chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-2-64-87cheb-230Research ArticleСтатьиArticleКЛАССЫ ФОРМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯCLASSES OF FINITE ORDER FORMAL SOLUTIONS OF AN ALGEBRAIC ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION CALCULATED BY METHODS OF PLANE POWER GEOMETRYГорючкинаИ. В.GoryuchkianI. V.

к.ф.-м.н., с.н.с.,

125047, г. Москва, Миусская пл., д. 4

125047, Moscow, Miusskaya sq. 4

igoryuchkina@gmail.comФедеральное государственное учреждение "Федеральный исследовательский центр Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук''РоссияKeldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of SciencesRussian Federation2016040920161726487Copyright © Горючкина И.В., 20162016Горючкина И.В.Goryuchkian I.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/230

В этой работе выделяются общие классы формальных решений конечного порядка алгебраического (полиномиального) обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ), которые могут быть вычислены с помощью методов плоской степенной геометрии, основанные на методе определения ведущих членов уравнения по многоугольнику Ньютона-Брюно, который является многоугольным множеством на плоскости.

Кроме того, в этой работе доказывается теорема о том, что если формальное решение выделенного класса существует, то первое приближение (укорочение) этого решения является (формальным) решением первого приближения исходного уравнения (укороченного уравнения). Вычисляемые с помощью этих методов формальные ряды относятся к еще более общим классам формальных рядов, называемых в иностранной литературе grid-based series и transseries. Grid-based series и transseries являются относительно новыми объектами и, несмотря на большое число работ, пока слабо изучены. Они достаточно часто встречаются среди формальных решений дифференциальных уравнений, в том числе, важных в физике. Других общих методов вычисления таких рядов пока не существует. Поэтому так важно выделить классы формальных рядов, которые можно вычислить алгоритмически методами плоской степенной геометрии.

In this paper we select general classes of finite order formal solutions of an algebraic (polynomial) ordinary differential equation (ODE), that can be calculated by the methods of the plane power geometry based on the method of determining leading terms of the equation by Newton-Bruno polygon.

Beside that in this paper we prove the theorem that if a formal solution of the selected class exists than the first approximation (the truncation) of this solution is the (formal) solution of the first approximation of the initial equation (that is called the truncated equation). Calculated formal solutions by means of these methods relate to much more general classes of the formal solutions that are called grid-based series and transseries in the foreign papers. Grid-based series and transseries are fairly new objects and in spite of the large number of publications they are slightly studied. They appear among formal solutions of the differential equations including equations that are important in physics. Other general methods of the calculation of such series do not exist yet. Therefore it is important to select the classes of the formal solutions that can be calculated algorithmically by the methods of the plane power geometry.

