that if the considered \(F\)--series \(f_1,\ldots,f_m\) satisfy a system of differential equations of the form$$P_{1,i}y_i^\prime + P_{0,i}y_i = Q_i, i=1,\ldots,m$$where the coefficients \(P_{0,i}, P_{1,i}, Q_i\) are rational functions in \(z\) and if \(\xi\in\mathbb Z\), \(\xi\ne 0\), \(\xi\) is not a pole of any of these functions and if$$\exp\left(\int\left(\frac{P_{0,i}(z)}{P_{1,i}(z)}-\frac{P_{0,j}(z)}{P_{1,j}(z)}\right)dz\right)\not\in\mathbb C(z)$$then\(f_1(\xi),\ldots,f_m(\xi)\) are infinitely algebraically independent almost polyadic numbers.
For the proof we use a modification of the Siegel-Shidlovsky's method and V. G. Chirskii's. Salikhov's approach to prove the algebraic independence of functions, constituting a solution of the above system of differential equations.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.