chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-3-64-71cheb-259Research ArticleСтатьиArticleАППРОКСИМИРУЕМОСТЬ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ КОНЕЧНОГО ГРАФА ГРУПП КОРНЕВЫМ КЛАССОМ ГРУППROOT-CLASS RESIDUALITY OF FUNDAMENTAL GROUP OF A FINITE GRAPH OF GROUPГольцовД. В.GoltsovD. V.

аспирант кафедры алгебры и математической логики

graduate student kafedra of algebra and mathematics of logic

goltsov_89@mail.ruИвановский государственный университетРоссияIvanovo State UniversityRussian Federation2016111220161736471Copyright © Гольцов Д.В., 20162016Гольцов Д.В.Goltsov D.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/259

Пусть \(\mathcal{K}\) --- абстрактный класс групп, и пусть \(\mathcal{K}\) содержит хотя бы одну неединичную группу.Тогда класс \(\mathcal{K}\) называется корневым, если выполнены следующие три условия:

1

1. Если \(A \in \mathcal{K}\) и \(B \leq A\), то \(B \in \mathcal{K}\).

2

2. Если \(A \in \mathcal{K}\) и \(B \in \mathcal{K}\), то \(A\times B \in \mathcal{K}\).

3

3. Если \(1\leq C \leq B \leq A\) --- субнормальный ряд группы \(A\) и \(A/B, B/C \in \mathcal{K}\), тогда существуетнормальная подгруппа \(D\) группы \(A\)такая, что \(D \leq C\) и \(A/D \in \mathcal{K}\).

Группа \(G\) называется аппроксимируемой корневым классом \(\mathcal{K}\) (или \(\mathcal{K}\)"=аппроксимируемой), еслидля любого неединичного элемента \(g\) группы \(G\),существует гомоморфизм \(\varphi \) группы \(G\) на группу из класса \(\mathcal{K}\) такой, что \(g\varphi \not = 1\).Другими словами, группа \(G\) называется \(\mathcal{K}\)-аппроксимируемой, если для любого неединичного элемента \(g\) группы \(G\)существует нормальная подгруппа \(N\) группы \(G\) такая, что \(G/N \in \mathcal{K}\) и \(g \not \in N\).Наиболее интересными аппроксимационными свойствами являются аппроксимируемость классом всех конечных групп (финитная аппроксимируемость),аппроксимируемость классом всех конечных \(p\)-групп и аппроксимируемость классом разрешимых групп.Все эти три класса являются корневыми.Поэтому результаты об аппроксимируемости корневым классом групп имеют достаточно общий характер.

Пусть \(\mathcal{K}\) --- корневой класс конечных групп.И пусть \(G\) --- фундаментальная группа конечного графа групп с конечными реберными группами.Получено необходимое и достаточное условие почти \(\mathcal{K}\)-аппроксимируемости группы \(G\).

Let \(\mathcal{K}\) be an abstract class of groups. Suppose \(\mathcal{K}\) contains at least a non trivial group.Then \(\mathcal{K}\) is called a root-class if the following conditions are satisfied:

1

1. If \(A \in \mathcal{K}\) and \(B \leq A\), then \(B \in \mathcal{K}\).

2

2. If \(A \in \mathcal{K}\) and \(B \in \mathcal{K}\), then \(A\times B \in \mathcal{K}\).

3

3. If \(1\leq C \leq B \leq A\) is a subnormal sequence and \(A/B, B/C \in \mathcal{K}\), then there exists a normal subgroup \(D\) in group \(A\)such that \(D \leq C\) and \(A/D \in \mathcal{K}\).

Group \(G\) is root-class residual (or \(\mathcal{K}\)-residual), for a root-class \(\mathcal{K}\) if,for every \(1 \not = g \in G\),exists a homomorphism \(\varphi \) of group \(G\) onto a group of root-class \(\mathcal{K}\) such that \(g\varphi \not = 1\).Equivalently, group \(G\) is \(\mathcal{K}\)-residual if, for every \(1 \not = g \in G\),there exists a normal subgroup \(N\) of \(G\) such that \(G/N \in \mathcal{K}\) and \(g \not \in N\).The most investigated residual properties of groups are finite groups residuality (residual finiteness),\(p\)-finite groups residuality and soluble groups residuality.All there three classes of groups are root-classes.Therefore results about root-class residuality have safficiently enough general character.

Let \(\mathcal{K}\) be a root-class of finite groups.And let \(G\) be a fundamental group of a finite graph of groups with finite edges groups.The necessary and sufficient condition of virtual \(\mathcal{K}\)-residualityfor the group \(G\) is obtained.

