chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2026-27-2-48-59cheb-2225Research ArticleСтатьиArticleРегуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши для однородного уравнения Шредингера с потенциалом 𝑄 = 𝑋2, содержащей фокальные точки и сингулярные начальные условияRegularized asymptotics of the solution of a singularly perturbed Cauchy problem for the homogeneous Schr¨odinger equation with potential 𝑄 = 𝑋2, containing focal points and singular initial conditionsЕлисеевАлександр ГеоргиевичEliseevAlexander Georgievich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical science, professor

yeliseevag@mpei.ruРатниковаТатьяна АнатольевнаRatnikovaTatyana Anatolyevna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

ratnikovata@mpei.ruШапошниковаДарья АлексеевнаShaposhnikovaDaria Alekseevna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

shaposhnikovda@mpei.ruНациональный исследовательский университет «МЭИ»РоссияNational Research University “MPEI”Russian Federation2026130720262724859Copyright © Елисеев А.Г., Ратникова Т.А., Шапошникова Д.А., 20262026Елисеев А.Г., Ратникова Т.А., Шапошникова Д.А.Eliseev A.G., Ratnikova T.A., Shaposhnikova D.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2225

В работе строится регуляризованное асимптотическое решение сингулярно возмущенной задачи Коши для уравнения Шредингера на промежутках времени, содержащих фокальные точки. Опираясь на идеи асимптотического интегрирования задач с нестабильнымспектром указано, каким образом следует вводить регуляризирующие функции, подробно описан формализм метода регуляризации для указанного вида особенности, проведено обоснование этого алгоритма и построено асимптотической решение любого порядка по малому параметру.

The article is devoted to the development of S. A. Lomov’s regularization method for singularly perturbed problems in the presence of spectral singularities in the limit operator. In particular, a regularized asymptotic solution to the singularly perturbed Cauchy problem for the Schr¨odinger equation is constructed on time intervals containing focal points. Based on the ideas of asymptotic integration of problems with an unstable spectrum, it is indicated how regularizing functions should be introduced, the formalism of the regularization method for the specified type of singularity is described in detail, the justification of this algorithm is carried out and an asymptotic solution of any order with respect to a small parameter is constructed.

