д.т.н., профессор, зав. кафедрой компьютерной алгебры и теории чисел
Dr. of techical science, Professor, Head of Department of Computer Algebra and Number Theory
к.ф.-м.н., ассистент кафедры компьютерной алгебры и теории чисел
Ph.d. in Physical Mathematical Sciences, assistant at Department of Computer Algebra and Number Theory
В работе рассматривается задача поведения функций, определенных рядами Дирихле с мультипликативными коэффициентами с ограниченной сумматорной функцией, при подходе к мнимой оси. Показано, что точки мнимой оси являются точками непрерывности в широком смысле для функций, определяемых рядами Дирихле с мультипликативными коэффициентами, определяемыми неглавными обобщенными харакатерами. Этот результат представляет интерес в связи с решением гипотезы Н. Г. Чудакова о том, что конечнозначный числовой характер, принимающий ненулевые значения почти на всех простых числах и имеющий ограниченную сумматорную функцию, является характером Дирихле. В основе доказательства основного результата работы лежит так называемый метод редукции к степенным рядам, основные положения которого были разработаны В. Н. Кузнецовым в начале 80-х годов. Этот метод изучает взаимосвязь между аналитическими свойствами рядов Дирихле и граничными свойствами соответсвующих (с теми же коэффециентами, что и у рядов Дирихле) степенных рядов, что позволяет получать новые результаты как для рядов Дирихле, так и для степенных рядов. В нашем случае метод редукции к степенным рядам позволяет на основании полученных в работе свойств степенных рядов с мультипликативными коэффициентами, определяемыми неглавными обобщенными характерами, доказать основной результат работы.
In this paper we consider the behavior of funcions defined by Dirichlet series with multiplicative coefficients and with bounded summatory function when approaching the imaginary axis. We show that the points of the imaginary axis are also the points of continuity in a broad sense of functions defined by Dirichlet series with multiplicative coefficients which are determined by nonprincipal generalized characters. This result is particularly interesting in its connection with a solution of Chudakov hyphotesis, which states that any finite-valued numerical character, which does not vanish on all prime numbers and has bounded summatory function, is a Dirichlet character.
The proof of the main result in this paper is based on the method of reduction to power series, basic principles of which were developed by prof. Kuznetsov in the early 1980s. Ths method establishes a connection between analytical properties of Dirichlet series and boundary properties of the corresponding power series (i.e. a power series with the same coefficients as the Dirichlet series). This allows to obtain new results both for the Dirichlet series and for the power series. In our case this method allowed us to prove the main result using the properties of the power series with multiplicative coefficients determined by the nonprincipal generalized characters, which also were obtained in this work.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.