корневой класс группфундаментальная группа графа групппочтиroot-class of finite groupsfundamental group of a finite graph of groupsvirtualReferencesD. Azarov. Residual properties of generalized free products with cyclic amalgamation // Commun. in Algebra. 2015. Vol. 43:4. P. 1464 – 1471.Azarov, D. N. 2015, "Residual properties of generalized free products with cyclic amalgamation" , Commun. in Algebra. Vol. 43:4. P. 1464–1471.Азаров Д. Н. Аппроксимируемость некоторыми классами конечных групп обобщенного свободного произведения групп с нормальной объединенной подгруппой // Сиб. матем. журн. 2015. Т. 56. № 2. С. 249 – 264.Azarov, D. N. 2015, "Residuallity by same classes of finite groups of generalized free products of groups with normal amalgamation" , Sibirskii Math. J., vol. 56, issue 2, pp. 249—264. (Russian)Азаров Д. Н. О финитной аппроксимируемости HNN-расширений и обобщенных свободных произведений групп конечного ранга // Сиб. матем. журн. 2013. Т. 54. № 6. С. 1203–1215.Azarov, D. N. 2015, "On residual finiteness of HNN-extension and of generalized free products of finite rank groups" , Sibirskii Math. J., vol. 54, issue 6, pp. 1203—1215. (Russian)Азаров Д. Н. О почти аппроксимируемости конечными р-группами нисходящих HNN-Azarov, D. N. 2012, "On the virtually residuallity by finite p-groups of descending HNNextensions" , Chebyshevskii Sb., vol. 13, issue 1, pp. 9—19. (Russian)расширений // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13. В. 1. С. 9 – 19.Azarov, D. N. 2013, "On residual finiteness of generalized free products of groups of finite rank" , Sibirskii Math. J., vol. 54, issue 3, pp. 485—497. (Russian)Азаров Д. Н. О финитной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп конечного ранга // Сиб. матем. журн. 2013. Т. 54. № 3. С. 485 – 497.Azarov, D. N. 2013, "On the virtually residuallity by finite p-groups of Baumslag–Solitar groups" , Modeling and Analysis of Information Systems., vol. 20, issue 1, pp. 116—123. (Russian)Азаров Д. Н. О почти аппроксимируемости конечными р-группами групп Баумслага –Azarov, D. N. 2010, "On the virtually residuallity by finite p-groups", Chebyshevskii Sb., vol. 11, issue 3, pp. 11—21. (Russian)Солитэра // Модел. и анализ информ. систем. 2013. Т. 20. № 1. С. 116 – 123.Azarov, D. N. 2015, "Residual properties of automorphism groups and split extension" Izvestiya VUZov. Mathematics, issue 8, pp. 3—13. (Russian)Азаров Д. Н. О почти аппроксимируемости конечными р-группами // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11. В. 3(35). С. 11 – 20.Azarov, D. N. 2014, "The residuallity of solvable groups of finite rank by some classes of finite groups" , Izvestiya VUZov. Mathematics, issue 8, pp. 18—29. (Russian)Азаров Д. Н. Аппроксимационные свойства групп автоморфизмов и расщепляемых расширений // Известия ВУЗов. Математика. 2015. № 8. С. 3 – 13.Azarov, D. N. 2014, "The residuallity of solvable groups of finite rank by some classes of finite groups" , Izvestiya VUZov. Mathematics, issue 8, pp. 18—29. (Russian)Азаров Д. Н. Аппроксимируемость разрешимых групп конечного ранга некоторыми классами конечных групп // Известия ВУЗов. Математика. 2014. № 8. С. 18 – 29.Gruenberg, K. W. 1957, "Residual properties of infinite solublegroups" , Proc. London Math. Soc. V. 7, P. 29-62.Азаров Д. Н. Некоторые аппроксимационные свойства разрешимых групп конечного ранга // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15. Вып. 1(49). С. 7 – 18.Azarov, D. N., Tieudjo, D. 2002, "On the residuallity of a free product with amalgamation by a root class of groups" , Nauch. trudy of Ivanovo State University. Mathematics., issue 5, pp. 6—10. (Russian)Gruenberg K. W. Residual properties of infinite solublegroups // Proc. London Math. Soc. 1957. V. 7, P. 29-62.Serre J.-P. Trees. Springer-Verlag 1980.Азаров Д. Н., Тьеджо Д. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой корневым классом групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. 2002. Т. 5, С. 6-10.Baumslag G. 1963, "On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups" Trans. Amer. Math. Soc. V. 106, №2. P. 193-209.Serre J.-P. Trees. Springer-Verlag 1980.Lyndon R. C., Schupp P. E., Combinatorial group theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1977Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups //Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 106, №2. P. 193-209.Karrass A., Solitar D. 1971, "Subgroups of HNN groups and groups with one defining relation" Can. J. Math. V. 28, P. 627–643.Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.Karrass A., Solitar D. Subgroups of HNN groups and groups with one defining relation // Can. J. Math. 1971. V. 28, P. 627–643.Karrass A., Solitar D. Subgroups of HNN groups and groups with one defining relation // Can. J. Math. 1971. V. 28, P. 627–643.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.