сингулярно возмущенная задачаасимптотическое решениеметод регуляризациифокальные точки.singularly perturbed problemasymptotic solutionregularization methodfocal points.Результаты А. Г. Елисеева были получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России (проект FSWF-2026-0010)ReferencesЛомов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. — М.: Наука, 1981.Lomov, S.A. 1981, Introduction to the general theory of singular perturbations [Vvedenie v obshchuyu teoriyu singulyarnykh vozmushchenii], Nauka, Moscow.Ломов С. А., Ломов И. С. Основы математической теории пограничного слоя. — М.: Изд-во Московского университета, 2011.Lomov, S.A. & Lomov, I.S. 2011, Foundations of the mathematical theory of the boundary layer [Osnovy matematicheskoi teorii pogranichnogo sloya], Izdatel’stvo Moskovskogo Universiteta, Moscow.Yeliseev A., Ratnikova T., Shaposhnikova D. Regularized Asymptotics of the Solution of the Singularly Perturbed First Boundary Value Problem on the Semiaxis for a Parabolic Equation with a Rational «Simple» Turning Point // Mathematics. 2021. № 9, 405. doi.org/10.3390/math9040405.Yeliseev, A., Ratnikova, T. & Shaposhnikova, D. 2021, “Regularized asymptotics of the solution of the singularly perturbed first boundary value problem on the semiaxis for a parabolic equation with a rational ’simple’ turning point”, Mathematics, vol. 9, no. 4, art. id. 405, doi: 10.3390/math9040405.Елисеев А. Г., Кириченко П. В. Cингулярно возмущенная задача Коши при наличии "слабой"точки поворота первого порядка у предельного оператора с кратным спектром // Дифференциальные уравнения, 2022, Т. 58, № 6, С. 733–746.Eliseev, A.G. & Kirichenko, P.V. 2022, “Singularly perturbed Cauchy problem in the presence of a ’weak’ first-order turning point of the limit operator with multiple spectrum” [Singulyarno vozmushchennaya zadacha Koshi pri nalichii ’slaboi’ tochki povorota pervogo poryadka u predel’nogo operatora s kratnym spektrom], Differential Equations, vol. 58, no. 6, pp. 733–746.Елисеев А.Г. Пример решения сингулярно возмущенной задачи Коши для параболического уравнения при наличии «сильной» точки поворота // Диффенц. уравнения и процессы управления. 2022. № 3. С. 46–59.Eliseev, A.G. 2022, “An example of solving a singularly perturbed Cauchy problem for a parabolic equation in the presence of a ’strong’ turning point” [Primer resheniya singulyarno vozmushchennoi zadachi Koshi dlya parabolicheskogo uravneniya pri nalichii ’sil’noi’ tochki povorota], Differential Equations and Control Processes, no. 3, pp. 46–59.Елисеев А.Г., Кириченко П.В. Регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной смешанной задачи на полуоси для уравнения типа Шредингера при наличии "сильной"точки поворота у предельного оператора//ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 24. Выпуск 1. с. 50–68., DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-1-50-68Eliseev, A.G. & Kirichenko, P.V. 2023, “Regularized asymptotics of the solution of a singularly perturbed mixed problem on the semiaxis for the Schr¨odinger-type equation in the presence of a ’strong’ turning point of the limit operator” [Regulyarizovannaya asimptotika resheniya singulyarno vozmushchennoi smeshannoi zadachi na poluosi dlya uravneniya tipa Shredingera pri nalichii ’sil’noi’ tochki povorota u predel’nogo operatora], Chebyshevskii Sbornik, vol. 24, no. 1, pp. 50–68, doi: 10.22405/2226-8383-2023-24-1-50-68.Yeliseev A.,Ratnikova T.,Shaposhnikova D. Regularized Asymptotics of the Solution of a Singularly Perturbed Mixed Problem on the Semiaxis for the Schr¨odinger Equation with the Potential Q = X2//Mathematics 2023, 11(20), 4328; DOI: 10.3390/math11204328Yeliseev, A., Ratnikova, T. & Shaposhnikova, D. 2023, “Regularized asymptotics of the solution of a singularly perturbed mixed problem on the semiaxis for the Schr¨odinger equation with the potential 𝑄 = 𝑋2”, Mathematics, vol. 11, no. 20, art. id. 4328, doi: 10.3390/math11204328.А.Г. Елисеев.,П.В. Кириченко. Построение регуляризованной асимптотики решения сингулярно возмущенной смешанной задачи на полуоси для неоднородного уравнения типа Шрёдингера с потенциалом V(x)=X.//Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2024, 231, 27–43Eliseev, A.G. & Kirichenko, P.V. 2024, “Construction of regularized asymptotics of the solution of a singularly perturbed mixed problem on the semiaxis for an inhomogeneous Schr¨odingertype equation with potential 𝑉 (𝑥) = 𝑋” [Postroenie regulyarizovannoi asimptotiki resheniya singulyarno vozmushchennoi smeshannoi zadachi na poluosi dlya neodnorodnogo uravneniya tipa Shredingera s potentsialom 𝑉 (𝑥) = 𝑋], Itogi Nauki i Tekhniki. Seriya Sovremennaya Matematika i Ee Prilozheniya. Tematicheskie Obzory, vol. 231, pp. 27–43.В.П. Маслов. Операторные методы. Издательство "Наука Москва 1973, 1-544Maslov, V.P. 1973, Operator methods [Operatornye metody], Nauka, Moscow, 544 p.В. В. Белов, С. Ю. Доброхотов, “Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I. Общий подход”, ТМФ, 92:2 (1992), 215–254Belov, V.V. & Dobrokhotov, S.Yu. 1992, “Quasiclassical Maslov asymptotics with complex phases. I. General approach” [Kvaziklassicheskie asimptotiki Maslova s kompleksnymi fazami. I. Obshchii podkhod], Theoretical and Mathematical Physics, vol. 92, no. 2, pp. 215–254.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики, Т. 3, Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2008.Landau, L.D. & Lifshitz, E.M. 2008, Course of theoretical physics, Vol. 3: Quantum mechanics (non-relativistic theory) [Kurs teoreticheskoi fiziki, T. 3: Kvantovaya mekhanika (nerelyativistskaya teoriya)], Fizmatlit, Moscow.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.