доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой
doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the Department algebra, calculus and geometry
кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики
candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of applied mathematics and computer science
аспирант кафедры теории чисел
PhD student, Department of number theory
аспирант кафедры дискретной математики и информатики
PhD student, Department of discrete mathematics and informatics
кандидат физико-математических, руководитель Научно-исследовательского и редакционно-издательского сектора
candidate of physics and mathematics sciences, head of research and of the publishing sector
В работе рассматривается новый объект исследования --- гиперболическая дзета-функция Гурвица, которая задается в правой \(\alpha\)-полуплоскости \(\alpha=\sigma+it\), \(\sigma>1\) равенством$$\zeta_H(\alpha;d,b)=\sum_{m\in\mathbb Z}\left(\,\overline{dm+b}\,\right)^{-\alpha},$$где \(d\neq0\) и \(b\) --- любое вещественное число.
Гиперболическая дзета-функция Гурвица \(\zeta_H(\alpha;d,b)\) при \(\left\|\frac{b}{d}\right\|>0\) совпадает с гиперболической дзета-функцией сдвинутой одномерной решеткой \(\zeta_H(\Lambda(d,b)|\alpha)\). Важность этого класса одномерных решёток обусловлена тем, что каждая декартова решётка представляется объединением конечного числа декартовых произведений одномерных сдвинутых решёток вида \(\Lambda(d,b)=d\mathbb{Z}+b\).
Декартовы произведения одномерных сдвинутых решёток --- это суть сдвинутые диагональные решётки, для которых в данной работе удается дать наиболее простой вид функционального уравнения для гиперболической дзета-функции этих решёток.
Изучается связь гиперболической дзета-функции Гурвица с периодизированной по параметру \(b\) дзета-функцией Гурвица \(\zeta^*(\alpha;b)\) и с обычной дзета-функцией Гурвица \(\zeta(\alpha;b)\).
Получены новые интегральные представления для этих дзета-функций и аналитическое продолжение слева от прямой \(\alpha=1+it\).
Все рассматриваемые гиперболические дзета-функции решёток образуют важный класс рядов Дирихле, непосредственно связанный с развитием теоретико-числового метода в приближенном анализе. Для исследования таких рядов эффективным является применение теоремы Абеля, дающей интегральное представление через несобственные интегралы. Интегрирование по частям этих несобственных интегралов приводят к несобственным интегралам с полиномами Бернулли, которые также исследуются в данной работе.
The paper deals with a new object of study --- hyperbolic Hurwitz zeta function, which is given in the right \(\alpha\)-semiplane \( \alpha = \sigma + it \), \( \sigma> 1 \) by the equality$$\zeta_H(\alpha; d, b) = \sum_{m \in \mathbb Z} \left(\, \overline{dm + b} \, \right)^{-\alpha},$$where \( d \neq0 \) and \( b \) --- any real number.
Hyperbolic Hurwitz zeta function \( \zeta_H (\alpha; d, b) \), when \( \left\| \frac {b} {d} \right\|> 0 \) coincides with the hyperbolic zeta function of shifted one-dimensional lattice \( \zeta_H (\Lambda (d, b) | \alpha) \). The importance of this class of one-dimensional lattices is due to the fact that each Cartesian lattice is represented as a union of a finite number of Cartesian products of one-dimensional shifted lattices of the form \( \Lambda (d, b) = d \mathbb{Z} + b \).
Cartesian products of one-dimensional shifted lattices are in substance shifted diagonal lattices, for which in this paper the simplest form of a functional equation for the hyperbolic zeta function of such lattices is given.
The connection of the hyperbolic Hurwitz zeta function with the Hurwitz zeta function \( \zeta^* (\alpha; b)\) periodized by parameter \(b\) and with the ordinary Hurwitz zeta function \( \zeta (\alpha; b) \) is studied.
New integral representations for these zeta functions and an analytic continuation to the left of the line \( \alpha = 1 + it \) are obtained.
All considered hyperbolic zeta functions of lattices form an important class of Dirichlet series directly related to the development of the number-theoretical method in approximate analysis. For the study of such series the use of Abel's theorem is efficient, which gives an integral representation through improper integrals. Integration by parts of these improper integrals leads to improper integrals with Bernoulli polynomials, which are also studied in this paper.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.