алгебраическое ОДУформальное решениевычисление формального решенияклассификация формальных решенийtransseriesalgebraic ODEformal solutioncalculation of formal solutionclassification of formal solutionstransseriesReferencesЭрдейи, А., 1962, ``Асимптотические разложения'', М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 128 с.Erdélyi, A., 1955, ``Asymptotic expansions'', Dover, New York, 108 с.Брюно, А.Д., 2004, ``Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения'', Успехи математических наук, т. 59, № 3, с. 429–480.Bruno, A.D., 2004, ``Asymptotic behaviour and expansions of solutions of an ordinary differential equation'', Uspekhi Mat. Nauk, vol. 59, No. 3, pp. 31–80.Брюно, А.Д., Горючкина, И.В., 2010, ``Асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве'', Труды ММО, т. 71, с. 6–118.Bruno, A.D., Goryuchkina, I.V., 2010, ``Asymptotic expansions of the solutions of the sixth Painlevé equation'', Trans. Moscow Math. Soc., pp. 1–104.Брюно, А.Д., Гриднев, А.В., 2003, ``Степенные и экспоненциальные разложения решений третьего уравнения Пенлеве'', Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, № 51, 19 с.Bruno, A. D., Gridnev, A.V., 2003, ``Power and exponential expansions of solutions to the third Painlevé equation'', Keldysh Institute preprints, No. 51, 19 pp.Брюно, А.Д., Парусникова, А.В., ``Локальные разложения решений пятого уравнения Пенлеве'', Доклады АН, т. 438, № 4, с. 439–443.Bruno, A. D., Parusnikova, A. V., 2011, ``Local expansions of solutions to the Fifth Painlevé equation'', Doklady Math., vol. 438, no. 4, pp. 348-352.Брюно, А.Д., 2011, ``Экспоненциальные разложения решений ОДУ'', Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, № 36, 16 с.Bruno, A.D., 2011, ``Exponential expansions of solutions to an ODE'', Keldysh Institute preprints, no. 36, 16 pp.Шабат, Б.В., 1985, ``Введение в теорию аналитических функций. Часть 1.'', М.: Наука, 336 с.Shabat, B.V., 2002, ``Introduction to complex analysis. Part 1'', Moscow, Nauka, in Russian.Брюно, А.Д., Шадрина, Т.В., 2007, ``Осесимметричный пограничный слой на игле'', Труды ММО, т. 68, с. 224–287.Bryuno, A.D., Shadrina, T.V., 2007, ``An axisymmetric boundary layer on a needle'', Trans. Moscow Math. Soc., pp. 201–259.Costin, O., 2009, ``Asymptotics and Borel Summability'', CRC Press. London.Costin, O., 2009, ``Asymptotics and Borel Summability'', CRC Press. London.Van der Hoeven, J., 2006, ``Transseries and Real Differential Algebra'', Lecture Notes in Mathematics. Springer. New York, vol. 1888.Van der Hoeven, J., 2006, ``Transseries and Real Differential Algebra'', Lecture Notes in Mathematics. Springer. New York, vol. 1888.Aschenbrenner, M., Van den Dries, L., Van der Hoeven, J., 2015, ``Asymptotic Differential Algebra and Model Theory of Transseries'', Available at: http://arxiv.org-/abs/1509.02588.Aschenbrenner, M., Van den Dries, L., Van der Hoeven, J., 2015, ``Asymptotic Differential Algebra and Model Theory of Transseries'', Available at: http://arxiv.org-/abs/1509.02588.Edgar, G. A., 2010, ``Transseries for beginners'', Real Analysis Exchange, no. 35, pp. 253–310.Edgar, G. A., 2010, ``Transseries for beginners'', Real Analysis Exchange, no. 35, pp. 253–310.Горючкина, И.В., 2013, ``Точное решение шестого уравнения Пенлеве и экзотическая асимптотика'', Докдады АН, т. 450, № 4, с. 381-383.Goryuchkina, I.V., 2013, ``Exact solution of the sixth Painlevé equation and exotic asymptotic expansion'', Doklady Mathematics, vol. 87, no. 3, pp. 314-317.Кудрявцев, В.А., 1934, ``Общая формула для производной n-го порядка степени некоторой функции'' Математическое Просвещение. М.-Л.: ОНТИ, Выпуск 1, c. 24-27.Kudryavtsev, V.A., 1934, ``General formula for the n-th order derivative of some function'', Matematicheskoye Prosveshenie. Moscow-Leningrad: ONTI, in Russian.Grigor'ev, D.Yu., Singer, M. F., 1991, ``Solving ordinary differential equations in terms of series with real exponents'', Trans. Amer. Math. Soc., vol. 327, no. 1, pp. 329-351.Grigor'ev, D.Yu., Singer, M. F., 1991, ``Solving ordinary differential equations in terms of series with real exponents'', Trans. Amer. Math. Soc., vol. 327, no. 1, pp. 329-351.Ramis, J.-P., 1993, ``Séries divergentes et théories asymptotiques'', Société mathématique de france, vol. 121.Ramis, J.-P., 1993, ``Séries divergentes et théories asymptotiques'', Société mathématique de france, vol. 121.Balser, W., 1994, ``From divergent power series to analytic functions'', pringer-Verlag.Balser, W., 1994, ``From divergent power series to analytic functions'', pringer-Verlag.Sibuya, Y., 1990, ``Linear Differential Equations in the Complex Domain: Problems of Analytic Continuation'', Transl. Math. Monographs. A.M.S., vol. 82.Sibuya, Y., 1990, ``Linear Differential Equations in the Complex Domain: Problems of Analytic Continuation'', Transl. Math. Monographs. A.M.S., vol. 82.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.