chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-2-21-55cheb-228Research ArticleСтатьиArticleО МНОГООБРАЗИЯХ С ТОЖДЕСТВАМИ ОДНОПОРОЖДЕННОЙ СВОБОДНОЙ МЕТАБЕЛЕВОЙ АЛГЕБРЫON VARIETIES WITH IDENTITIES OF ONE GENERATED FREE METABELIAN ALGEBRAВерёвкинА. Б.VerevkinA. B.

доцент кафедры прикладной математики, к.ф.-м.н., 

432063 Ульяновск, ул. Хлебозаводская, д. 10, кв. 24 

Ulyanovsk

a_Verevkin@mail.ruМищенкоС. П.MishchenkoS. P.

професор кафедры прикладной математики, д.ф.-м.н., 

432063 г. Ульяновск, ул. К.Либкнехта, 28, кв.47

Ulyanovsk

mishchenkosp@mail.ruУльяновский государственный университетRussian Federation2016040920161722155Copyright © Верёвкин А.Б., Мищенко С.П., 20162016Верёвкин А.Б., Мищенко С.П.Verevkin A.B., Mishchenko S.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/228

Совокупность линейных алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств, следуя А.И. Мальцеву, называется многообразием. При нулевой характеристике основного поля все сведения о многообразии содержатся в полилинейных частях относительно свободной алгебры многообразия, которые являются модулями над групповыми алгебрами симметрических групп соответствующей степени. Используя язык теории алгебр Ли будем говорить, что алгебра метабелева, если она удовлетворяет тождеству (xy)(zt) ≡ 0.

В данной работе мы изучим тождества неассоциативной однопорожденной свободной метабелевой алгебры и некоторых ее факторов. В частности, мы построим бесконечное множество многообразий с различными дробными экспонентами между одним и двумя. Обратите внимание, что последовательность коразмерностей этих многообразий асимптотически формируется кодлинами, а не размерностями отдельных неприводимых модулей над групповыми алгебрами симметрических групп, как в известных ранее примерах.

A set of linear algebras where a fixed set of identities takes place, following A.I. Maltsev, is called a variety. In the case of zero characteristic of the main field all the information about the variety is contained in multilinear parts of relatively free algebra of the variety. We can study the identities of variety by means of investigations of multilinear part of degree n as module of the symmetric group Sn. Using the language of Lie algebras we say that an algebra is metabelian if it satisfies the identity (xy)(zt) ≡ 0.

In this paper we study the identities of non-associative one-generated free metabelian algebra and its factors. In particular, the infinite set of the varieties with different fractional exponents between one and two was constructed. Note that the sequence of codimensions of these varieties asymptotically formed by using colength, and not by using the dimension of some irreducible module of the symmetric group what was for all known before examples.

