Department of Higher Mathematics, associate professor, PhD,
84313, Donetsk Region, Kramatorsk, Shkadinova St., 72
Department of Higher Mathematics, associate professor, PhD,
84313, Donetsk Region, Kramatorsk, Shkadinova St., 72
Physical and Mathematical Faculty, Dean of faculty, PhD,
84116, Donetsk Region, Slavyansk, G. Batyuka St., 19
Physical and Mathematical Faculty, Dean of faculty, PhD,
84116, Donetsk Region, Slavyansk, G. Batyuka St., 19
Работа касается вопросов приближения периодических дифференцируемых функций высокой гладкости повторными средними арифметическими сумм Фурье. Одна из наиболее общих классификаций периодических функций в настоящее время — классификация, предложенная A. И. Степанцом, основанная на понятии (ψ, β)–дифференцирования. Она позволяет единым образом классифицировать суммируемые периодические функции, начиная от функций, ряд Фурье которых может расходиться, и заканчивая бесконечно дифференцируемыми функциями, включая аналитические и целые. При соответствующем выборе параметров, классы (ψ, β)–дифференцируемых функций совпадают с известными классами Вейля, классами Соболева Wl p и классами сверток с фиксированными ядрами.
В течение последних десятилетий суммы Валле Пуссена и их особые случаи (суммы Фурье и суммы Фейера) интенсивно изучались многими выдающимися специалистами в теории функций.
В настоящее время, большой объем фактического материала накоплен в многочисленных публикациях. Одно из самых важных направлений в этой области — исследование приближающих свойств указанных сумм для различных классов функций.
Цель работы — систематизировать известные результаты, связанные с приближающими свойствами методов суммирования Валле Пуссена на классах интегралов Пуассона, а также представить новые факты, полученные для их обобщений.
В ряде случаев установлены асимптотические формулы для точных верхних граней отклонений в равномерной метрике тригонометрических полиномов V (2) n,p (f; x), порождаемых повторным применением метода суммирования Валле Пуссена, на классах C ψ β,∞ и C ψ β Hω, которые задаются мультипликаторами ψ(k) и сдвигами по аргументу β при условии, что последовательности ψ(k), определяющие указанные классы, убывают к нулю со скоростью геометрической прогрессии (в этом случае функции из классов C ψ β,∞ и C ψ β Hω допускают регулярное продолжение в соответствующую полосу комплексной плоскости).
В работе рассмотрены обобщенные суммы Валле Пуссена, изучены их приближающие свойства на классах аналитических периодических функций. Получены асимптотические равенства для верхних граней отклонений повторных сумм Валле Пуссена на классах интегралов Пуассона. В соответствующих случаях эти равенства гарантируют решение задачи Колмогорова-Никольского для повторных сумм Валле Пуссена и классов интегралов Пуассона. Указаны условия, при которых повторные суммы предоставляют лучший порядок приближения, чем обычные суммы Валле Пуссена.
The work concerns the questions of approximation of periodic differentiable functions of high smoothness by repeated arithmetic means of Fourier sums. One of the classifications of periodic functions nowadays is the classification suggested by A. Stepanets which is based on the concept of (ψ, β)–differentiation. The given classification allows to distinguish all classes of summable periodic functions from the functions where the Fourier series can deviate to infinitely differentiable functions including analytical and entire ones. When choosing the parameters properly, classes of (ψ, β)–differentiable functions exactly coincide with the well-known classes of Vail differentiable functions, Sobolev classes Wl p and classes of convolutions with integral kernels.
De la Vallee Poussin sums and their special cases (Fourier sums and Fejer sums) were extensively studied for many decades by many prominent experts in the theory of functions. At present, the large amount of factual material is accumulated in numerous publications. One of the most important directions in this field is the investigation of approximation properties of these sums for various classes of functions. The aim of the present paper is to systematize the known results related to the approximation properties of de la Vallee Poussin sums on classes of Poisson integrals and to present new facts obtained for their generalizations.
In certain cases asymptotic equalities are found for upper bounds of deviations in the uniform metric of the repeated de la Vallee Poussin sums on the classes C ψ β,∞ and C ψ β Hω which are generated by multiplicators ψ(k) and shifts on argument β provided that sequences ψ(k) which define the specified classes tend to zero with the rate of geometrical progression. In doing so classes C ψ β,∞ and C ψ β Hω consist of analytic functions which can be regularly extended in the corresponding strip.
We introduce generalized de la Vallee Poussin sums and study their approximation properties for the classes of analytic periodic functions. We obtain asymptotic equalities for upper bounds of deviations of the repeated de la Vallee Poussin sums on classes of Poisson integrals. Under certain conditions, these equalities guarantee the solvability of the Kolmogorov–Nikol’skiy problem for the repeated de la Vallee Poussin sums and classes of Poisson integrals. We indicate conditions under which the repeated sums guarantee a better order of approximation than ordinary de la Vallee Poussin sums.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.