к. ф.-м. н., каф. математического анализа, доцент
В 1955–1956 гг. П. С. Новиковым была доказана неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп. В связи с этим возникла задача изучения данных проблем в конкретных классах конечно определенных групп. Таким образом, научный интерес представляет собой класс конечно определенных групп Кокстера, введенный Х. С. М. Кокстером в 1934 г.
Класс конечно порожденных групп Кокстера с древесной структурой был выделен В. Н. Безверхним в 2003 г.
Пусть конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой задана копредставлением
G = ha1, ...an; (ai) 2 ,(aiaj ) mij , i, j ∈ 1, n, i 6= ji
где mij — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, причем, при i 6= j, mij = mji, mij > 2. Если mij = ∞, то между ai и aj соотношения нет. Группе G соответствует конечный связный дерево-граф Γ такой, что если вершинам некоторого ребра e графа Г соответствуют образующие ai и aj , то ребру e соответствует соотношение вида (aiaj ) mij = 1.
С другой стороны группу G можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Кокстера, объединенных по конечным циклическим подгруппам. При этом от графа Г группы G перейдем к графу Γ следующим образом: вершинам некоторого ребра e графа Γ поставим в соответствие группы Кокстера на двух образующих Gji = haj , ai ; (aj ) 2 ,(ai) 2 ,(ajai) mji i и Gik = hai , ak; (ai) 2 ,(ak) 2 ,(aiak) mik i, а ребру e — циклическую подгруппу hai ; (ai) 2 i.
Проблема пересечения классов смежности состоит в том, что необходимо выяснить существует ли алгоритм, позволяющий для любых двух конечно порожденных подгрупп H1 и H2 группы G и любых слов w1, w2 ∈ G установить пусто или нет пересечение w1H1 ∩ w2H2.
Ранее автором была доказана разрешимость данной проблемы для свободного произведения двух двупорожденных групп Кокстера с объединением.
В настоящей работе показана разрешимость проблемы пересечения классов смежности конечного числа конечно порожденных подгрупп группы Кокстера с древесной структурой, представленной в виде древесного произведения n сомножителей, объединненых по циклическим подгруппам второго порядка.
При доказательстве использован метод специального множества и метод типов, введенный В. Н. Безверхним и использованный им при исследовании разрешимости различных алгоритмических проблем в свободных конструкциях групп.
P. S. Novikov in 1955–1956 showed the unsolvability of the main algorithmic problems in class of finite defined groups. In this connection there was important task of consideration of these problems in specific classes of finite defined groups. Thus, class of finite defined groups of Coxeter represents scientific interest. The class of groups of Coxeter was defined by H. S. M. Coxeter in 1934.
The classe of finitely generated groups of Coxeter with tree structure was defined by V. N. Bezverkhnii in 2003.
Let finitely generated group of Coxeter with tree structure is defined by presentation
G = ha1, ...an; (ai) 2 ,(aiaj ) mij , i, j ∈ 1, n, i 6= ji
where mij — number which corresponds to a symmetric matrix of Coxeter. At that, if i 6= j, that mij = mji, mij > 2. If mij = ∞, that between ai and aj relation does not exist . The group matches finite coherent tree-graph Γ such that: if tops of some edge -e of graf Г are elements ai and aj , that the edge e matches relation (aiaj ) mij = 1.
On the other hand group G may be represented as wood product of the two-generated groups of Coxeter, which are united by final cyclic subgroups. In this case, we will pass from graf Г of group G to graf Γ as follows: we associate tops of some edge e of graf Γ groups of Coxeter with two generating elements Gji = haj , ai ; (aj ) 2 ,(ai) 2 ,(ajai) mji i and Gik = hai , ak; (ai) 2 ,(ak) 2 ,(aiak) mik i, and edge e — cyclic subgroup hai ; (ai) 2 i.
The problem of intersection of the adjacency classes of finitely generated subgroups is that you need to find an algorithm that will help determine empty or not intersection w1H1 ∩ w2H2, where H1 and H2 any subgroup of group G and w1, w2 ∈ G.
Previously, the author proved the solvability of this problem for free product with association of two Coxeter’s groups with two generating element.
In the article author shows solvability of a problem of intersection of the adjacency classes of finite number of finitely generated subgroups of Coxeter’s group with tree structure. For this purpose group G was presented as wood product of n two-generated groups of Coxeter, which are united by finite cyclic subgroups.
To prove of this result, the author used the method of special sets and method of types. These methods were defined V. N. Bezverkhnii. He used these methods for research of various algorithmic problems in free constructions of groups.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.