тождествомногообразиеметабелевостькоразмерностьidentityvarietymetabeliancodimensionReferencesМальцев А. И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями // Матем. сб. 1950. Т. 26(68). № 1. С. 19–33.Mal’tsev, A. I., 1950, "On algebras defined by identities", Mat. Sb. (N.S.), 26(68):1 (1950), 19–33. (Russian)A. Giambruno, M. Zaicev Polynomial Identities and Asymptotic Methods // Mathematical Surveys and Monographs, AMS, Providence, RI. 2005. V. 122. 352 p.Giambruno, A., Zaicev, M., 2005, "Polynomial Identities and Asymptotic Methods", Math. Surv. and Monographs, vol. 122, Providence, RI, Amer. Math. Soc., 352 pp.A. Giambruno, S. P. Mishchenko Polynomial growth of the codimensions: A characterization // Proc. Amer. Math. Soc. V. 138. № 3. March 2010. pp. 853–859.Giambruno, A., Mishchenko, S. P., 2010, "Polynomial growth of the codimensions: A characterization", Proc. Amer. Math. Soc., 138, No 3, March 2010, pp. 853–859.V. Drensky Relations for the cocharacter sequences of T-ideals // Proc. of the International Conference on Algebra Honoring A. Malcev, Contemp. Math. 131. 1992 (Part 2). pp. 285–300.Drensky, V., 1992, "Relations for the cocharacter sequences of T-ideals", Proc. of the International Conference on Algebra Honoring A. Malcev, Contemp. Math., 131 (Part 2), 285–300.Зайцев М.В., Мищенко С.П. Пример многообразия линейных алгебр с дробным полиномиальным ростом. // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2008. № 1. С. 25–31.Zaicev, M. V., Mishchenko, S. P., 2008, "An example of a variety of linear algebras with fractional-polynomial growth", Moscow University Mathematics Bulletin, 63, No 1, pp. 27–32.Мищенко С. П. Пример многообразия линейных алгебр с дробным полиномиальным ростом меньшим трех // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2013. № 3. C. 51–54.Mishchenko, S. P., 2013, "The example of linear algebras variety with fractional polynomial growth less than 3", Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1 Mat. Mekh., No 3, pp. 51–54. (Russian)A. Giambruno and M. Zaicev Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate // Adv. Math. V. 142. 1999. pp. 221–243.Giambruno, A., and Zaicev, M., 1999, "Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate", Adv. Math., 142, pp. 221–243.S. P. Mishchenko, M. V. Zaicev An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent // Journal of Mathematical Sciences (New York). 1999. V. 93. № 6, pp. 977–982.Mishchenko, S. P., Zaicev, M. V., 1999, "An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent", Journal of Mathematical Sciences (New York), V. 93, No 6, pp. 977–982.Мищенко С.С. О росте многообразий коммутативных линейных алгебр // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14. № 5. С. 165–170.Mishchenko, S. S., 2011, "New example of a variety of lie algebras with fractional exponent", Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh., No 6. P. 44–47; English translation in: Moscow University Mathematics Bulletin, 2011, Vol. 66, No 6, pp. 264–266.O. Malyusheva, S. Mishchenko, A. Verevkin Series of varieties of Lie algebras of different fractional exponents // Compt. rend. Acad. Bulg. Sci. 66. № 3. 2013. P. 321–330.Malyusheva, O., Mishchenko, S., Verevkin, A., 2013, "Series of varieties of Lie algebras of different fractional exponents", Compt. rend. Acad. Bulg. Sci., 66, No 3, pp. 321–330.O.A. Bogdanchuk, S.P. Mishchenko, A.B. Verevkin On Lie algebras with exponential growth of the codimensions // Serdica Math. J. V. 40. 2014. № 3-4. P. 209–240.Bogdanchuk, O.A., Mishchenko, S. P., Ver¨evkin, A. B., 2014, "On Lie algebras with exponential growth of the codimensions", Serdica Math. J., 40, No 3-4, pp. 209–240.A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev Codimensions of Algebras and Growth Functions // Adv. Math. 2008. 217. № 3. P. 1027-1052.Giambruno, A., Mishchenko, S., Zaicev, M., 2008, "Codimensions of Algebras and Growth Functions", Adv. Math., 217, No 3, pp. 1027-1052.Ершова Н. А., Чигарьков М. В. Пример многообразия с дробной экспонентой // Вестник МГАДА. 2013. № 1(20). С. 56–62. 39Yershova N. A., Chigarkov M. V., 2013, "The example of variety with fractional exponent", Vestnik MGADA, No 1(20), pp. 56–62. (Russian)Курош А. Г. Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр // Матем. сб. 1947. Т. 20(62). № 2. С. 239–262.Kurosh, A., 1947, "Non-associative free algebras and free products of algebras", Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S., 20(62):2, pp. 239–262. (Russian)Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М. : Наука.– 1985.– 448 с.Bahturin, Y. A., 1985, Identities in algebras Lie. Science, Moscow, 448 pp.Залесский А. Е., Михал¨eв А. В. Групповые кольца. – Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.– Том 2.– ВИНИТИ, М., 1973.– С. 5—118.Zalesskii, A. E., Mikhalev, A. V., 1973, Group rings, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Probl. Mat., vol. 2, VINITI, Moscow, pp. 5–118. (Russian)Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. – М.: Наука.– 1969.Curtis, C. W., Reiner I., 1962, Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, NY, London: Interscience Publishers a division of J. Wiley & Sons, 1942.Уфнаровский В. А. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре, Алгебра–6, – Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления.– Том 57, ВИНИТИ, М., 1990.– С. 5—177.Ufnarovski, V. A., 1990, Combinatorial and asymptotic methods in algebra, Algebra – 6, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Probl. Mat. Fund. Napr., 57, VINITI, Moscow, 1990, 5—177. (Russian)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.